正定二次型性质应用

1、纲要错误!不决义书签。要点词错误!不决义书签。Abstract错误!不决义书签。Keywords错误!不决义书签。序言错误!不决义书签。1预备知识错误!不决义书签。二次型定义错误!不决义书签。正定二次型定义错误!不决义书签。2正定二次型的性质错误!不决义书签。3正定二次型的应用7正定二次型在解决极值问题中的应用7正定二次型在分块矩阵中的应用错误!不决义书签。正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用9正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用10正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用错误!不决义书签。正定二次型在欧氏空间中的应用（欧氏空间的内积与正定矩阵）错误!不决义书签。正定二次型在

2、解线性方程组中的应用.错误!不决义书签。正定二次型在物理力学识题中的应用.错误!不决义书签。结束语.13参照文件.错误!不决义书签。正定二次型的性质及应用纲要：本文主要商讨了正定二次型的性质，联合例题要点介绍了正定二次型的应用，如研究极值问题方面、解决多项式的根和在物理方面的应用等.要点词：正定二次型；正定矩阵；合同；初等变换；分块矩阵ThepropertiesandApplicationsofpositivedefiniteQuadraticFormsAbstract：Inthispaper，thepropertiesofpositivedefinitequadraticformisdisc

3、ussed.Bygivingexamples,wemainlyintroducetheapplicationsofpositivedefinitequadraticform,suchastheapplicationtoextremumquestions、studyingthepolynomialrootandapplicationsinphysicsetal.Keywords：positivedefinitequadraticform;positivedefinitematrix;congruence;elementarytransformation；partitionedmatrix.序言二

4、次型是线性代数的主要内容之一，正定二次型是是实二次型中一类特别的二次型，据有特别的地位.正定二次型常常出此刻很多实质应用和理论研究中,且有很大的适用价值，它不单在几何并且在数学的其他分支学科以及物理和工程技术也常常用到，正定矩阵是依赖正定二次型给出的，因此对正定矩阵的性质的观察，有助于更好地认识正定二次型，本文在二次型的基础上研究了正定二次型与正定矩阵的一些性质及有关证明，并以例题的形式详尽介绍了正定二次型的一些应用.1预备知识二次型定P是一数域，一个系数在数域P中的x1,x2,.,xn的二次次多式fx1,x2,.,xna11x122a12x1x22a1nx1xna22x222a2nx2xn+

5、annxn2称数域P上的一个n元二次型，或许在不致惹起混杂称二次型.正定二次型的定定1二次型fx1,x2,.,xn称正定的，假如于随意一不全零的数c1,c2,cn都有fc1,c2,.,cn0.定2称矩A称正定的，假如二次型XAX正定.正定二次型的性质性1二次型fx1,x2,.,xn=d1y12d2y22dnyn2是正定的当且当di0,i1,2,n.明必需性.因fx1,x2,.,xn=d1y12d2y22dnyn2是正定的，所以于随意的一不全零的数c1,c2,cn都有fc1,c2,.,cn0.于是取一不全零的数：0,0,0,1,0,0（里第i个1，其他n1个0），有f(0,0,0,1,0,0)=

6、di0,i1,2,n.充分性然.性2n元二次型fx1,x2,.,xn是正定的充要条件是它的正性指数等于n.明二次型fx1,x2,.,xn非退化性替成准型d1y12d2y22dnyn2.（1）上边的表示，fx1,x2,.,xn正定当且当（1）是正定的，而我知道，二次型(4)是正定的当且仅当di0,i1,2,n，即正惯性指数为n.性质3正定二次型fx1,x2,.,xn的规范形为y12y22yn2，正定二次型的规范性矩阵为单位矩阵E，所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同.性质4实二次型.fx1,x2,.,xn=XAX，正定的必需条件为A0证明有实二次型知A是一正定矩阵，由于A与单位矩阵

7、合同，所以有可逆矩阵C使ACECCC.两边取队列式，就有ACC2C0.性质5实二次型fx1,x2,.,xn=XAX为正定的充分必需条件是A的特点值都是正数.性质6若A是正定矩阵，则A1也是正定矩阵.证明假如A正定，则由性质2知A0，因此A可逆，且其存在可逆矩阵T,使ATT，将等式两边取逆有AT1T1，令C(T1)，于是A1CCCEC，所以A1也是正定矩阵.性质7若A是正定矩阵，则对随意的实数k，kA也是正定矩阵.证明由于A正定，所以对随意n维实向量X0，都有XAX0，若k0，则X(kA)Xk(XAX)0，故kA为正定矩阵.性质8若A是正定矩阵，则A的陪伴矩阵A*也是正定矩阵.证明由于A正定，因

8、此A0，且有性质四知A1也正定，而A*=AA1，又由性质5知A*为正定矩阵性质9正定矩阵只好与正定矩阵合同.证明若A正定，则A与单位矩阵E合同，若B也正定，则B也与E合同，即A、B都与单位矩阵E合同，故A、B合同.反之，若A、B合同，且A正定，即A与单位矩阵E合同，所以B也与E合同，故B也为正定的.综上，结论建立.性质10若A、B为正定矩阵，则AB也为正定矩阵.证明由于A、B为正定矩阵，故XAX，XBX为正定二次型，于是X(AB)X=XAXXBX也必为正定二次型，故AB为正定矩阵.性质11若A是正定矩阵，则对随意的正数k，Ak也是正定矩阵.证明由于A正定，那么当k2m时，AkAmAm(Am)A

9、m，Am为实可逆矩阵，所以Ak正定；当k2m1时，Ak(Am)AAm，因此Ak与A合同，有性质7知Ak为正定矩阵.所以不论哪一种状况，Ak都正定.性质12实二次型nnfx1,x2,.,xnaijxixj=XAX，i1j1矩阵A的主对角线上的元素都大于零.x1证明由于A是正定矩阵，于是对任何Xx20，xn恒有fx1,x2,.,xn=XAXnnaijxixj0，i1j1此中aij(i,j1,2,n)为A的元素，令00XI1（i行）i1,2,n,00那么XiAXiaii0,i1,2,n,证毕.性质13实二次型nnf(x1,x2,xn)aijxixj=XAXi1j1是正定的充分必需条件为矩阵A的次序主

10、子式全大于零.证明先证必需性.设二次型nnf(x1,x2,xn)aijxixji1j1是正定的.关于每个k，1kn，令nnfk(x1,xk)aijxixji1j1我们来证fk是一个k元的正定二次型.关于随意一组不全为零的实数c1,ck，有nnfk(c1,ck)aijcicjf(c1,ck,0,0)0i1j1所以fk(x1,xk)是正定的.由性质4，fk的矩阵队列式a11a1k0,k1,nak1akk.这就证了然矩阵A的次序主子式大于零.再证充分性.对n作数学概括法.当n1时，f(x1)a11x12，由条件a110明显有f(x)是正定的.1假定充分性的判断关于n1元二次型已经建立，此刻来证n元的

11、情况.令a11a1,n1a1nA1aan1,1an1,n1，an1,n，于是矩阵A能够分块写成A1aAann.a既然A的次序主子式全大于零，自然A1的次序主子式也全大于零.由概括法假定，A1是正定矩阵，换句话说，有可逆的n1级矩阵G使GA1GEn1,这里En1代表n1级单位矩阵.令C1G00,1于是G0A1aG0En1GaC1AC101aann01.aGann再令C2En1Ga，01有En10En1GaEn1GaEn10.C2C1AC1C2aG1aGann010annaGGa令CC1C2，annaGGaa，就有1CAC.a两边取队列式，2a.CA有条件，A0，所以a0.明显1111.1111a

12、a1a这就是说，矩阵A与单位矩阵合同，因之，A是正定矩阵，或许说，二次型fk(x1,xk)是正定的.依据概括法原理，充分性得证.正定二次型的应用正定二次型在解决极值问题中的应用定理1设n元实函数fx1,x2,.,xn在点p0的一个邻域中连续，且有足够高阶的连续偏导数，则函数fx1,x2,.,xn在点p0近旁有性质：若XAX正定，则p0为极小点；若XAX负定，则p0为极大点；若XAX不定，则p0非极大或极小点；其他情况时，fx1,x2,.,xn在p0性质有待研究余项R的性质来确立.特别当fx1,x2,.,xn是二次函数时，R=0只需XAX半正（负）定，则p0为极小（大）点.例1求函数zxyln(

13、x2y2)的极值.解222x2y222xy2zxyln(xy)x2y2,，zyxln(xy)x2y2.解方程组zx0zy，易得0 x0，xx12e，（符号随意搭配），1，y1y01y2ezxx2xy(x23y2)，zyy2xy2(3x2y2)，(x2y2)2(x2y2)2zxyzyxln(x2y2)2(x4y4).(x2y2)2于是Azxxzxy，经计算得Azyxzyy20A(1,1)A(1,1)0负定；A22222A(02(1,1)1,1)2正定；22220A(0,02不定.故，在(1,0)1)20(1,0),(0,1)，z不取极值；在(1,1),(1,1)点，z取极小值，2e2e2e2ez

14、极小-1；在(1,1),(1,1)点，z取极大值，z极大1.2e2e2e2e2e2e正定二次型在分块矩阵中的应用.例2设A，B分别是mn阶正定矩阵，试判断分块矩阵CA0能否0B为正定矩阵.解可证C是正定矩阵.由于A，B都是实对称矩阵，进而C也是实对称矩阵且随意的XRmn,X0，令XCX(X1,X2)A0X1X1AX1X2BX2，Xx1，0BX2x2此中，X1Rm，X2Rn，且起码有一个是非零向量，于是XCX(X1,X2)A0X1X1AX1X2BX20.0BX2故C是正定矩阵.正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用例3设n次实系数多项式f(x)的根为x1,x2,xn，令S0S1Sn1Skx1

15、kx2kxnk，SS1S2Sn.Sn1SnS2n2111证明易证STT,这里T.x1n1x2n1xnn1必需性设x1,x2,xn是n个互异实根，由于T是范德蒙队列式，所以T0，即T是非奇怪的.又由于STTTET,所以S与E合同，即S正定.充分性设S是正定的，所以T0，那么xi互异.若x1,x2,xn中有非实数，比如x1，那么x1的共轭数x1也是f(x)的根不如设x2x1.由于T是非奇怪的.所以线性方程组a0 x1a1x1n1an11a0 x1a1x1n1an11（2）a0 xja1xnj1an10j3,n有独一解a(a0,a1,an1)0.由于S是正定的，所以，作为二次型的fYSY是正定的,由

16、（2）式有1faSaaTTa(1,1,0,0)12.0这与f是正定即S是正定的矛盾，所以x1,x2,xn中不可以有非实数的复数，所以f(x)的n个根为互异的实根.正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用例4利用直角坐标变换化简以下二次曲面方程.3x22y22z22xy8x6y2z30310此中X(x,y,z),B(4,3,1),A120.002作平移代换,XYa,a(a1,a2,a3)，则有(Ya)A(Ya)2B(Ya)30即YAYYAaaAYaAa2BY2Ba30令aAa2Ba3又由于YAaaAY,AA所以YAY2(AaB)Y0适入选用a，使AaB，由秩A秩A3知：AaB（线性方程组）

17、有独一解：a1a21,a31.2由A,a,B可得-9，又由于A是可逆实对称阵，所以存在正交阵T使得21TAT2，3此中12，255，35522为A的特点根.作正交线形替代YTZ,Z(Z1,Z2,Z3),则AY22Z222Z2552552Y1Z123Z312Z2Z3.2即，原方程能够化简为2552552.2Z1Z2Z322正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用尽人皆知线形方程组a11x1a12x2a1sxsb10a21x1a22x2a2sxsb20可能无解an1x1an2x2ansxsbn0n即随意一组x1,x2,.,xs都可能使y(ai1x1ai2x2aisxsbi)不等于零，我i1们想法

18、找x10,x20,.,xs0使y最小，这样x10,x20,.,xs0称为方程组的最小解，这类问题就叫最小二乘法问题.若记A为上述线性方程组的系数矩阵，B(b1,b2bn)T，于是使得y值最小的X必定是方程组XAX=XB的解，而其系数矩阵AA是一个正定矩阵，它的惯性指数等于n，所以这个线性方程组是有解的，这个解就是最小二乘解.正定二次型在欧氏空间中的应用（欧氏空间的内积与正定矩阵）定理设V是R上的欧氏空间，那么V的内积与n阶正定矩阵是一一对应的.正定二次型在解线性方程组中的应用.例5（1）用矩阵给出平面上n个点Pi(xi,yi)共线的充分必需条件（2）设A是n阶满秩矩阵，试证，X(AA)X是一个

19、正定二次型，这里Xx1,x2,.,xn.解（1）设直线ykxb，n个点共线是指线性方程组（把k,b当作未知量）kx1by1kx2by2kxnbyn有解，所以n个点Pi(xi,yi)共线所以方程组有解1x111x1y1秩秩.1xn1xnyn（2）设A是n阶满秩矩阵，令YAX,此中Y(y1,y2,yn)，则X(A)1Y是非退化现行替代，且X(AA)XYYy12y22yn2，由此能够看出，此二次型的正惯性指数与秩都等于n，所以X(AA)X是正定二次型.正定二次型在物理力学识题中的应用.由于在物理力学识题中常常需要同时将两个二次型转变为标准型来实现，这事应用中很重要的一个问题.命题设A是n阶正定矩阵，B是n阶实对矩阵，则存在n阶可逆矩阵S，使得SASE,SBS,此中为对角阵.证明由于A是正定矩阵，所以存在n阶可逆矩阵S1，使得S1AS1E，令BS