最优化方法-第1章-最优化问题简介

1、2022/9/25最优化方法1最优化方法授课教师：2022/9/25最优化方法2举 例例1：对边长为a的正方形铁板，在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？解 设剪去的正方形边长为x，由题意易知，与此相应的水槽容积为要使其最大，则令得两个驻点：因此，每个角剪去边长为的正方形可使所制成的水槽容积最大 2022/9/25最优化方法3举 例例2：某单位拟建一排四间的车库，平面位置如图所示由于资金及材料的限制，围墙和隔墙的总长度不能超过40m，为使车库面积最大，应如何选择长、宽尺寸？ x2x1图1.12022/9/25最优化方法4举 例解： 设四间车库长为 ，宽为 .

2、由题意可知面积为且变量 ， 应满足 即求2022/9/25最优化方法5举 例例3.（混合饲料配合）以最低成本确定满足动物所需营养的最优混合饲料。设每天需要混合饲料的批量为100磅，这份饲料必须含：至少0.8%而不超过1.2%的钙;至少22%的蛋白质;至多5%的粗纤维。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。这些配料的主要营养成分为：2022/9/25最优化方法6配料每磅配料中的营养含量(%)钙蛋白质纤维每磅成本（元）石灰石谷物大豆粉0.380 0.00 0.000.001 0.09 0.020.002 0.50 0.08 0.0164 0.0463 0.1250举 例2022/9/25最优化方法

3、7举 例解:设 x1,x2,x3 是生产100磅混合饲料所需的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。第1章 基本概念1.1 最优化问题简介1.2 凸集和凸函数1.3 最优性条件1.4 最优化方法概述2022/9/25最优化方法82022/9/25最优化方法9第1章 基本概念1.1 最优化问题简介（一）最优化（ optimization ）的定义 所谓最优化就是在众多可行的方案或方法中找到最好的方案和方法。最优方案就是达到最优目标的方案。最优化方法就是搜寻最优方案的方法。 2022/9/25最优化方法10（二）最优化问题的数学模型 实际问题建立模型分析求解模型检验并评价模 型求得最优解1.1 最优化问

4、题简介重点2022/9/25最优化方法111.1 最优化问题简介建立最优化问题数学模型的三要素： （1）决策变量。决策变量是由数学模型的解确定的未知量。 （2）约束或限制条件。 由于现实问题的客观物质条件限制，模型必须包括把决策变量限制在它们可行值之内的约束条件，而这通常是用约束的数学函数形式来表示的。 （3）目标函数。优化问题决策变量的一个数学函数，它用来衡量优化问题的效率，即优化问题追求的目标。2022/9/25最优化方法12模型的转换1、2、1.1 最优化问题简介2022/9/25最优化方法131.1 最优化问题简介最优化问题的划分（根据不同的性质对最优化有不同的划分）：2022/9/2

5、5最优化方法141.1 最优化问题简介2022/9/25最优化方法151.1 最优化问题简介（三）基本概念1.约束最优化问题（1.1.1）是最优化问题的一般数学表现形式。只要在问题中存在任何约束条件，就称为约束最优化问题。2022/9/25最优化方法161.1 最优化问题简介（1）等式约束最优化（2）不等式约束最优化（3）混合约束最优化：既有等式约束又有不等式约束的最优化问题。2022/9/25最优化方法171.1 最优化问题简介2.无约束最优化如果问题中无任何约束条件，则称为无约束最优化问题。其数学模型为3.离散最优化 最优化模型中决策变量的取值为离散的最优化问题。4.连续最优化 最优化模型

6、中决策变量的取值为连续的最优化问题。2022/9/25最优化方法181.1 最优化问题简介5.光滑最优化 连续最优化模型中函数为光滑的最优化问题。即模型（1.1.1）中所有函数都是连续可微的。只要有一个函数非光滑的，则称为非光滑最优化。6.线性规划2022/9/25最优化方法191.1 最优化问题简介线性规划问题的一般形式为：2022/9/25最优化方法201.1 最优化问题简介线性规划问题的矩阵表示：2022/9/25最优化方法211.1 最优化问题简介7.二次规划问题（它为非线性规划问题）2022/9/25最优化方法221.1 最优化问题简介8. 非线性最优化 模型（1.1.1）中的函数中

7、有一个关于x是非线性的，就称为非线性最优化问题。9. 可行点（feasible point）10.可行域（feasible region） 所有可行点的全体称为可行域。2022/9/25最优化方法231.1 最优化问题简介11、有效约束（active constraint）和无效约束（inactive constraint）2022/9/25最优化方法24例1.11.1 最优化问题简介2022/9/25最优化方法251.1 最优化问题简介13、有效集在一个可行点，所有有效约束的全体被称为该可行点的有效集，记为14、可行域的内点15、可行域的边界不是内点的可行点称为可行域的边界点2022/9/2

8、5最优化方法261.1 最优化问题简介15、最优解、严格最优解2022/9/25最优化方法271.1 最优化问题简介16、局部最优解、严格局部最优解则称x*为最优化问题（1.1.1）的局部最优解，如果不等式严格成立，则称为严格局部最优解。2022/9/25最优化方法281.1 最优化问题简介例1.2 下图中的决策变量哪些是局部极小解，哪些是严格局部极小解？2022/9/25最优化方法291.1 最优化问题简介17、凸规划如果最优化问题的目标函数是凸的，可行域是凸集，则问题的任何最优解（不一定唯一）必是全局最优解，这样的最优化问题称为凸规划。重点2022/9/25最优化方法301.2 凸集和凸函

9、数（一）凸集1、凸集的定义重点2022/9/25最优化方法312、凸集的例子1.2 凸集和凸函数2022/9/25最优化方法323、凸集的性质1.2 凸集和凸函数2022/9/25最优化方法331.2 凸集和凸函数2022/9/25最优化方法341.2 凸集和凸函数2022/9/25最优化方法35证明：（归纳法）由凸集的定义知当m=2显然成立，假设当m=k时成立，验证当m=k+1时成立。1.2 凸集和凸函数2022/9/25最优化方法361.2 凸集和凸函数2022/9/25最优化方法371.2 凸集和凸函数（二）凸函数1、定义重点2022/9/25最优化方法381.2 凸集和凸函数2022/9/25最优化方法391.2 凸集和凸函数问题：什么样的F是凸集，什么样的函数是凸函数呢？重点2022/9/25最优化方法401.2 凸