实变函数测习题

1、实变函数测试题一，填空题1.设An1,2,n1,2L,则limAn.nn2.a,b:,由于存在两个会集之间的一一照射为.ycos1,x03.设E2x的图形上的点所组成的是R中函数0,x0会集，则E，E.4.若会集ERn满足EE,则E为集.5.若,是直线上开集G的一个组成区间,则,满足:,.6.设E使闭区间a,b中的全体无理数集,则mE.7.若mEfn(x)f(x)0,则说fn(x)在E上.8.设ERn,x0Rn,若,则称x0是E的聚点.9.设fn(x)是E上几乎各处有限的可测函数列,f(x)是E上几乎各处有限的可测函数,若0,有,则称fn(x)在E上依测度收敛于f(x).10.设fn(x)f(

2、x),xE,则fn(x)的子列fnj(x),使得.二,判断题.正确的证明,错误的举反例.1.若A,B可测,AB且AB,则mAmB.2.设E为点集,PE,则P是E的外点.点集E1,2,L13.,L的闭集.n任意多个闭集的并集是闭集.5.若ERn,满足m*E,则E为无量会集.三,计算证明题1.证明:ABCABUAIC设M是R3空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心,有理数为半径的球的全体,证明M为可数集.3.设ERn,EBi且Bi为可测集,i1,2L.依照题意,若有m*BE0,i,证明E是可测集.iln1x3,xP4.设P是Cantor集,f(x)x0,1P.x2,1求(L)f(x)dx.05.

3、设函数f(x)在Cantor集P0中点x上取值为x3,而在P0的11余集中长为3n的组成区间上取值为6n,n1,2L,求1f(x)dx.06.求极限:nlim(R)1nx3nxdx.012x3sinn实变函数试题解答一填空题0,2.2.(x)tanxa,xa,b.ba23.(x,y)ycos1,x0U(0,y)y1;.x闭集.5.,G.G,G.ba.7.几乎各处收敛于f(x)或a.e.收敛于f(x).0)有Ex08.对0,U(x0,.9.limmEfn(x)f(x)0n10.fn(x)f(x)a.e.于E.二判断题1.F.比方,A(0,1),B0,1,则AB且AB,但mAmB1.2.F.比方,

4、0(0,1),但0不是(0,1)的外点.3.F.由于E0E.4.F.比方,在R1中,Fn1,11,n3,4L是一系列nn的闭集,但是UFn(0,1)不是闭集.n35.T.由于若E为有界会集,则存在有限区间I,I,使得EI,则m*Em*II,于m*E.三,计算证明题.证明以下:ABCABI?SCABSCASBCASBABUAAICC2.M中任何一个元素可以由球心(x,y,z),半径为r唯一确定,x,y,z跑遍所有的正有理数,r跑遍所有的有理数.由于有理数集于正有理数集为可数集都是可数集,故M为可数集.3.令BUBi,则EBBi且B为可测集,于是对于i,i1都有BEBiE,故0m*BEm*BiE,

5、令i,获取m*BE0,故BE可测.从而EBBE可测.4.已知mP0,令G0,1P,则(L)1(L)ln1x3dx(L)x2dxf(x)dx0PGf(x)dxG(L)x2dx(L)x2dxPG1f(x)dx01x3301.35.将积分区间0,1分为两两不订交的会集:P0,G1,G2L,其中P0为Cantor集,Gn是P0的余集中所有长为1n的组成区3间(共有2n1个)之并.由L积分的可数可加性,并且注意到题中的mP00,可得1f(x)dxf(x)dxf(x)dx0P0UGnn1f(x)dxf(x)dxP0n1G0f(x)dx1ndxP0n1G061mGn12n1n16nn16n3n111n129n16nxsin3nx(R)1nxsin3nxdx6.在0,1上连续,01由于1n2x3n2x3存在且与(L)1nxsin3nxdx01的值相等.易知n2x33nx3nxnx2nx2112x3sin2x32x3.1n1n1n2x2x10,111dx收敛，则由于在上非负可测，且广义积分02x2x10,1上(L)可积，由于limnx3nx0，2在2x3sinxn1n0,1，于是依照