几何凸函数若干问题的探讨毕业论文

1、几何凸函数若干问题的探讨摘要几何凸函数是一种非常重要的函数，广泛应用于数学规划、控制论等领域。本文首先探讨了凸函数等具有特殊性质的函数的各种定义和几何意义，探讨了几何凸函数在不同学科中的应用。讨论了几何凸函数的一些性质，用性质证明了一些不等式，并介绍了几种判别函数几何凸性的方法。了几何凸函数的几个生成定理，并给出了关于一变量高阶多项式函数的几何凸性的一些结论。给出了凸集的定义，借助凸集引入了凸函数的几何直观定义，给出了几何凸函数的解析定义，并进行了一系列的分析、类比、归纳，举例说明几何凸函数。解决实际问题的重要性。几何凸函数理论的广泛性，其理论研究成果仍需进一步深化和推广。如何推广函数凸性的概

2、念，使凸函数的许多重要性质仍然保留在更广泛的函数中，并且凸规则的大部分结果可以推广到非凸规则，这已经构成了当前的一个数学规划研究领域的趋势。首先，有必要研究几何凸函数的一些定义和性质。本文所描述的内容使我们能够快速获得大量关于几何凸函数的重要内容，这使得解决一种特殊的复杂不等式证明、优化等问题独树一帜。关键词：凸函数；几何凸函数；不等式目录 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc327291074 引言 PAGEREF _Toc327291074 h 1 HYPERLINK l _Toc327291075 第 1 章 基础 PAGEREF _Toc327291075

3、h 2 HYPERLINK l _Toc327291076 1.1 凸集和凸函数 PAGEREF _Toc327291076 h 2 HYPERLINK l _Toc327291077 1.2 几何凸函数的定义 PAGEREF _Toc327291077 h 2 HYPERLINK l _Toc327291078 1.3 几何凸函数与凸函数的区别 PAGEREF _Toc327291078 h 3 HYPERLINK l _Toc327291079 第2章几何凸函数的基本性质和应用 PAGEREF _Toc327291079 h 5 HYPERLINK l _Toc327291080 2.1

4、几何凸函数的基本性质 PAGEREF _Toc327291080 h 5 HYPERLINK l _Toc327291081 2.2 几何凸函数的应用 PAGEREF _Toc327291081 h 8 HYPERLINK l _Toc327291082 第三章 关于函数几何凸性的几个问题 PAGEREF _Toc327291082 h 9 HYPERLINK l _Toc327291083 3.1 几何凸函数的判别问题 PAGEREF _Toc327291083 h 9 HYPERLINK l _Toc327291084 3.2 几何凸（凹）函数“和积商”的几何凸性 PAGEREF _Toc

5、327291084 h 10 HYPERLINK l _Toc327291085 3.3 几何凹函数和的奇妙“凸性” PAGEREF _Toc327291085 h 11 HYPERLINK l _Toc327291086 3.4 从凸函数生成几何凸函数 PAGEREF _Toc327291086 h 11 HYPERLINK l _Toc327291087 3.5 从已知更简单的几何凸函数生成更复杂的几何凸函数 PAGEREF _Toc327291087 h 12 HYPERLINK l _Toc327291088 3.6 从几何凸函数的域变换生成 PAGEREF _Toc327291088

6、 h 13 HYPERLINK l _Toc327291089 3.7 一变量高次多项式函数的几何凸性 PAGEREF _Toc327291089 h 14 HYPERLINK l _Toc327291090 第4章几何凸函数的积分不等式 PAGEREF _Toc327291090 h 17 HYPERLINK l _Toc327291091 4.1 几种平均值的介绍 PAGEREF _Toc327291091 h 17 HYPERLINK l _Toc327291092 4.2 积分和几何凸函数 PAGEREF _Toc327291092 h 17 HYPERLINK l _Toc32729

7、1093 结论与展望 PAGEREF _Toc327291093 h 20 HYPERLINK l _Toc327291094 至 PAGEREF _Toc327291094 h 21 HYPERLINK l _Toc327291095 参考文献 PAGEREF _Toc327291095 h 22 HYPERLINK l _Toc327291096 附录 PAGEREF _Toc327291096 h 23 HYPERLINK l _Toc327291097 附录 A：英语文学与翻译 PAGEREF _Toc327291097 h 23 HYPERLINK l _Toc327291098 附

8、录 B：包括的主要参考文献的参考书目和摘要 PAGEREF _Toc327291098 h 31介绍几何凸函数是与凸函数平行的概念。作为一个研究课题，它在20多年前就已经出现并取得了初步的研究成果，但作为一个概念提出至今已有十多年的时间。十多年过去了，几何凸函数的研究成果不断涌现。2003年以来，几何凸函数逐渐成为我国不平等研究的热点之一。国外数学家在这方面取得了许多原创性的研究成果，为不等式的理论发展提供了新的研究平台。几何凸函数是一类重要的函数，其概念最早出现在 Jensen 1905 的著作中。它在纯数学和应用数学的许多领域都有广泛的应用，现已成为数学规划、博弈论、数理经济学、变分微积分

9、和最优控制的理论基础和有力工具。生成广义凸函数是为了理论突破和加强其在实践中的应用。几何凸函数有很多好的性质，其中一个非常重要：在凸集中，几何凸函数的任何局部最小值也是全局最小值。它在数学的许多领域都有广泛的应用，现已成为数学规划、博弈论、数理经济学、变分微积分和最优控制的理论基础和有力工具。但是凸函数的局限性也很明显，因为在实际问题中，大量的函数是非凸的。为了在理论上取得突破，加强其在实践中的应用， 1960年代中期产生了凸分析，凸函数的概念也以各种方式被推广，或者针对抽象空间，或者针对上述不等式。广义，进而提出广义凸函数的概念。在 1960 年代后期，Mangasarian 首次将凸函数的

10、概念扩展到准凸函数和伪凸函数。如何推广函数凸性的概念，使凸函数的许多重要性质仍然保留在更广泛的函数中，并且凸规则的大部分结果可以推广到非凸规则，这已经构成了当前的一个数学规划研究领域的趋势。首先，有必要研究广义凸函数的一些定义和性质。，广泛应用于数学规划、控制论等领域。目前关于几何凸函数的研究工作包括：在中间凸函数的情况下，函数成为凸函数的条件，利用半严格凸和中间凸给出了凸函数的判别准则，以及一些实值函数变为凸函数的条件等，对一类乘积表示的函数凸性的研究将有助于我们进一步研究函数的凸性，因此有必要继续推进其研究工作。第一章基础准备工作：常用符号：自然数集、正自然数集、实数集、非负实数集、正实数

11、集、维数实向量空间集、非负实数集二维向量，一组维度正实数集。1.1 凸集和凸函数定义 1.1让集合，如果有的话，它被称为凸集。定理 1.1 如果集合是闭集，则凸集的充分必要条件是：对于任何集合，都有。定义 1.2让它是一个凸集，一个函数，取任意一个。(1) 如果该常数成立，则称为上面的凸函数。(2) 如果常数成立，则称为上面的凹函数。显然，如果是凸函数，就是凹函数，将凸函数的所有不等式逆向得到相应的凹函数不等式。定理 1.2设为凸集，函数是连续的，可以任意取，则上式为凸函数当且仅当(1-1)恒成立。1.2 几何凸函数的定义定义1.3是在区间上定义的，如果有的话，有( 1-2 )然后说它是几何向

12、下凸的；如果不等式反转，则称它是几何凸的。在本文中，它们分别称为几何凸函数和几何凹函数。几何凸集意味着: , 和, ( =1 , 2 ) , 两者。显然，几何凸（凹）函数必须定义在几何凸集上，原因是定义中隐含了“是的，公式（ 1-2 ）有意义” 。定理1.3设它是区间上的几何凸函数，那么对于所有, , , ，我们有. ( 1-3 )当它是几何凹函数时，公式( 1-3 )的不等式反转。证明：使用反向数学归纳法来证明它。(1 ) 根据定义1.1 ，当成立时，假设成立，命题成立。证书下的情况所以命题对也成立。(2)假设, , 命题成立, 证明下列情况, 因为已假定成立，让，则所以命题对也成立。根据反

13、向数学归纳原理，证明了该定理。几何凸（凹）函数的域和范围必须是非负实数集的子集（本文定义在正实数集的子集上） 。1.3 几何凸函数与凸函数的区别凸函数的定义和几何凸函数的定义分别在第一节和第二节给出。至于凸函数和几何凸函数的关系，专业术语不叫“同构” ，而应该叫“同构”共轭“ 。如果是凸函数，就是几何凸函数。这样的关系称为共轭，因为 log 和 exp 是彼此的反函数。定理1.4 ( 1 ) 如果它是一个连续的下凸( up convex )函数，则它是一个几何上凸(up convex)函数。( 2 ) 如果是几何下凸( up convex )函数，则上面是连续下凸( up convex )函数

14、。证明： ( 1 ) 如果它是一个连续的下凸（ up convex ）函数，可选的，有所以它是一个几何上向下凸（ up convex ）的函数。( 2 ) 如果是几何向下凸（ upperly convex ）函数，任意取，有因为它是连续的，所以它也是连续的，所以它是一个连续的向下凸（ upvex ）函数。由上述定理可知，在一定条件下，下凸（ upward convex ）函数与几何下凸（ upward convex ）函数之间存在一定的关系。在一定的条件下，几何凸函数本质上是一个凸函数，所以一些凸函数的性质可以转化为几何凸函数。定理1.5如果它是一个凹函数，它是一个几何上的凹函数；相反，如果它

15、是几何凹函数，则它是 上的凹函数。上述定理揭示了凸函数与几何凸函数之间的关系，是凸函数描述的几何凸函数的一个特征性质。众所周知，判断一个函数是否为凸函数的方法有很多种，因此我们可以通过上述定理得到另一种判断几何凸函数的方法。定理1.6假设函数是二阶可导的，那么几何凸函数的充分必要条件是：( 1-4 )证明：设函数 g 是二阶可微的，并且注意，当函数是二阶可微时，凸函数的充分必要条件是：所以它是几何凸函数，当且仅当它是凸函数，当且仅当 ( 1- 4 )公式成立。第二章几何凸函数的基本性质及应用2.1几何凸函数的基本性质定理2.1令, 为区间上的几何凸函数， ,为上的几何凹函数，则(1)是上的几何

16、凹函数，是上的几何凸函数。(2)是上的几何凸函数，是上的几何凹函数。(3)是上的几何凸函数，是上的几何凹函数。值得指出的是，平移可能会改变函数的几何凸度，因此很难描述几何凸度（凹）的几何意义。示例 1定义的函数是几何凸函数，而on不是几何凸函数， on不是几何凸函数。证明：任何，是的的，可以看出上面不是几何凸函数。同理，它实际上不是几何凸函数，在各自定义的区间内分别是几何凹函数。定理2.2如果它是一个常数，区间，让，(1)是 上的单调递减几何凸函数，是 上的几何凸函数。(2)是 上的单调递增几何凹函数，是 上的几何凹函数。证明：只证明（1），随意取，从题意知道，有,所以上面是一个几何凸函数。定

17、理2.3如果它是一个常数，区间，让，(1)是 上的单调递减几何凸函数，是 上的几何凸函数。(2)是 上的单调递增几何凹函数，是 上的几何凹函数。示例 2确定以下函数的几何凹凸。(1) ,(2)解： (1) 由于时间是一个几何凸函数，所以定理2.3 ( 1)的结论是一个几何凸函数。(2) 由于时间是几何凹函数，所以定理2.3中(2)的结论是几何凹函数。定理2.4设它是定义在区间, ,上的正函数，则(1)如果它是一个向上增加（减少）的几何上凸函数，它是一个向上（降低）的几何上凸函数，那么它是一个向上几何上凸函数。( 2 )如果它是向上增加(减少)的几何向下凸函数，它是上几何函数的向下(向上)凸函数

18、，则它是向下向上的几何凸函数。证明：只证明( 1 )中函数是向上几何向上凸函数的情况。任何选择，然后,因为该函数是 上的几何凸函数，所以，我们有函数是上面的增函数，所以，我们有由于该函数是几何凸函数，我们有这是因此，它是的几何凸函数。证书完成。定理2.5假设是一个定义为递减区间的正值函数，则(1)若为区间上的几何下凸函数，则为上下凸函数。( 2 )如果是 上 凸 函数,则是 区间 上 几何 上 凸 函数.证明：只证明（1） ，同样的方法可以证明（2）。取任意和，由于上的几何向下凸函数，所以，有通过基本的不等式，我们有因为它是区间上的减函数，所以我们有所以 是区间 上 的 下 凸 函数.证书完成

19、。假设定理2.6为区间上定义的递减正函数，且为区间上凸函数，则该函数为区间上几何下凸函数。证明：对于任何和，因为它是一个上凸函数，所以，我们有根据基本不等式，我们有是的减函数，所以，我们有所以，有,因此，它是区间上的几何向下凸函数。证书完成。定理2.7如果上面的正值函数被设定，几何上下（上）凸函数在上凸函数上的充要条件是下（上）凸函数上上凸函数。证明：只能证明几何向下凸函数的情况，同样可以证明几何向上凸函数的情况。取任何总和，订单，然后由于顶部有凹函数，所以，我们有因此，有代入上式得到.因此，它是一个几何上向下的凸函数。证书完成。定理2.8令, 为定义在区间 上的正值函数。如果,是递减凸函数，

20、则+是区间上的几何凸函数。证明：取任何总和因为是上的凸函数。所以，有因此，有(2-1)也是一个减函数，因此，有_所以(2-2)由公式( 2-1 ) , ( 2-2 ) , 我们有所以+ 是区间 上的几何凸函数。证书完成。假设定理2.9 是定义在区间 上的正值函数。如果它是一个递减凸函数，那么它是一个区间上的几何凸函数。2.2几何凸函数的应用功能具有以下经济意义定理2.1 0.如果函数是二阶可导的，那么几何凸（凹）函数的充要条件是弹性函数单调递增（递减） 。证明：只需要几何凸函数的情况。的弹性函数，和即，定理成立。例 1假设 A 和 B 都是锐角，那么我们有这些不等式可以通过推理直接推导出来。示

21、例 2假设函数是几何凸函数。从以上结论可以看出，几何凸函数与凸函数具有同等重要性。第三章关于函数几何凸性的几个问题3.1 几何凸函数的判别问题确定函数几何凸性的一般步骤：(1)先得到的可能成为几何凸(凹)函数的定义区间；(2)定义区间内判别函数的几何凸度：直接定义几何凸度函数，或微分判别法。设为二阶可导，函数几何凸性的微分判别式为(3-1)然后通过（或），可以确定给定函数是几何凸（或凹）函数。为了以后应用方便，下面给出一些几何凸（凹）函数的例子。例1 假设函数如上定义且为正数，则此时函数为几何凸函数；那时，函数是几何凹函数。证明：当时，任何所以它是一个几何凸函数。那个时候，同样地，可证明函数是

22、几何凹函数。例 2假设上面的函数是一个几何凹函数。证明：是的，结论显然成立。同理，可以证明函数是几何凸函数，函数是几何凹函数。假设示例 3是 上的几何凹函数。证明 :由于当 , , 函数几何凸性的微分判别式为T =设置，然后所以，有,因此，它是一个几何上的凹函数。类似的证明，当时是几何凸函数。3.2 几何凸（凹）函数“和积商”的几何凸性性质 3.1既是上的几何凸函数，又是 上的几何凸函数。证明：是的，是的( ) , ,使用柯西不等式，我们得到,所以它是 上的几何凸函数。两个几何凹函数之和的情况要复杂得多，结果可能是几何凹函数、几何凸函数或不再几何凸：(1)从例2的结论来看，以上都是几何凹的，它

23、的顶部仍然呈几何凹形；(2)用微分判别法很容易证明：上面是几何凹的（微分判别式T = )，但在 上是几何凸的。属性 3.2是 上的几何凸（或凹）函数，是 上的几何凸（或凹）函数，并且是 上的几何凹（或凸）函数。例4判断一个函数的几何凸性。解：当容易证明时，分别为几何凸函数和几何凹函数，根据性质3.2 ，已知给定函数为几何凸函数。3.3几何凹函数和的奇妙“凸性”无穷多个几何凹函数之和可以是几何凸函数。一个经典的例子是当时(3-2)由于，从例 1 的结论，方程（3-2）的左边是几何凹函数，从例子 3 的结论，它也是几何凹函数，所以方程（3- 2)是几何凸函数。（3-2）左边是无穷几何凹函数之和，等

24、于（右边）几何凸函数，不可思议！这将被替换，因为结论保持不变。3.4从凸函数生成几何凸函数定理 3.1设它是D上的凸（或凹）函数（即对任意一个），则它是实数集上的几何凸（或凹）函数。证明：仅当它是 上的凸函数时才给出证明。因此，对于任何)所以它是 上的几何凸函数，相当于实数集上的几何凸函数。从定理3.1的结论看来，几何凸函数的所有性质似乎都可以从凸函数的性质推导出来。事实上，它与凸函数不同。从定义上看，凸函数以“ sum ”的形式定义，而几何凸函数以“ product ”的形式定义。虽然定义是等价的，但结论并不完全对应。(1) 权重系数包含变量的凸函数不等式不能被展平为几何凸函数的不等式。例如

25、以下凸函数的不等式：让是 上的凸函数，那么对于任何1) ;2 )它们不能转化为几何凸函数的不等式。在几何凸函数中，有一个不等式对应于 1 ) ：让是 上的一个几何凸函数，那么对于任何(3-3)（2）几何凸函数中的“和”形式的不等式，如1中关于一个变量的二次多项式的几何凸性的不等式，一般不能展平为凸函数；在凸函数中以“乘积”形式存在的不等式，很难将其展平为几何凸函数。加权系数中带有变量的不等式和积分不等式不能并行化。(3) 几何凸函数的许多理论（不是全部）都可以用凸函数来展平。例如，凸函数中著名的Jensen不等式可以展平为几何凸函数。假设属性3.3是一个几何凸（或凹）函数(3-4)例 5 在锐

26、角三角形ABC中，证明：证明：令，则函数几何凸性的微分判别式所以它是一个几何凹函数，应用性质 3.3 ，我们得到,变形是为了证明不等式。3.5从已知更简单的几何凸函数生成更复杂的几何凸函数定理3.2令是, 上的几何凸（或凹）函数，则是 上的几何凸（或凹）函数。证明：当是 上的几何凸函数时，则 let与是一一对应的。( )( )( )定理 3.2成立。当它是一个几何上的凹函数时，它同样是可证明的。事实上，从证明过程的角度来看，这里的条件是充分必要的。推论具有与上述相同的几何凸性。有了这些结果，就可以方便地从已知的几何凸（或凹）函数推导出一些新的几何凸（或凹）函数。如：(1) On是一个几何凸函数

27、，通过推断， sum也是一个几何凸函数。(2)函数在几何上是凹的， ，那么它在 上也是几何凹的。(3)令（正整数集），则函数和具有相同的几何凸度。函数具有与相同的几何凸性。函数具有与相同的几何凸性。(4)假设函数具有与相同的几何凸性。函数具有与相同的几何凸性。(5)设正整数，是上的几何凸函数，和是 ( )上的几何凹函数。是( ) 上的几何凹函数。3.6几何凸函数域变换生成定理3.4如果on是几何凸的（或凹的），那么 on 的任何非空几何凸的子集也是几何凸的（或凹的） 。例 7在 上是几何凸的，那么它在的几何凸子集上也是几何凸的，它是一个有理数；如果函数是几何凹的，它在的几何凸子集上也是几何凹的

28、。注意几何凸（或凹）函数的定义区间可以被几何凸集分割，但不能合并。例如，函数在区间sum上是几何凹的，但在区间 上不是几何凹的。这是因为另一个例子是区间和是几何凸的，但是由于所以毫无意义。在 上不是几何凸的。实际上，这里有一个简单的方法来区分函数几何凸性的域特征：如果，则它既不是几何凸函数，也不是几何凹函数。3.7单变量高次多项式函数的几何凸性上的单变量高阶多项式函数的凹性，2003年科学院计算技术研究所证明 1 ：单变量三次多项式函数，当常数项不为零时，不能在几何上凹。随后得到的结果如下。定理3.5一阶多项式函数，而不是单项式）不是区间上的几何凹函数。证明：如果它是一个区间 上的几何凹函数，

29、根据定义，它是一个正函数，所以有, , 并且对于任何, 常数( 3-5 )式( 3-5 )中得，即(3-6)(3-6)为常数成立，由于值的任意性，与上述矛盾。所以它不是区间上的几何凹函数。请注意，如果将区间更改为开区间，则此时的结论仍然有效。只需修改上述证明，将“取入( 3-5 )”改为“取入( 3-5 ) ”即可。 ， ， ，如果不是一个常数函数（相当于不是一个单项式） ，很容易知道并且具有相同的几何凸性，以上证明的结论不是在区间上的几何凹函数这一次。问题1：一维多项式函数（而不是单项式）不是区间上的几何凹函数，那么它是否可以是其他类型区间上的几何凹函数（ ） ， ？目前已经解决了一维二次函

30、数几何凸度的判别问题，对一元三次函数几何凸度的判别进行了初步研究。但是四次（或更多）多项式函数的几何凸性的判别仍然没有解决。在探索过程中，得到了以下结果：定理3.6假设一维多项式函数（ ，而不是单项式）是区间上的几何凸（或凹）函数，则（或） 。证明：与定理3.5的证明完全类似。根据定义，它是一个正值函数。因此，在等式(3-6)中，我们有订购，得到它。注意从证明过程中推断，依此类推。结论：第二小的下标系数（或）0 。定理3.7假设一阶多项式函数，而不是单项式）是区间上的几何凸（或凹）函数，则（或） 。证明：如果它是区间 上的几何凸（或凹）函数，则根据定义它是正值函数。因此，对于任何人来说，总会有

31、( )(或) (3-7)将等式(3-7)两边除以，令，形变，推出受价值的任意性影响。注意如果可以从上面的证明过程中推断出来，以此类推，结论：第二大下标的系数（或）0 。次多项式函数 而非单项式）推断为区间上的几何凸（或凹）函数的必要条件是 , （或, ）。定理3.8四项多项式函数, , ) 是区间上的几何凸函数的充分必要条件是, 。这里的区间：当s 0时，当s = 0时。证明：必然性：对于s 0 的情况，由 的几何凸性相同，只需要考虑的情况。由定理3.6和定理3.7后的注释和推论，很容易知道结论是正确的。充分性：使用柯西不等式，=结论成立。第4章几何凸函数的积分不等式在本章中，我们将讨论几何凸

32、函数的定积分，并给出几何凸函数的几个积分性质和积分不等式，其中一些可以与经典不等式相媲美。4.1 几种平均的介绍首先介绍平均值的几种定义，离散型的算术平均值是，几何平均值是；当时的加权算术平均数和加权几何平均数，分别是；众所周知。函数是连续的，其算术平均值为，其几何平均值为；当,的加权算术平均值和 的加权几何平均值;此外，这两个结果都是已知的，为了描述方便，将它们列在下面。引理 1.1令且 是连续的，则. (4-1)示例 1假设，求的算术平均值和几何平均值。解决方案；.4.2 积分和几何凸函数定理 4.1让, ,被定义在 上,并且对于 ,上的任何约束, 是一个几何凸函数, 那么(4-2)是 上

33、的几何凸函数。示例2假设它是一个几何凸函数。证明：对于上述任何一个，都存在，所以它是一个几何凸函数，由上述定理称为几何凸函数。定理4.2令其为连续函数，且为 上的几何凸函数，则(4-3)也是上的几何凸函数。示例 3考虑函数它在右边是连续的，显然是上面的几何凸函数，所以它是上面的几何凸函数。例 4考虑函数，它通过幂级数展开被称为几何凸函数，所以是 上的 一个 几何 凸 函数 , 对 任何 两个 正 数, 我们 有已确立的。如果是几何凹函数，对应的结论是什么？得到以下猜想：猜想：设它是一个连续函数并且是一个几何凹函数，那么是几何凹函数。这导致定理 4.3定理 4.3 如果定义在 上的函数是上的二阶

34、可微几何凹函数，则是 上的几何凹函数。证明：由于值为正，因此严格递增。只要证明是真的，就有那是(4-4)如果，则上述公式成立；如果，让集合, 显然, 从函数的连续性来看 ,它还包含一个包含区间 , 如果这个区间是, 那么或者但是, 当后者成立时, 在函数的定义中因为由于它是几何凹函数，所以因此单调递增，但这说明函数不能单调递增，这是矛盾的。所以，因此然后根据知识的单调性，对于所有，特别是，所以建立公式（4-4），证明定理。定理 4.4假设on是连续的， on是几何凸函数， ，则是 上的几何凸函数。证明：因为它是一个连续函数，所以再次都是 上的几何凸函数，所以是几何凸函数，即几何凸函数。结论与展

35、望文章首先探讨了凸函数这一具有特殊性质的函数的各种定义和几何意义，并探讨了几何凸函数在不同学科中的应用。讨论了几何凸函数的一些性质，用性质证明了一些不等式，并介绍了几种判别函数几何凸性的方法。证明了几何凸函数的若干生成定理，并给出了关于一变量高阶多项式函数几何凸性的若干结论。最后给出了几何凸函数定义的推广或相似性，以供进一步研究。给出了凸集的定义，借助凸集引入了凸函数的几何直观定义，给出了几何凸函数的解析定义，并进行了一系列的分析、类比、归纳，举例说明几何凸函数。解决实际问题的重要性。几何凸函数理论的广泛性，其理论研究成果仍需进一步深化和推广。如何推广函数凸性的概念，使凸函数的许多重要性质仍然

36、保留在更广泛的函数中，并且凸规则的大部分结果可以推广到非凸规则，这已经构成了当前的一个数学规划研究领域的趋势。首先，有必要研究几何凸函数的一些定义和性质。本文所描述的内容使我们能够快速获得大量关于几何凸函数的重要内容，这使得解决一种特殊的复杂不等式证明、优化等问题独树一帜。至在工程大学的教育下，经过四年本科阶段的学习和研究，向关心和支持我的老师、同学、朋友和家人表示衷心的感谢。论文完成。首先感谢我的导师项立群副教授。本文是在导师项立群副教授的悉心指导下完成的。从选题、设计方案到完成论文的整个过程，他都得到了向立群老师耐心细致的指导。向立群先生严谨的学术态度、渊博的学识、独特的学术思想、一丝不苟

37、的工作作风、热情的品质让我充满敬意。在老师的指导下，我的毕业论文顺利通过。他帮我复习了很多次，在这方面提供了资料和很好的意见，非常感谢老师的帮助。感谢亲爱的同学们，我们在学习中互相帮助，互相启发，互相关心。我也非常感谢我所在部门的老师们。得益于他们的教育，我各方面都得到了很大的提高，为以后的工作打下了良好的基础。真挚地，礼炮年月日参考1 卢.几何凸函数的不等式J大学学报。 2002 年， 22(4):325-327。2 小云，世杰几何凸函数的一些性质J数学通信。 2003（5）：28-30。3 小明.几何凸函数的几个定理及其应用J首都师范大学学报。 2004 年，25(2) ： 11-13。4

38、 双叶.几何凸函数的几个性质J民族大学学报。 2006, 21(6): 618-619。5 吴山河.几何凸函数与秦派不等式J 数学的实践和理解。 2004, 34(2) : 155-163。6 肖明，宁国一些与几何凸函数有关的单调函数的构造J大学学报。 2005, 24(2): 90-93。7 小明.几何凸函数M。 :大学，2004 年。8 王博英.控制不等式的基础M .：师范大学， 1990。9 胡玉达，孟志清.凸分析与非光滑分析M :科学与技术，2000。10 胡云泉.单纯形法中的凸集和凸函数M :清华大学， 1998.11 K.Kedlay e.混合算术平均几何-平均不等式的证明J .美

39、国数学月刊，1994，101 ： 355-35712 T.松田。一个混合算术几何平均不等式的归纳证明J美国数学月刊, 1995, 102 : 634-63713 SKMishra ， KKLai 。 a-pseudo-univex 函数在向量变分不等式问题中的作用M。系统科学与复杂性杂志，200714 X.-M Zhang&Y.-D Wu, Geometrically Convex Functions and Solution of a Question J.数学学科分类,2004 (11) :1-4.15 CPNiculescu，根据几何平均的凸性J。数学不等式与应用，2000(2):155

40、-167。附录附录 A：英语文学与翻译几何凸函数和问题的解决方案小明、吴玉东摘要：本文根据几何凸函数的性质，提供了美国数学月刊11031问题的答案。1. 几何凸函数的定义我们假设欧几里得空间的维数, = ( , ), 0, =1, 2 n , = ( , ) , = ( , ) , = ( , ) , = ( ln , ln ln ) , = ( , ) , 其中 R, = ( , ) , = ( , ) 。让( ) = AND 。参考文献 (1, 2) 提出了几何凸函数的定义。定义1.1 (1,2,3) 令： : (0,+ ) (0,+ )是一个连续函数，如果存在n 2，对于任意, 和, 0

41、 , 当+ + + = 1.是的( ) , (1-1), (1-2), (1-3)如果以下三个不等式之一成立，则称为上面的几何凸函数，如果三个不等式（1-1）-（1-3）方向相反，则称为几何凹函数以上。参考文献（3）提出了几何凸集的定义。定义1.2 (3)称为几何凸集，如果有， 。参考文献（ 4 ）介绍了几何凸函数的定义。 (3) 扩展几何凸函数的几何凸集的定义。定义1.3 (3, 4) 设为几何凸集， H (0 , + )为连续函数，若f( )对任意成立，则称为几何凸函数。如果上述不等式在相反方向成立，则称为几何凹函数。定义1.4 (3,4,5) 令= ( , , = ( , ) ，它们的降

42、序排列分别为和，满足(1-4)称为( ,对数控制( , ) ，记为ln ln 。引理1.1 (3) 设置，然后对数控制= 。定义1.5假设： 0 , + ) 。当ln ln y 时，如果以下不等式适用于任何. (1-5)称为S-几何凸函数。如果将 (1-5) 不等式反转，则称为 S-几何凹函数。引理1.2(3) 令 E为对称几何凸集， E 0,+ )为对称连续可微函数。如果以下不等式对任何x = ( , ,., )成立E(ln - ln ) (1-6)是一个 S 几何凸函数。如果(1-6)的不等式反转，它是一个S-几何凹函数。2. 问题和引理美国数学月刊第 11031 期：定义一个“花式”平均

43、值，其中是分数,和证明或反驳：这个“奇数”均值总是小于或等于它的几何均值。为了解决下一节中的问题，以下引理是必要的。引理2.1 令 0 t 1，则(2-1)(2-2)(2-3)证明：不等式（2-1）和（2-2）的证明很容易。假设, 0 t b0, T ( a) = u = , T(b) = v = ,所以,.由引理 2.2 和前面的不等式成立。因此，它是一个 S 几何凹函数。让，从定义 1.5，我们知道 g 是一个 S 几何凹函数。然后从定义 1.5 和引理 1.1，我们得到.所以问题的解决方案是完整的。参考 J. Matkowski ， Lp-Like Paranorms ，函数方程和迭代理

44、论中的选定主题，奥地利-波兰研讨会论文集，格拉茨数学。贝尔。 316（1992），103-138。 S.-J. Li 关于广义凸函数的定义和性质。中学数学，1999（5）.（中文） X.-M.张，几何凸函数。 Hefei：安徽大学出版社，2004.6.（中文）4 D.-H.杨，关于几何凸函数的不等式，河北大学学报，（自然科学版） ， 22（2002），4：325-328。 （中国人）5 C.磷。 Niculescu，根据几何平均的凸性，数学不等式和应用， 3（2000），第 2：155-167 期。 (X.-M. Zhang )浙江海宁电大， Haining, Zhejiang314400，中华人民共和国。 _ 附录B ：包括的主要参考文献的参考书目和摘要1标题 C onvexity A根据几何平均_ _作者Constantan P. Niculescu期刊数学不等式与应用，2000摘要我们在改变