量纲分析和相似原理课件

1、 解决流体力学问题时仅靠三大基本方程是远远不够的，还需要借助其它科学试验手段。在研究某些流体运动规律过程中量纲分析常常可给予很大的帮助。 4-1 量纲分析的概念和原理 一、量纲(dimension) 量纲是指物理量的属性(类别)，也叫因次。物理量的量纲可分为基本量纲(fundamental dimension)和导出量纲(derived dimension)两类。长度L、时间T、质量M这三个量纲属于基本量纲；可用基本量纲推导出来的量纲属于导出量纲。如：流速的量纲L/T。第4章 量纲分析和相似原理 某个物理量A的量纲表示为dimA，如速度量纲表示为dimu=LT-1 ，加速度量纲dima=LT-

2、2，密度量纲dim=ML-3，力的量纲dimF=dim(ma)=MLT-2 ，压强的量纲dim p=dim (F/A)= MLT-2 /L2=ML-1 T-2对于任何物理量的量纲 几何学量纲：0, =0, =0，分类 运动学量纲：0，=0 动力学量纲：0 二、量纲一的量 基本量和导出量可以组合成量纲为1的量，称为量纲一的量，即=0,=0,=0。 特点： （1）无单位，它的大小与所选单位无关； （2）量纲表示式中的指数均为零。 几个互相独立，不能结合成量纲一的量称为基本量。如长度L、流速v和密度就可以作为基本量。由线性代数知，当 ，有非零解，则可组成量纲一的量，不独立，不可作为基本量。当 ，无非

3、零解，则不能组成量纲一的量，独立，可作为基本量。如长度L、速度V、密度三个物理量满足：，可作为基本量。问题 1. 速度v，长度l，重力加速度g的量纲1的集合是： A. B. C. 2.速度v,密度,压强p的量纲1的集合是： A. B. C. 3. 速度v，长度l，时间t的量纲1的集合是： A. B. C. 4. 压强p，密度，长度l，流量Q的量纲的集合是： B. C. D. D.D.D.A. 量纲和谐原理(theory of dimensional omogeneity)：凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能成立。 物理方程中各项物理量的

4、量纲之间存在的规律性： 1物理方程中各项的量纲应相同。 2任一有量纲的物理方程可以改写为无量纲项组成的方程而不会改变物理过程的规律性。 3物理方程中各物理量之间的规律性以及相应各量纲之间的规律性，不会因所选择的基本量纲不同而发生改变。三 物理方程量纲的一致性4-2 量纲分析法 量纲和谐原理最重要的用途在于能确定方程式中物理量的指数，从而找到物理量间的函数关系，以建立合理的方程式。这种利用量纲和谐原理探求物理量之间的函数关系称为量纲分析法。依据：量纲和谐原理方法：瑞利法：适用于单项指数形式。 定理：适用于普遍性的问题。例：实验表明，水流有层流和紊流两种形态，由紊流转变为层流时的断面平均流速称临界

5、流速Vc，管径d，流体密度，动力粘度有关。试建立函数关系式。解： 式中k为无量纲的系数Vc=？紊临层雷诺试验设二、定理 布金汉定理：对于某个物理现象，如果存在n个变量互为函数关系：F(q1,q2,q3,qn)=0而在这些变量中含有m个基本量，则可组合这些变量成(n-m)个量纲一的量的函数关系：(1, 2, 3, n-m)=0 定理的解题步骤： （1）确定关系式：根据对所研究现象的认识，确定影响这个现象的各个物理量及其关系式: （2）确定基本量：从n个物理量中选取所包含的m个基本物理量作为基本量纲的代表，一般取m=3。在管流中，一般选d，v，三个作基本变量，而在明渠流中，则常选用H，v，。 （3

6、）确定数的个数N()=(n-m)，并写出其余物理量与基本物理量组成的表达式F(q1,q2,q3,qn)=0 (4)确定量纲一参数：由量纲和谐原理解联立指数方程，求出各项的指数x，y，z，从而定出各量纲一参数。 (5)写出描述现象的关系式(1,2,n-m)=0 ,解参数。 设变量共5个，其中x1、x2、x3为三个基本量(m=3), 则x1、x2、x3可与余下的x4，x5组合成2个(n-m=2) 量纲一1、2。所求的物理方程为例：有压管流中的压强损失。根据实验，压强损失与流速V，管长 ,管径d，管壁粗糙度k，流体运动粘滞系数 ，密度有关，即试用定理法求该物理方程。解： 这7个量中，基本物理量有3个

7、，令管径、平均流速、密度为基本量，量纲依次为余下的4个量 分别与 相乘组成4个无量纲数： ，即解得：代入前面公式得：据定理有： 改写为量纲分析法的优点：适用未知物理方程的流动。 缺点：选准物理量较难，物理意 义不明确。 应该指出：量纲分析并没有也不可能给出流动问题的最终解，它只提供了这个解的基本结构，函数的数值关系还有待于实验研究。4-3 流动相似性原理 采用模型试验和理论分析相结合的方式是解决问题的有效途径之一，在把模型中的实测资料引用到原型中产生下述问题： (1) 如何设计模型才能使模型和原型中的流动相似？ (2) 如何把模型中观测的流动现象和数据换算到原型中去？相似原理提供了解决这两个问

8、题的理论基础。 一、几何相似 几何相似是指原型与模型保持几何形状和几何尺寸相似，也就是原型和模型的任何一个相应线性长度保持一定的比例关系。 式中 为长度比尺。 面积比尺 体积比尺 二、运动相似 运动相似是指原型与模型两个流动中任何对应质点的迹线是几何相似的，而且任何对应质点流过相应线段所需的时间又是具有同一比例的。或者说两个流动的速度场(或加速度场)是几何相似的。 设时间比尺： 则速度比尺 加速度比尺 三、动力相似 原型和模型流动中任何对应点上作用着同名的力，各同名力相互平行且具有同一比值。ApFppFipFGpAmFpmFimFGm4-4 相似准则一、牛頓相似原理设作用在流体上的合外力为 ,

9、加速度为 ,质量为m，则上式可写为 式中 为量纲一的量，称为牛顿(Newton)数，以Ne表示，即 (Ne)p=(Ne)m 两流动的动力相似归结为牛顿数相等。 牛頓数中的F是作用在流体上的各种力的合力。即牛頓相似条件是很苛刻的，一般是难以实现的。但在具体流动中往往某一种力占主导作用，在模型实验中只要满足这种力的相似条件，可以达到近似相似的结果。二、 重力相似准则 流经闸、坝的水流，起主导作用的力是重力，只要用重力代替牛顿数中的F，根据牛顿相似准则就可求出只有重力作用下流体相似准则。 作用力只有重力时，两个相似系统的弗劳德数应相等，这就叫做重力相似准则，或称弗劳德准则，模型与原型之间各物理量的比

10、尺不能任意选择，必须遵循弗劳德准则。现将各种物理量的比尺与模型比尺 的关系推导如下 (1) 流速比尺 (2) 流量比尺 (3) 时间比尺 (4) 力的比尺 (5) 压强比尺 (6) 功的比尺 (7)功率的比尺三、 雷诺准则 流动中以粘滞力起主导作用，F=F代入牛顿相似准则得由雷诺准则推导模型与原型各物理量的比尺与模型比尺 的关系如下： (1) 流速比尺 (2) 流量比尺 (3) 时间比尺 (4) 力的比尺当 时 (5) 压强比尺 当 时(6) 功的比尺 当 时(7)功率比尺 当 时四、欧拉准则五、其他相似准则1、表面张力相似准则2、弹性力相似准则cc2c4-5 模型实验设计模型设计要点：1 模

11、型比尺选择的限制性条件 (1)不造成严重失真； (2)实验场地的大小； (3)供水能力的大小； (4)制作条件； (5)建造及试验费用。2 一般采用正态模型。 首先根据问题的需要与可能选定模型范围和几何比尺，再根据实际情况选定相似准则，按相似准则确定运动各物理量的比尺。一、弗劳德（重力）模型二、雷诺模型（粘滞力）例：水口水电站模型按弗劳德准则设计，正态模型，几何比尺100。试求 u和qv。并求与原型qvp为28400m3/s相对应的模型流量。解：例：设有一dp=50cm的输油管，管长lp=100m，管中油的流量为0.1m3/s。现采用20的水作为模型中的流体，模型管径为dm=2.5cm。已知20水的运动粘度系数1.00310-6m2/s， 20油运动粘度为15010-6m2/s试求模型中管长lm和模型流量。 解：长度比尺l=20 lm=5m 原型中流速v=qv/A=0.509m/s 故按雷诺准则设计模型，模型流量0.0334l/s。本章小结 1. 基本量纲具有独立性的，不能由其他量纲推导出来的量纲。 诱导量纲由基本量纲导出的量纲。 dimq=LTM。 2.量纲和谐原理凡是正确反映客观物理方程，其各项的量纲都必须是一致的，即只是方程两边量纲相同，方程才能成立。 3.量纲分析两种方法 雷利法直接应用量纲和谐原理来求解