集合考点和题型归纳

1、集合考点和题型归纳、基础知识1.集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性.元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中.(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.(3)元素与集合的两种关系：属于，记为C ；不属于，记为?.(4)五个特定的集合及其关系图：N*或N +表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实 数集.2.集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合 A, B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作 A? B(或B? A).(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但

2、集合 B中至少有一个元素不属于A,则称A是B的真子集，记作A B或B A.A? B,A B?既要说明A中任何一个元素都属于 B,也要说明B中存在一个元素不AWB.属于A.(3)集合相等：如果A? B,并且B? A,则A= B.A? B,两集合相等：A= B?A中任意一个元素都符合 B中元素的特性，B中任意一A? B.个元素也符合A中元素的特性.(4)空集：不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集.记作?.? ? , ? ?, 0?, 0?,0 0 , ? 0.3.集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作

3、 An B,即 An B = x|x A,且 xC B.(2)并集：一般地，由所有属于集合 A或属于集合B的元素组成的集合，称为 A与B的 并集，记作 AU B,即 AU B = x|x A,或 xC B.(3)补集：对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合 A相对于全集U的补集，简称为集合 A的补集，记作？uA,即？uA=x|xCU,且x?A.求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?uA.二、常用结论(1)子集的性质：A? A, ? A, AA B? A, APB? B.(2)交集

4、的性质：AAA=A, AA?=?, AA B = BA A.(3)并集的性质：AUB=BU A, AU B? A, AU B? B, AU A=A, AU ?=?UA= A.(4)补集的性质：AU?uA=U, AA ?uA=?, ?u(?uA) = A, ?aA=?, ?a?= A.(5)含有n个元素的集合共有 2n个子集，其中有2n 1个真子集，2n 1个非空子集.(6)等价关系：AAB= A? A? B; AU B= A? A? B.考点一 集合的基本概念 TOC o 1-5 h z 典例(1)(2017 全国卷m )已知集合 A=(x, y)|x2+y2=1, B=(x, y)|y=x,

5、则 AA B 中元素的个数为()A. 3B. 2C. 1D. 0(2)已知 a, bCR,若 a, b, 1 =a2, a+b,0,则 a2 019+b2 019 的值为()aA. 1B. 0C. 1D. 1解析(1)因为A表示圆x2+y2=1上的点的集合，B表示直线y=x上的点的集合，直线y=x与圆x2 + y2=1有两个交点，所以 AA B中元素的个数为2.(2)由已知得aw0,则b=0,所以b=0,于是a2 = 1,即a= 1或a = 1.又根据集合中 a元素的互异性可知a= 1应舍去，因此a=1,故a2 019+b2 019=(- 1)2 019+ 02 019 = - 1.答案(1)

6、B (2)C提醒集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意.题组训练 TOC o 1-5 h z .设集合A = 0,1,2,3 , B=x|-x A, 1 - x?A,则集合B中元素的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4解析：选A 若xC B,则xC A,故x只可能是0, 1, 2, 3,当0CB时，1 0=1CA;当一1CB 时，1(1)=2CA;当一2CB 时，1 (2)=3CA;当一3CB 时，1 -(-3) = 4?A,所以B=3,故集合B中元素的个数为1.2,若集合A = xC R|ax23x+2= 0中只有一个元素，则 a等于()99A.2B.89C. 0D .

7、0 或g8解析：选D 若集合A中只有一个元素，则方程ax2- 3x+ 2= 0只有一个实根或有两个 相等实根.，,2 人人当a = 0时，x=-符合题意.3 TOC o 1-5 h z 29当 aw0 时，由 A= ( 3)28a=0,得 a=8,所以a的值为0或9.8(2018厦门模拟)已知P=x|2xk,xC N,若集合P中恰有3个元素，则k的取值范 围为解析：因为P中恰有3个元素，所以P= 3, 4, 5,故k的取值范围为5kW6.答案：(5, 6考点二集合间的基本关系典例已知集合 A=x|x2-3x+ 2=0, xC R, B=x|0 x5, x C N,则()A. B? AB. A=

8、BC. A BD. B A(2)(2019湖北八校联考)已知集合A=xC N*|x23x0,则满足条件 B? A的集合B的个数为()B. 3A. 2B. 3C. 4D. 8(3)已知集合 A=x|1x3,B=x|mxm,若B? A,则m的取值范围为 .解析(1)由 x23乂+2=0得 x= 1或乂= 2,，A=1,2.由题意知 B = 1,2,3,4,比较A, B中的元素可知A B,故选C. A= xC N*|x23x0 =xC N*10Vx0 时，因为 A=x|- 1x3.若B? A,在数轴上标出两集合，如图,一 m ) 一 1,所以0m 1.所以 mw 所以0m 1.一mm.综上所述，m的

9、取值范围为（00, 1.答案（1）C （2）C （3）（8, 1变透练清 TOC o 1-5 h z .（变条件）若本例（2）中A不变，C = x|0 x3,m3. m的取值范围为3, +8）.答案：3, +oo )3.已知集合 A=1,2 , B=x|x2+mx+ 1 = 0, xC R,若B? A,则实数 m的取值范围为.解析：若B=?,则A= m2-40,解得2m2;若 1C B,则 l2+m+1 = 0,解得m=- 2,此时B=1,符合题意；若 2C B,则 22+2m+ 1= 0,.一 5,1解得m= 5-,此时B= 2, 2 ,不合题意.综上所述，实数 m的取值范围为2,2).答案

10、：2,2)考点三集合的基本运算考法(一)集合的运算典例(1)(2018 天津高考)设集合 A=1,2,3,4 , B=1,0,2,3, 0 = x R|-1x0 , B=x|-2x2,则如图所示阴影部 分所表示的集合为()x|-2x4 x|x 4x|-2x 1x|-1x 2解析(1)-A=1,2,3,4,解析(1)-A=1,2,3,4,B = -1,0,2,3,. AU B= 1,0,1,2,3,4.又 C=xC R|-1x2,. (AU B)AC = 1,0,1.(2)依题意得 A=x|x4,因此?RA=x|-1x0) , B = x|xm).若 AAB = x|x4,则实数 m 的取值范围

11、是()A. (-4,3)B. - 3,4C. (-3,4)D.(巴 4(2)(2019 河南名校联盟联考)已知 A = 1,2,3,4) , B = a+1,2a),若 AAB=4,则 a =()A. 3B. 2C. 2 或 3D. 3 或 1解析(1)集合 A= x|x4) ,An B=x|x4) ,3WmW4,故选 B.2) . An B=4 ,，a+1 = 4 或 2a = 4.若 a+1=4,则 a=3,此时 B=4,6),符合题意；若2a=4,则a=2,此时B=3,4),不符合题意.综上， a=3,故选A.答案(1)B (2)A题组训I练.已知集合 A= 1,2,3 , B=x|(x

12、+ 1)(x-2)0, xC Z),则 AU B=()A. 1B. 1,2C. 0,1,2,3)D. -1,0,1,2,3)解析：选 C 因为集合 B=x|-1x2, xCZ)=0,1),而 A= 1,2,3,所以 AUB = 0,1,2,3). TOC o 1-5 h z . (2019 重庆六校联考)已知集合 A=x|2x2+x-10) , B=x|lg x 1.课时跟检测 TOC o 1-5 h z (2019福州质量检测)已知集合 A=x|x=2k+1, kC Z , B= x|1xW 4,则集合 AnB中元素的个数为()a. 1B. 2C. 3D. 4解析：选B 依题意，集合A是由所

13、有的奇数组成的集合，故AAB=1,3,所以集合An B中元素的个数为2.设集合 U = 1,2,3,4,5,6 , A= 1,3,5 , B= 3,4,5,则？u(AU B)=()A. 2,6B. 3,6C. 1,3,4,5D. 1,2,4,6解析：选 A 因为 A= 1,3,5 , B= 3,4,5,所以 AU B = 1,3,4,5.又 U= 1,2,3,4,5,6, 所以？u(AU B)=2,6.(2018 天津高考)设全集为 R,集合 A=x|01,则 AA (?rB)=()A. x|0 x 1B, x|0 x 1C. x|1Wxv 2D. x|0 x 1,?RB = x|x 1.集合

14、 A=x|0v xv 2,. An (?rB) = x|0vxv 1.(2018南宁毕业班摸底)设集合M = x|x4,集合N=x|x2-2x0,则下列关系中正 确的是()A. Mn N= MMU(?rN)=MA. Mn N= MNU(?rM)=RD. MUN=M解析：选D 由题意可得，N=(0,2), M = (8, 4),所以MUN=M.1 Y5.设集合 A= x 2W2x& , B=x|ln *0,则人0 3为()“ c 1A. 0,万B. 1,0)1C.a,1D. -1,1 TOC o 1-5 h z 111.1解析：选 A.-22xV2, IP 2 12x22 , 1Wx2，：A=

15、x -1x2 . /ln x0,1即 ln x ln 1 , -0 x 1, bb= x|0 x 1, . .An B= x 0 x（2019郑州质量测试）设集合A=x|1x2, B = x|xa,若AAB = A,则a的取值 范围是（）A. （ 8, 2B. （ 8, 1C. 1 , +8）D, 2, +oo）解析：选 D 由 AAB=A,可得 A? B,又因为 A=x|1x2, B=x|x2.已知全集U = AUB中有m个元素，（?uA） U （?uB）中有n个元素.若AC B非空，则 APB的元素个数为（）A . mnB. m + nC. n mD. m n解析：选D因为（?uA）u（?

16、uB）中有n个元素，如图中阴影部分所示，又U=AU B中有m个元素，故 ACB中有m n个元素.定义集合的商集运算为A= x x= m, mCA, nCB ,已知集合 A= 2,4,6 , B = TOC o 1-5 h z Bnxx=91,kCA ，则集合 孔B中的元素个数为（）2AA. 6B. 7C. 8D. 9解析：选 B 由题意知，B = 0,1,2 , B = 0, 1, 1 1 1 , q ,则 B U B = A 2 4 63 A11110, 2，4，& 1, 3，2 ,共有7个兀素.设集合 A = x|x2-x-20 , B=x|x1,且 xCZ,贝U AAB=.解析：依题意得

17、 A=x|(x+ 1)(x-2)0 = x|-1x 2,因此 AA B = x|- 1x 4,则题图中阴影部分所表示的集合为(?UB) n A=x|- 5 x 1.答案：x|5WxW 1.若集合 A=(x, y)|y=3x23x+ 1, B = (x, y)|y=x,则集合 APB 中的元素个数 为.解析：法一：由集合的意义可知，An B表示曲线y= 3x23x+1与直线y=x的交点构成的集合.y=3x2-3x+ 1,联立得方程组y=x,1 y联立得方程组y=x,1 y=3y=1,一一 1 1故AAB=, 1, 1 ，所以APB中含有2个兀素.3 3法二：由集合的意义可知，An B表示曲线y=3x23x+1与直线y = x的交点构成的集合.因为3x2- 3x+ 1 = *即3x24x+1 = 0的判别式 60,所以该方程有两个不相等的实根， 所以AAB中含有2个元素.答案：2.已知集合 A=x|log2xW2,B=x|xv a