随机过程综合练习新版要点

1、随机过程综合练习题一、填空题(每空3分)第一章X-X2, Xn是独立同分布的随机变量，Xi的特征函数为g，贝UXi? X2?-X n的特征函数是 o EE(XY 八 oX的特征函数为g(t) , 丫二aX b ,则Y的特征函数为 。4?条件期望E(X Y)是 的函数， (是or不是)随机变量。X X Xn是独立同分布的随机变量，Xi的特征函数为g(t),贝yXi4Xn的特征函数是 on 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性 。第二早?宽平稳过程是指协方差函数只与 有关。&在独立重复试验中，若每次试验时事件 A发生的概率为p (0 ： ： ： p ： ： ：1),以X (n)记进行到n次试验

2、为止 A发生的次数，则X(n),n =0,1,2,是 过程。.正交增量过程满足的条件是 。正交增量过程的协方差函数 Cx(S,t)二。AVV * 案二早X(t), t 0为具有参数 0的齐次泊松过程，其均值函数为 ；1 , 1 , 2 , 3且均为泊松过程，它12?设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是 ,汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是 O13. X(t), t 0为具有参数10的齐次泊

3、松过程，P(t s) - X (s)= n j= o n = 0,1 , 14?设X(t), t 0是具有参数0的泊松过程，泊松过程第n次到达时间 W的数学期望是。15?在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达保险公司？若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，求一年中保险公司的平均赔付金额o16.到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量.设各客车内乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数N(t)相互独立，则在0, t内到达汽车总站的乘客总数是 (复合or非齐次)泊松过程.17?设顾客以每分钟 2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2min内到

4、达的顾客不超过 3人的概率是.第四章无限制随机游动各状态的周期是o非周期正常返状态称为o20?设有独立重复试验序列X n,n - 1。以X n = 1记第n次试验时事件A发生，且=1 _ p ,若有PXn =1 = p ,以Xn = 0记第n次试验时事件A不发生，且PXn= 0Yn 八 Xk,n _1,则Yn, n 1是k 二答案、填空题n(t)ten!1 gn(t)ten!1 gn(t);2. EX ；3. eibtg(at)7.时间差；&独立增量过程；9. E”X(t2)X(tl)lX(t4)X(t3)P = 011. t； t ; 12. f(t)it t 0I t C 0nH gi(t

5、);4. Y;是5.m6 ?等价210 .二 x (mins,t)f(t)i 23)ei2, 3)tt 00t 015. 24000016.复合；17. 71 e4318. 2;19,遍历态；20.齐次马尔科夫链；二、判断题（每题2分）第一章ngi （t）（i =1,2 -n）是特征函数，H gi （t）不是特征函数。（）n维正态分布中各分量的相互独立性n维正态分布中各分量的相互独立性（ ）gi (t)(i =1,2- n)是)和不相关性等价。3?任意随机变量均存在特征函数。（）n4.特征函数，| gi （t）是特征函数。（i=15,设X1）X2）X3）X4是零均值的四维高斯分布随机变量，则有

6、 TOC o 1-5 h z E （XX2X3X4） （XMEgXJ+EfXMEgXJ+EgXJEg s）（）第二章6?严平稳过程二阶矩不一定存在，因而不一定是宽平稳过程。（）7?独立增量过程是马尔科夫过程。（）&维纳过程是平稳独立增量过程。（）AVV *第二早,非齐次泊松过程是平稳独立增量过程。（）第四章.有限状态空间不可约马氏链的状态均常返。（）?有限齐次马尔科夫链的所有非常返状态集不可能是闭集。（）12?有限马尔科夫链，若有状态k使一 p （=0,则状态k即为正常返的。（）设 i E S,若存在正整数n,使得置：）A0, p-A 1 0,则i非周期。（）有限状态空间马氏链必存在常返状态。

7、（）i是正常返周期的充要条件是 JmP”不存在。（）16?平稳分布唯一存在的充要条件是：只有一个基本正常返闭集。（）17.有限状态空间马氏链不一定存在常返状态。（17. i是正常返周期的充要条件是“甲卫1存在。（）.若 i i j,则有 di =dj ().不可约马氏链或者全为常返态，或者全为非常返态答案cost,出现正面X(t)二 2t,出现反面出现正面和反面的概率相等，求X(t)的一维分布函数F(x,1/2)和F(x,1) , X(t)的二维出现正面和反面的概率相等，求分布函数 F (x!, X2； 1/ 2,1)3.(10分)一(易)设有随机过程3.(10分)一(易)设有随机过程X二1.

8、X2. V3.V4.V 5. V6.V7. V8.V9.X10.V11.V12.V13 .16.V17.X18.X19 .VA ? Bt, t _ 0 ,其中A与B是相互独立的随机14 . V 15 . V20 . V1. ( 10分)一(易)设 XB(n,p),求X的特征函数，弁利用其求、判断题变量，均服从标准正态分布，求X(t)的一维和二维分布。第二早( 10分)一(易)设随机过程 X(t户Vt+b , t ? (0,+ a), b为常数，V服从正态分布 N(0, 1)的随机变量，求 X(t)的均值函数和相关函数。( 10分)一(易)已知随机过程X(t)的均值函数mx(t)和协方差EXo2

9、.( 10分)一(中)利用重复抛掷硬币的试验定义一个随机过程,函数B x(t 1, t2), g(t)为普通 函数，令Y(t)= X(t)+ g(t),求随机过程Y的均值函数和协方差函数。6.(10 分)一(中)设X(t),t ?T是实6.正交增量过程,T 二0, : : ), X(0) = 0,是一服正交增量过程,从标准正态分布的随机变量，若对任一t - 0, X（t）都与？相互独立，求Y（tAX（tr ,A 0,:）的协方差函数。（ 10分）一（中）设Z（t）二X ? Yt, -: t，若已知二维随机变量（X,Y）的协2方差矩阵为J12 ,求Z （t）的协方差函数。p也（10分）一（难）设

10、有随机过程X （t） , t T和常数a,试以X （t）的相关函数表示随机过程Y （t） =X （t a） X （t） , t?T的相关函数。 TOC o 1-5 h z AVV*第二早（10分）一（易）某商店每日8时开始营业，从8时到11时平均顾客到达率线性增加.在8时顾客平均到达率为 5人/时，11时到达率达到最高峰 20人/时，从11时到13时，平均顾 客到达率维持不变，为20人/时，从13时到17时，顾客到达率线性下降，到17时顾客到达率为12人/时。假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，问在&9: 30间无顾客到达商店的概率是多少？在这段时间内到达商店的顾客数学期望

11、是多少？（15分）一（难）设到达某商店的顾客组成强度为的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为p,且与其它顾客是否购买商品无关，求（0, t）内无人购买商品的概率。（ 15分）一（难）设X1 （t）和火 是分别具有参数1和2的相互独立的泊松过程，证 明：Y是具有参数、2的泊松过程。（10 分）一（中）设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有2户定居？即1/6 , 一户三人的概率为 1/3 ,二1/6 , 一户三人的概率为 1/3 ,户两人的概率为1/3, 一户一人的概率为1/6,弁且每户的人口数是相互独立的，求在五周内移民到该地区人口的数学期望与方差,k（10分）一（难）在e，k =0,1

12、,2,，时间t内向电话总机呼叫 k次的概率为pt （k）k!其中0为常数？如果任意两相邻的时间间隔内的呼叫次数是相互独立的，求在时间2t内呼叫n次的概率P2t （n）（10 分）一（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有30人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔超过2 min（15 分）一（中）设进入中国上空流星的个数是一泊松过程，平均每年为10000个?每 个流星能以陨石落于地面的概率为0.0001 ,求一个月内落于中国地面陨石数W勺EW varW和PW 2.（10分）一（易）通过某十字路口的车流是一泊松过程？设1min内没有车辆通过的概 率为0.2 ,求2min

13、内有多于一辆车通过的概率。30人到达,30人到达,求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔短于4 min（ 15分）一（中）某刊物邮购部的顾客数是平均速率为6的泊松过程，订阅1年、2年或3年的概率分别为1/2、I/3和1/6,且相互独立？设订一年时，可得1元手续费；订两年时，可得2元手续费；订三年时，可得3元手续费？以X （t）记在0 , t内得到的总手续费，求 EX （t）与 var X （t）（10分）一（易）设顾客到达商场的速率为2个/ min,求（1）在5 min内到达顾客数 的平均值；（2）在5min内到达顾客数的方差；（3）在5min内至少有一个顾客到达的概率.（10分）一（中

14、）设某设备的使用期限为 10年，在前5年内平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年需维修一次，求在使用期限内只维修过1次的概率.（15分）一（难）设 X （t）和Y（t 0）是强度分别为X和Y的泊松过程，证明：在 X （t）的任意两个相邻事件之间的时间间隔内，Y （t）恰好有k个事件发生的概率为 第四章（10分）一（中）已知随机游动的转移概率矩阵为0.5 0.50P = 00.5 0.50.50 0.5求三步转移概率矩阵P（3）及当初始分布为PX。=1 = PX。=2 =0, PX = 3 = 1时，经三步转移后处于状态3的概率。（15分）一（难）将2个红球4个白球任意地分别放入甲、乙两个盒子

15、中，每个盒子放3个，现从每个盒子中各任取一球，交换后放回盒中（甲盒内取出的球放入乙盒中，乙盒内取出的球放入甲盒中），以X 3个，现从每个盒子中各任取一球，交换后放回盒中（甲盒内取出的球放入乙盒中，乙盒内取出的球放入甲盒中），以X （n）表示经过n次交换后甲盒中红球数，则X (n)n 0为齐次马尔可夫链，求（1） 马尔可夫链，求（1） 一步转移概率矩阵证明：X,j = 0,1,2（10分）一（中）已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下0.8 0.1。.们PT(0) = (0.4,0.2, 0.4)P = 0.1 0.7 0.20.2 0.2 0.6求下一、二个月的销售状态分布。25.（15

16、分）一（难）设马尔可夫链的状态空间1 = 1,2,，25.（15分）一（难）设马尔可夫链的状态空间1 = 1,2,，7,转移概率矩阵为0.4 0.20.10.200P =00000.10.20.60.40.200 HYPERLINK l bookmark0 o Current Document 00.10.10.10.20.10.10.10.400000.6000.50.300000.30.7000.80.2求状态的分类及各常返闭集的平稳分布。26.（ 15分）一（难）设河流每天的 BOD（生物耗氧量）浓度为齐次马尔可夫链，状态空间I=1 ,（以一天为单2, 3, 4是按BOD度为极低，低、中

17、、高分别表示的，其一步转移概率矩阵（以一天为单 TOC o 1-5 h z 0.5O,0.1-0.2 P =0.50.20.10.10.20.60.100.20.40.4若BOD度为高，则称河流处于污染状态。（1）证明该链是遍历链；（2）求该链的平稳分（3）河流再次达到污染的平均时间J4o布；位）为27.（10分）一（易）设马尔可夫链的状态空间27.（10分）一（易）设马尔可夫链的状态空间1 = 0, 1 ,2,3,转移概率矩阵为1/21/2001/21/200P =1/41/41/41/40001求状态空间的分解。I = 1 , 2, 3, I = 1 , 2, 3, 4.转移概率矩阵为 T

18、OC o 1-5 h z 10 0 00 1 0 0 P =1/3 2/300J/41/401/2（10分）一（易）设马尔可夫链的转移概率矩阵为- 1/21/201P =1/201/201/21/2求其平稳分布。（15 分）一（难）甲乙两人进行一种比赛，设每局比赛甲胜的概率是p,乙胜的概率是q,和局的概率为r,且p+q+r=1 .设每局比赛胜者记1分，负者记一 1分.和局记零分。当 有一人获得2 分时比赛结束.以Xn表示比赛至n局时甲获得的分数，则 Xn,n_1是齐 次马尔可夫链.（1）写出状态空间I ； （ 2）求出二步转移概率矩阵；（3）求甲已获1分时，再赛两局可以结束比赛的概率 .（10

19、分）一（中）（天气预报问题）设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关.又设今天下雨而明天也下雨的概率为：？，而今天无雨明天有雨的概率为：，规定有雨天气为状态0,无雨天气为状态I o因此问题是两个状态的马尔可夫链 .设- =0.7, : = 0.4,求今天有雨且第四天仍有雨的概率32.（10分）一（中）设32.XnXn,n _1是一个马尔可夫链，其状态空间I=a , b, c,转移概率矩阵为1/2 1/4 1/4P = 2/301/33/5 2/50求（1） PX p =b, X 2 =c, X 3 = a,X4 =c, X 5 =a, X6 =c, X 7 = b|X 0 =c（2

20、） PXn 2 二 C|Xn 二 b33.（15分）一（难）设马尔可夫链Xn,n _0的状态空间1= 1 , 2,，6,33.（15分）一（难）设马尔可夫链1/30001/30001/31001/2100010001 HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 001001/3000000000 1/2试分解此马尔可夫链弁求出各状态的周期答案1.解：引入随机变量Xi i=1,2_ n（1分）itX i it 0it 1i (t)二 Ee =e q e p 二 pe qit (3 分) (4 分)it(AXit(AXi)(t)二 EeitX 二 Ee 乜Ee

21、 ? = (pe itq)ny(6分)EX - -i (0) (QAiEX二-i (pe二 一 i ?( peit q)nJ peit i一nR 8 分)t z0EX - -i (0) (QAiEX二-i (pe二 一 i ?( peit q)nJ peit i一nR 8 分)t z0(10 分)一Wx21(1)当 t=i/2 时，X (1/2)的分布列为 P x(2)= px (*ri3分)其分布函数为01F(2； x)二 1210Ax1t=1时X (1)的分布列为其分布函数为01F(1 ； x) 21PX(1 )x -1(2)由于在不同时刻投币是相互独立的,故在1PW,X(1) = 1PX

22、5分)t=1/2 , t=1时的联合分布列为=0,X(1) = 2十 X(2)=1,X(1) 十 X(2)=1,X(1) = -1?解：依题意知硬币出现正反面的概率均为1/2X(1) = 2故联合分布函数为F(2 1，xF(2 1，xix2)=01/41/2x0 or x 2-1-x 11 and - 1 _ x 2-x 11 and x 2 _ 2or X j 1 and - 1 x 210分)Xp - 1 and *2-2EX(t)二 E(A) E(B)tDX(t)二 D(A) D(B)t 2 =1 t2所以X( t )服从正态分布 N(0,1 ? t2) (3分)其次任意固定的 ti,t

23、八 T, X(t iH A Bt i, X(t 2AA Bt 2则依n维正态随机向量的性质，X(ti), X(t 2)服从二维正态分布，且EX(tJ = EX(t 2) = 0DX(tJ =1 t ;DX(t 2) =1 t2 ( 8 分)Cov(X(tJX(t 2) = EX(t J X(t2) =1 tit2li t21 t1t2所以二维分布是数学期望向量为(0,0),协方差为I122的二维正态分布。 TOC o 1-5 h z 1 +tjt21 +t2(10 分)4?解：X(t)二Vt b , VN(0,1),故X(t)服从正态分布，E CX(t) E Vt b J tEV b = bD

24、X(t) l- D Vt b - t 2DV 二 t2均值函数为m(t)二EX(t) b ( 4分)相关函数为R(t1,t2AEX(t 1)X(t1AEVt 1 blVt 2 bl=E V%t2 V(tt2)b b2 tt b2 (10分)5.解：mY(t)二 EY(t)二 EX(t) g(t) = m x(t) g(t)(4 分)B Y (t 1 , 12A = RY (t1- mY (t 1 )mY (t2)二 EY(tJY(t 2)-mY(tmY(t2)二 EX(t1)g(t1)X(t2)g(t2)-mX(t1)g(tJm X(t2)gA)-RX (t1 D - mX (t1 )mX (

25、t2 ) = BX (t1 , t2)1010分）(6?解：因为X(t),t ? T是实正交增量过程，故 EX(t) =0(2分)?服从标准正态分布，所以 E =0, D (2分) TOC o 1-5 h z EY(t)=EX(t) E =0 (4 分)又因为t _ 0, X(t)都与相互独立CovY(s),Y(t)二 EY(s)Y(t)二 EX(s)X(t) ( 6 分)二 EX(s)X(t) EX(s) EX(t) E 2=CovX(s),X(t) 1 (8 分)-(mins,t) 1 (10 分)7?解：利用数学期望的性质可得，CZ(s,t)=E 讥 X Y 9 (5YS)】I(X Yt

26、)-Tx71 (2分)二 E*X 7x) (Ys-ys)7X) (Yt7Yt)B二 E(X -灼 2E(X - ? .( YY )1E(Xj x)sd EstD 2 (8分)-DX (s t)Cov(X,Y) stDY=；:12 (s t)st 二； (10 分)&解：RY(ti,t2)= EX(t i a)-X(t i)X(t 2 a)-X(t 2) (2 分)二 EX(t a)X(t 2a)-EX(t ! a)X(t2) - EX(tJX八a) EX(tX(t?)=RX (t1a,t?a八_Rx (t1a, t2Rx (t1上2a)Rx (, t2 )(10分)9.解：根据题意知顾客的到达

27、率为5 5t 0 t 3 Mt) = 203 兰 t 5 ( 3 分)|20_2(t_5) 5 兰 tv 91.5 mx(1? 5) mx(0? 5) =(5 5t)dt=10 (6 分)0.5PX(1.5) X(0.5) =0 =e (10 分)10?解：设X(t),t -0 表示到达商店的顾客数，i表示第i个顾客购物与否，即1 第i个顾客购物匕=0第i个顾客不购物则由题意知 k=。Ly J(10k =0 k!k =0 k!11械明：PY(t ) Y(t)二 n二 PX i(t) X2(t)- Xi(t) -X2(t)二 n=PX1(r )- X1(t) X2(t ) -X2(t)二 nnf

28、 PX i(t ) - X i(t) =i, X2(t )-X2(t)=n-ii =0nPX i(t ) Xi(t) = i PX 2(t) X2(t) = n ii =0(1)1-1 ( 2厂；2V i!(n-i)!K12JJ：n!n 二 0,1,2故Y(t)是具有参数 -r 2的泊松过程5分)分)(15 分)(5分)(10 分)(15 分)12.解：设N(t)为在时间0, t内的移民户数，其是强度为2的泊松过程，Yi表示每户的N (t)人数，则在0, t内的移民人数 X(t)工悬Yi是一个复合泊松过程。i=1Yi是独立同分布的随机变量，其分布为Yi12341111P6336EYAdEYiA

29、436 6(4分)mx(5) =EN EYj =2 5 15 =256(7分)43 _x(5) = DN EY ; =2 5(10 分)21513?解：以A记时间2t内呼叫n次的事件，记第一时间间隔内呼叫为63第二时间间隔内P(A|Hk) =R( n-k)成立，于是Hk,则 P(HQ = R(k),n(h)八 R(k)R(n-k)kTen!n! k=o k!(n- k)!n kn-kee-心 k! (n-k)!2、n片Ckn!k=o(4分)8分)14?解：由题意，顾客到达数n!N(t)是强度为10分)？的泊松过程,则顾客到达的时间间隔Xn,n_1服从参数为的指数分布,fx(x) = 30 x3

30、0ex : 0(4分)2Px 60Fe4=oJ30 x .dx(10 分)15?解：设X(t)是t年进入中国上空的流星数,1,第i个流星落于地面0,第i个流星不落于地面X(t)为参数，=10000的齐次泊松过程1,2,0.9999 0.0001X(t)由题意知，、Yj是一个复合泊松过程EW 二 EX(t) E 10000 0.0001 二1212W是参数为9=1的泊松过程2 1 21 VarW =WEY i10000 1 0.0001 =(10 分)(1 )0 1 ( 1 )1 1 1 彳 1 =1_ 12。冠 一 12 =1-e无-1 盯(15 分0! 1T 12以N(t)表示在0,t)内通

31、过的车辆数，设N(t), t_0是泊松过程，则16.解： TOC o 1-5 h z PN(t) =kk=0,1,2, (2 分)k!PN(1) =e; =0.2=二=1 n5 (5 分)PN(2)1 =1 _PN(2) E1 =1_PN(2) =0 _PN(2)=1一 1 - e 2 Be-In 5 (10 分)525PW _2 =APW 0是泊松过程，=2,则当N( 5 )服从泊松过程P 5 t A-AeA 5, k= 0,1,2, P(15 分)19.解:t=2时,EX(t) =EZ(t) EY 1 =6tVarX =VarZ(t) EY0t612 =6t=0t6N表示在0 , t)内到

32、达的顾客数，显然 N,t0是泊松过程，=2,则当N( 5 )服从泊松过程P 5 t A-AeA 5, k= 0,1,2, PN(5)=k 八 k!EN (5) =10;DN(5) =10PN(5) -1 = 1 -PN(5) = 0=1 -e010分)20.解:所以该过程是非齐次泊松过程，强度函数1 / 2.5 0tPT(1) PT(1) = P T(0)P 二(0.4,0.2, 0.4)0.80.10.10.10.70.20.20.20.6二(0.42,0.26,0.32)(5分)0.8 0.1 0.1 0.8 0.1 0.1PT(2) = Pt(0)P2=(0.4,0.2, 0.4)0.2

33、0.20.6 0.2 0.20.60.10.7 0.20.10.7 0.2=(0.426,0.288,0.286)25.解:(5分)0.8 0.1 0.1 0.8 0.1 0.1PT(2) = Pt(0)P2=(0.4,0.2, 0.4)0.20.20.6 0.2 0.20.60.10.7 0.20.10.7 0.2=(0.426,0.288,0.286)25.解:-1,2是非常返集，C13,4,5C2二6,7是正常返闭集。常返闭集C13,4,5上的转移矩阵0.2解方程组 -:P5 =1(10 分)5分)0.40.50.60.3,其中兀=(兀3,兀4,叫)，解得H3一兀23,24.解: TOC

34、 o 1-5 h z 1076Ci上的平稳分布为, , 23,23,23 , , 087同理解得C2上的平稳分布为0,0, 0,0,0, （15分）15 1526.解：（1）因为1? r 2 、3.r 4,故马氏链不可约，又因为状态1非周期，故马氏链是遍历链 （5分）兀=JIP（2 ）解方程组J其中兀=（兀1,兀2,兀3,兀4）71A + 兀 2 + 兀 3 +人4= 1解得一=0.2112,二 解得一=0.2112,二 2 = 0.3028,二 3 = 0.3236,4 = 0.1044 10分）115分）（3） j9 15分）兀427.解：状态传递图如下图由状态2可到达0, 1, 3三个状

35、态，但从0, 1, 3三个状态都不能到达状态2,且5）A I 22n生（105）A I 22n生（101f221，故状态2是非常返状态。4状态0, 1互通且构成 一个基本常返闭集,（1） - -。f。（。2）f 畀、? f。00n A故状态0, 1是常返态。于是状态空间分解为I二2 ? 0,1 *3（5分）8分）28.解：状态传递图如下图状态1和状态2都是吸收态.都是正常返非周期的基本常返闭集,（5分）而N = 3 , 4是非常返集.有 pv =1, P21 状态1和状态2都是吸收态.都是正常返非周期的基本常返闭集,（5分）而N = 3 , 4是非常返集.有 pv =1, P21 =o, P3；n（n _L）1,1p4 ; T 41 pn4144 2以上说明但与i的取值有关。（8分）（12 分）（15 分）.解：设-（二