高等数学空间曲线及其方程课件

1、高等数学(下) 高等数学(下) 第七章 一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影第四节空间曲线及其方程 第七章 一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程 三、一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如,方程组表示圆柱面与平面的交线 C. C一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C. 又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C. 二、空间曲线的参数方程称它为空间曲线的 参数方程.例如,圆柱螺旋线的参数方程为上升高度, 称为螺距 .将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参

2、数t 的函数:二、空间曲线的参数方程称它为空间曲线的 参数方程.例如例1. 将下列曲线化为参数方程表示:解: (1) 根据第一方程引入参数 , (2) 将第二方程变形为故所求为得所求为例1. 将下列曲线化为参数方程表示:解: (1) 根据第一方例2. 求空间曲线 :绕 z 轴旋转时的旋转曲面方程 .解:点 M1绕 z 轴旋转, 转过角度 后到点 则这就是旋转曲面满足的参数方程 . 例2. 求空间曲线 :绕 z 轴旋转时的旋转曲面方程 .解例如, 直线绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 消去 t 和 , 得旋转曲面方程为例如, 直线绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 消去 t 和如图:投影曲线的研究

3、过程.空间曲线投影曲线投影柱面三、空间曲线在坐标面上的投影如图:投影曲线的研究过程.空间曲线投影曲线投影柱面三、空间曲设空间曲线 C 的一般方程为消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C为消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程设空间曲线 C 的一般方程为消去 z 得投影柱面则C 在xo例3 求曲线 在坐标面上的投影.解（1）消去变量z后得在 面上的投影为例3 求曲线 所以在 面上的投影为线段.（3）同理在 面上的投影也为线段.（2）因为曲线在平面 上，所以在 面上的投影为线段.（3）同理在 补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.空

4、间立体曲面补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.空间立体曲面如:所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:上半球面和锥面在 xoy 面上的投影曲线二者交线所围圆域:二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域 .如:所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:上半球面和锥面在 作业习题册 第七章第六节 作业习题册 第七章第六节推广第八章 一元函数微分学 多元函数微分学 多元函数微分学推广第八章 一元函数微分学 多元函数微分学 多元函数微分学 第九章 第一节一、平面点集与 n 维空间二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性多元函数的基本概念 第九章 第一节一、平面点集与 n 维空间二、多

5、元函数的概念一、平面点集与n维空间如数轴上，点P与数之间的关系。当平面引进了一个直角坐标系后，平面上的点与有序实数组之间就建立了一一对应的关系。二维空间中对应的点的全体构成了坐标平面。记为：1、平面点集一、平面点集与n维空间如数轴上，点P与数之间的关系。当平面引若平面点的集合E由具有某种性质的点P的元素的全体组成记为：如：由集合的概念得：若平面点的集合E由具有某种性质的点P的元素的全体组成记为：如2. 邻域点集称为点 P0 的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成点 P0 的去心邻域记为邻域和区域是研究多元函数时经常要用到的两个基本概念。下面

6、主要在平面和空间直角坐标系中引入。2. 邻域点集称为点 P0 的邻域.例如,在平面上,(圆邻在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域3. 区域(1) 内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E则称 P 为 E 的内点；则称 P 为 E 的外点 ;则称 P 为 E 的边界点 .的外点 ,显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E ,

7、 E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . 3. 区域(1) 内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P(2) 聚点若对任意给定的 ,点P 的去心邻域内总有E 中的点 , 则称 点P 是 E 的聚点.聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .E 的边界点 )(2) 聚点若对任意给定的 ,点P 的去心邻域内总有E 中D(3) 开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； 若点集 E E , 则称 E 为闭集； 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的

8、 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;。 。 E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;D(3) 开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称例如，在平面上开区域闭区域例如，在平面上开区域闭区域 整个平面 点集 是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域；但非区域 .o 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K ,则称 D 为有界域 , 界域 .否则称为无 整个平面 点集 是开集， 是最大的开域 , 也4. n 维空间n 元有序数组的全体称为 n 维空间,n 维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第 k 个坐标 .记作即一个点, 当所有

9、坐标称该元素为 中的零元,记作 O .4. n 维空间n 元有序数组的全体称为 n 维空间,n 二、多元函数的概念 引例: 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式二、多元函数的概念 引例: 圆柱体的体积 定量理想气体定义1. 设非空点集点集 D 称为函数的定义域 ; 数集称为函数的值域 .特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数当 n = 3 时, 有三元函数映射称为定义在 D 上的 n 元函数 , 记作定义1. 设非空点集点集 D 称为函数的定义域 ; 数集称函数表示对应法则，此法则也可用其他字母来表示，函数也可记成等同样自变量和因变量也可换成其他字母。设点是定义域内的一

10、点，有唯一确定的值与它对应。这个值就称为二元函数在点处的函数值，记着;用点函数表示：在点处的函数值：函数表示对应法则，此法则也可用其他字母来表示，函数也可记成等若函数在点处对应有函数值存在，则称此函数在点处是有定义的，否则称此函数在点处无定义。若函数在平面D域中点点有定义，则称在平面D域中定义。例1：求的定义域，并作其图形。解：由反三角函数的定义知：其点集介于直线之间。若函数在点处对应有函数值存在，则称此函数在点处是有定义的，否例如, 二元函数定义域为圆域图形为中心在原点的上半球面.例如, 二元函数定义域为圆域图形为中心在原点的上半球面.二元函数 z = f (x, y), (x, y) D的

11、图形一般为空间曲面 .说明二元函数 z = f (x, y), (x, y) D高等数学空间曲线及其方程课件三元函数 定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球三元函数 定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球例2设求解例2设求解三、多元函数的极限定义2. 设 n 元函数点 ,则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n =2 时, 记二元函数的极限可写作：P0 是 D 的聚若存在常数 A ,对一记作都有对任意正数 , 总存在正数 ,切三、多元函数的极限定义2. 设 n 元函数点 ,则称 A 例1. 设求证：证法1:故例1. 设求证：证法1:故证法2:故总有要证 证法2:故总有要证 例2. 设求证：

12、证：故总有要证例2. 设求证：证：故总有要证证：故例3证：故例3例4 求解: 此函数定义域不包括 x , y 轴则原式例4 求解: 此函数定义域则原式求极限 解其中例5求极限 解其中例5函数趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定以不同方式趋于函数极限不存在 .注 (1) 二元函数求极限中，点必须是以任何方式都有 若当点(2) 有关一元函数极限的运算法则和定理,以及无穷小的概念和定理都可以直接类推到二元函数.函数趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定以不同方式趋于函数例6. 讨论函数3. 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限.则有k 值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .解: 此函数必有1. 当点 P(x , y) 2. 当点P(x , y) 例6. 讨论函数3. 设 P(x , y) 沿直线 y = 判断二元函数极限存在的五种方法.1、利用函数的连续性2、 利用极限的性质、四则运算法则、夹逼准则。3、消去分子和分母中极限为的零的因子。5、 利用二重极限定义验证。4、转化为一