量子力学与经典力学联系的实例分析

1、选题的根据:选题的理论实际意义并综述有关本选题的研究动态和自己的见解一般我们在研究物理问题时，经典物理遇到了无法解决的问题，通过引入量子 化思想,，搞清楚它们之间的联络对于物理问题的研究和学习就显得非常重要.，要先分析经典力学和量子力学两者的关系并从中找出两者联络和过渡的条 件,再将两者分析方法详细运用到物理问题当中，最终选择更为简易的方法解决 物理问题.论文的主要内容、根本要求及其主要的研究方法：，文章通过几个详细的例子谐振子和氢原子的能级在一定条件下量子到经典 问题的过渡.薛定诸方程在一定条件下转化为哈密顿方程解薛定川方程准经 典近似方法来讨论量子力学在一定条件下过渡到经典力学；第二方面从

2、运动学角 度对量子力学和经典力学的理论进展了比较研究提出了量子力学.首先对经典力学和量子力学的主要内容进展学习,明确两者在物理问题解决时所采用的方法，对两者之间的联络和过渡条件进展分析归纳，最终得出两者的详细联络条件.通过学习参考文献和详细例子，对两者的联络进展分析，最终得出两者之间 联络和过渡时所满足的条件.量子力学与经典力学的联络的实例分析摘要：量子力学与经典力学研究的对象不同，范围不同，二者之间是不是不可逾越的？当然不是，在一定条件下，二者可以过渡.本文首先对量子力学和经典力学的关系进展了分 析，其次通过详细的实例来说明量子力学过渡到经典力学的条件，最后分析出从运动学角度，经典力学向量子

3、力学过渡可归结为从泊松括号向对易得过渡.关键词：量子力学；经典力学；过渡从高中到大学低年级，我们所涉及的物理学内容均为经典物理学范畴，经典物理学 理论在宏观低速范围内已是相当完善，正如十九世纪末一些物理学家所描绘的那样，做 机械运动的物体，当运动速度小于真空中的光速时准确地遵从牛顿力学规律；分子热运动的规律有完备的热力学和统计力学理论；电磁运动有麦克斯韦方程加以描绘；光的 现象有光的波动理论，整个物理世界的重要规律都已发现，以后的工作只要重复前人的 实验，进步实验精度，在测量数据后面多添加几个有效数字而已.正因如此为何在学完经 典物理学以后还要继续学习近代物理学，如何引入近代物理学就显得格外重

4、要.毫无疑问近代物理学的产生是物理学上号称在物理学晴朗的天空上“两朵小小的 乌云造成的1,正是这引发了物理学的一场大革命.这“两朵小小的乌云即黑体辐射 实验和迈克尔逊-莫雷实验.1900年为理解释黑体辐射实验，普朗克能量子的假设，导致 了量子理论思想的萌芽，接着光电效应、康普顿效应以及原子构造等一系列问题上，经典 物理都碰到了无法抑制的困难，通过引入量子化思想，这些问题都迎刃而解，这就导致了 描绘微观世界的理论-量子力学的建立.在经典物理非常成熟、完备的情况下引入静近代物理学，毫无疑问必须强调以下问 题：1经典物理学的适用范围是宏观低速运动；219世纪末20世纪初，物理学已 经研究到微观现象和

5、高速运动的新阶段；3新的研究范畴必须引入新的理论，这样， 近代物理学的出现也就顺理成章了 .尽管强调经典物理学的适用范围是宏观低速运动，但碰到微观高速问题，人们照旧 习惯于首先用非常熟悉的经典物理来解决物理学家如此，我们也不例外.无疑用经典物 理学去解决高速微观问题最终必将以失败而告终.然而在近代物理学课程的研究中有 意识地首先让经典物理学去碰壁，去得出结论，但结论是矛盾的和错误的，然后，引出近代 物理学的有关理论，问题最后迎刃而解2.经典物理学是在宏观和低速领域物理经历的根底上建立起来的物理概念和理论体 系，其根底是牛顿力学和麦克斯韦电磁学.近代物理学那么是在微观和高速领域物理实 验的根底上

6、建立起来的概念和理论体系，其根底是相对论和量子力学，必须指出，在相对 论和量子力学建立以后的当代物理学研究中.虽然大量的是近代物理学问题，但也有不 少属于经典物理学问题.因此不能说有了近代物理学就可抛弃经典物理学 .量子力学是物理学研究的经历扩大到微观领域的结果.因此，量子力学的建立必然 是以经典力学为根底，它们之间存在必然的联络，量子力学修改了物理学中关于物理世 界的描绘以及物理规律陈述的根本概念.量子力学关于微观世界的各种规律的研究给 物理学根本概念带来了根本性的改变.因此，近代物理学的研究应该在经典物理学的根 底上有所打破，才会日趋完美.本论文主要对经典力学和量子力学之间的联络进展了分析

7、和讨论.文章通过几个 详细的实例包括：（1）谐振子和氢原子的能级在n时量子到经典问题的过渡；（2）薛定川方程在一定条件下转化为哈密顿方程；（3）经典哈密顿函数H向量子力学算符？ 过渡；（4）经典动能和量子力学的表达形式的过渡，讨论量子力学过渡到经典力学处理 问题的条件.量子力学与经典力学的关系一直以来，开展很完善的经典力学的研究对象就是宏观物体和宏观现象：诸如牛 顿三大定律、拉格朗日方程和哈密顿方程，它们很完美地反映并预测出了宏观物体的运 动规律，而量子力学的研究对象是微观粒子和微观现象，诸如原子、电子、介子等.无论 是宏观物质还是微观粒子？它们同属于物质，为什么却要用两种不同的理论来研究它们

8、呢？我们知道，在研究物体的运动时，先要建立观测运动的手段，也就是说，严格跟踪它 的轨迹.有了明确的观测轨道的手段就意味着有了明确的轨迹.利用相对论的知识，我们知道,在测量时一般用光或电波来追踪物体并测定物体的一些力学量，如：速度、加速度等.这样做的原因是光速不变、光速最大，最重要的是光子的质量相对于宏观粒子来说几 乎可以忽略.就像在碰撞中，假设被碰撞物体的质量远大于入射粒子的质量，那么入射粒 子对靶粒子的状态就几乎没有影响，这样就能到达测量的目的测量的原那么是不影响 被测物体的状态.而当被测物是微观粒子时，情况就不一样了 .光子对微观粒子的影响 已经不能忽略了 .光子也是一种微观粒子，当光触及

9、到微观粒子时彳散观粒子的运动状态 就发生改变，但假设光不触及微观粒子，就无法知道它的位置，这样永远不能测定微观粒 子的运动状态.宏观粒子和微观粒子的区别可以从波粒二象性中得到.任何物质都具有波粒二象性，只是有波动性、粒子性哪种性质比较明显的区别.根据德布罗意波长表达式= -,h的量级是10-34，宏观粒子因为质量较大，故人很小，波动性不明显.而微观粒子不 P一样质量很小，且通常以高速运动，已不能忽略,波动性明显.两种力学理论中都有自己的假设.在经典力学中，牛顿定律F=ma就是最大的假设， 在这个假设的前提下，衍生出一系列的力学量及守恒定律.在量子理论中，有四大假设： 1.粒子的状态可以用波函数

10、描绘，假设某一波函数（x）描绘一个粒子的坐标状态，那么 dv表示在空间体积中找到粒子的概率本身毫无物理意义，他只有与算符作用或是求几率密度时才能表达出作用.2.波函数满足态的叠加原理.3.力学量可以用厄米算符 表示试验中测得的力学量的值可以看作是对应算符的期望值（F F? d 是系统的波函数，是波函数里的自变量.4.两个力学量可以同时被测量的充要条件是：这两个力学量对应的力学算符可以对易（F GF?）.波函数及算符的引入使量子理论快速地 回到数学上来，并在很大程度上与经典力学规律保持一致，四个假设也使量子理论和实 验结果能较好地吻合3.在经典力学中，当我们找到系统的初始状态时，根据经典力学的规

11、律，可以唯一确定 系统的末状态和力学量，而在量子领域，即使我们知道系统处于确定的状态，但其力学量 不一定有确定值.如波函数Ci 1+C2 2+.+Cn n,系统此时的状态用来描绘，但在测定力学量时，结果可能是斗（4是波函数对应是本征值，该结果出现的概率是C1）,也可能 是a2 a2是波函数对应是本征值，该结果出现的概率是C2，也可能是an（an、cn的物 理意义和上面一样.故在量子力学中，在非本征态时，测量时，通常无法知道到底会出现 哪个结果，但我们能知道各个结果及它们出现的概率.大多数情况下，测定某物理量的值 时,会有很多种结果出现，它们彼此分立，即出现量子化现象.事实上，大多数的量都是量

12、子化的.经典力学中很容易确定物体的运动轨迹，即同时确定动量P和位移x,也能同时 确定能量E和时间t,一切都很完美！但在量子力学中，存在着一个重要且普遍的规律： 测不准原理又称互补原理，即：对于微观粒子来说，位置和其共腕的动量以及能量和 其共腕的时间是不能同时严格测定的，而牛顿力学正是以这两组量可以同时确定为根 底建立的.测不准原理是引入微观粒子的波动性的概念的必然结果.该原理又称互补原理是因为：p x h E t h x是动量改变 p粒子发生的位移，t是能量改变E所需的时间也不是所有的量都无法同时测量，在上面的量子力学假设4中,我们已 经知道了可以多个力学量同时测量的条件.牛顿定律F=ma是整

13、个经典力学的基石，或者用拉格朗日方程、哈密顿方程也可以 更普遍地描绘整个宏观体系.在量子力学中，薛定川方程曲工=? ,?是哈密顿算符） 那么能反响出规律.我们都清楚，量子力学是比经典力学更为普遍的理论，经典力学是量 子力学是特例，当大量的微观粒子会聚在一起时，那么又回到了宏观情况.所以，量子理论 成立的一个很重要的前提就是，能回到经典理论中去.确实在极端条件下，薛定川方程能 回到牛顿方程和哈密顿方程4.在量子力学中也存在着一些特殊的状态，如：定态当能量波函数 (X, t)可写成(X) e-iEt/X和t可以别离变量时，我们称系统处于定态.此时薛定川方程不含时间, 也就是能量的本征方程，根据本征

14、方程的性质可知：力学量的期望值即本征方程的本 征信不随时间变化，该力学量取各种可能的结果的几率不变.从这种特殊的状态中我们 也能找到一点经典情况的影子，它和经典情况已经有一点点相似了 .经典力学几乎能很好地解释、预测宏观世界的所有规律，包括宇宙天体的运动.对于 量子力学，它在研究中心场、自旋理论、定态微扰论、散射理论、量子跃迁等方面运用 较多,主要着重于微观领域，如今一些穿插学科中运用也很多，如生物物理中，研究蛋白质 构造；化学物理中，化学反响中化学键的形成等.量子力学已经被广泛应用于各个研究领 域.经典力学与量子力学，根本区别在于能否用光子追踪物体并能同时观测到各种物 理量即研究对象的波动的

15、明显性.量子理论中，因为波函数的叠加性使得测量过程中 会出现各种结果，微观粒子的波动性即表达在 波的叠加性上，物质波描绘的是粒子在 空间的几率分布.波函数和算符的引入将经典力学与量子力学的联络表达出来了，并使量子论最终回到了经典理论中去.在学习量子理论的过程中，我们发现很多理论是从经 典的规律出发推导得到的 彳艮多时候这些推导在量子领域中都是不适用的.但我们认为这只是从经典过渡到量子的一种方法.很多时候，我们只关心结论，只要结论是对的，和实 验结果能很好地吻合，至于这个结论是怎么得来的，就不是很重要了 .正如在研究微观粒 子的运动是，通常会用到“径迹重现的方法，但微观粒子根本就没有轨迹，同样，

16、有时候 借用经典方法，只要能到达想要的结果，方法是否符合理论也不是那么重要了 .2.量子力学与经典力学详细联络的分析和讨论从量子力学与经典力学的研究对象和范围不同研究它们之间的过渡量子力学与经典力学研究的对象不同，范围不同，二者之间是不是不可逾越的？当然 不是,在一定条件下，二者可以过渡.由于物理学的开展是在实验的根底上开展起来的 ，随 着实验条件，测量精度的不断进步，物理学理论也要开展.在量子物理中，当主量子数n-oo 时,从误差角度考虑问题，量子理论就过渡到经典物理.下面举例说明：(1)谐振子设谐振子的能量为Enn工方那么相邻能级间隔为2EnEn 1 En U那么，当n那么，当n时,小En

17、EnEn=-2eR22a0nEnEn+1 Ee2EnEn+1 Ee2(2n+1)2a0n2(n+1 )2那么，当nEn2n+1(2n+1)2时,fn0.En由于相邻能级间隔很小，可以忽略，所以当n很大时的能级可以看作是连续能级，量 子化特征消失，由量子理论过渡到经典理论.那么由量子理论过渡到经典理论有没有一 个标志了 ？我们说有，这就是普朗克常数h,假设在研究的过程中h的影响很小，可以忽略, 就可以由量子理论过渡到经典理论，反之，那么用量子理论处理问题.下面再举例说明：(3)薛定川方程与哈密顿方程的关系设离子在势场v r中运动，含时间的薛定川方程表示为十 为2i 力一(-+v)t 2miis一

18、(p r-Et)= Re*= Re入为常数,S表示作用量)R_ 1 t 2m(R 2R_ 1 t 2m(R 2S+2 R S)(2)代入上式得S=- ( S=- ( S)2+v- t 2m力222m R(3)式在经典极限下，即h 0与经典力学中的哈密顿方程相等S ( S)2+ -_ +V=0t 2m对于定态对于定态Et那么样 E V即不含时间的作用量满足哈密顿方程，接下来我们还可以推导出量子力学中的牛顿方程.由粒子数守恒定律方程：一+ J 0t TOC o 1-5 h z 可得粒子流速为：=-j(6)m S 12(6)式代入(4)式得： + m +V (r)=0(7)式取梯度后将(6)式代入得

19、+m () v+ v( r)=F在流体力学中常用公式-=-+dt t所以得m =- V r =F(8)dt量子力学中的牛顿方程与经典力学中的牛顿方程在形式上是一致的，但是量子力学由于动量和坐标的不确定关系，牛顿方程中都要取平均值方可计算6.4经典哈密顿函数H向量子力学算符？过渡在球坐标系下，直接对经典量进展量子化为算符，在球坐标系下的三维运动粒子的动能表达式为T - m (r2+r2 2+r2sin2 2)92正那么动量为 R=1=mr P=mr2P mr2 sin2r10从而得到粒子的哈密顿量H =2m212(pr+p在球坐标系中将r91+ 1 2r sinp2H =2m212(pr+p在球

20、坐标系中将r91+ 1 2r sinp2)+v r式直接量子化，根据对易规那么，假设仍将相应的算符表示为11p =-访P r =-浦p =-%pr =-访12将12式代入10式可得J2m r2222 + 2-22r r sin+V(r)5动能表达形式的过渡在经典力学中，粒子动能一般表示为13132ds为粒子空间轨道曲线的线段元，在常用的直角坐标系中，ds2=dx2+dy2+dz2所以T = 1M (x2所以T = 1M (x2+y2+Z2)214由正那么通量?x = =mxxT .p由正那么通量?x = =mxxT .py = -=myyTPz = -=mzz15因此T=击位+py+p因此T=

21、击位+py+p2)16按正那么量子化方法?x=-访?y=-访一 y件肃底哒+即-18x=r sin cosy=r sin sinz=rcos及逆变换件肃底哒+即-18x=r sin cosy=r sin sinz=rcos及逆变换r= . x2+y2+z2=arctan( x +y z=arctan (1917而动能算符表示为/ 2_2 +2M x2从T?的直角坐标表示式18可以导出2M27)z_ (r + 2M r r r r sinsin1+2 . 2r sin2)2M27)z_ (r + 2M r r r r sinsin1+2 . 2r sin2)F+丁一2M r r r sinsin

22、1+ 2 . 2r sin202M r221+ 一+ r r r sinsin1+ -22r sin2至)2.2从运动学和动力学角度对量子力学和经典力学的理论形式进展比较 (1)运动学的比较运动学的任务是解决系统状态的描绘问题，也就是确定运动学变量及其服从的代 数关系.人们知道，经典力学的运动学是广义坐标qi和广义动量pj7,它们所服从的代数 是泊松代数. TOC o 1-5 h z qiPj = j(21)qi qj = PiPj =0(22)量子力学的运动学变量是广义坐标算符母和广义坐标算？它们所服从的是海森堡代数耳,* =ij(23)bi吊讯闻(24)1比较2122式和2324式易得到X

23、,Y 二 采部(25)25式中的XY分别代表任意两个力学量，义和V代表力学量算符.由上可见，由 于运动学代数的不同，使得量子力学的广义坐标和广义动量为算符，而经典力学的广义 坐标和广义动量为普通的力学量，而且从运动学角度经典力学向量子力学过渡可归结 为从泊松括号向对易得过渡，这正提醒了量子力学与经典力学之间的本质差异根源于 运动学.另外，经典力学的坐标与动量只是普遍空间的位矢，一般表示为q qg, P pgee ij(26)26式中的3或gj为普通空间的位矢，且彼此正交归一；而量子力学的运动学变 量是算符，必须作用于详细的物理对象方可给出物理学上可观测的结果(平均值).而状态矢量表示量子态的概

24、率幅，它是希尔伯特空间中的矢量，力学量算符也是作用于该空 间的算符，态叠加原理使得希尔伯特空间成为线性矢量空间，在该空间中，量子态一般 表小为:n | m mnn | m mn1nxnn| = I(27)27式中n为希尔伯特空间的基矢，满足正交归一完备要求.实际上正如经典力 学可以选择坐标系一样量子力学也可以选择表象.其实，选择坐标系或表象都是理论描绘的自由因此带有主观因素.尽管如此人们还是为了简洁，明晰地描绘客观物理现象，反 响物理规律的深化本质而选取适当的坐标系或表象，这又表现出了经典力学与量子力学在运动学方面的相似性._isR*(28)2量子力学的薛定川形式与经典力学的哈密顿-雅可比形式

25、的比较_isR*(28)设离子在势场v（r）中运动，将波函数的模与相位分开.即令（R、S为实数）代入含时间的薛定川的方程有卜t经运算后可与H-J形式作比较薛定川形式为（几率守恒）(29)2ms)2v殳& 0薛定川形式为（几率守恒）(29)2ms)2v殳& 02m R(30)=1 I2R2 （几率密度）(31)(32)哈密顿-雅可比形式为-J 0（质量守恒）(32)哈密顿-雅可比形式为-J 0（质量守恒）(33)R2 一、j S （几率流密度）m(34)S 12(34)(S)2 V 0t 2m(35)(r-r (t)(质量密度)(35)j V （r-r （t）（质量流密度）(36)j V （r-

26、r （t）（质量流密度）(36)(37)P= S(粒子动量)(37)34和37式中的S表示经典作用量.通过上述比较出，薛定川形式中的几率当处于同一量子态的量子数目很大时可理解为多粒子体系的空间分布密度，即质量的 空间分布,也正是H-J形式中的质量密度.因此，几率守恒与质量守恒对应.30式中的第四项称为量子势，在经典极限h0时，该项趋于零，因此与34式对应，作为相应的S与经典作用量对应，而几率密度与粒子动量对应.3量子力学的海森堡-狄拉克形式与经典力学泊松-汉密尔顿形式的比较 海森堡-狄拉克形式网dt访dHdt访dH和(38)更=工 A, H =0(39)dt38、39式中的？=? (?)为哈密顿算符，？为任意力学量算符，38式为海森堡方程，39式为力学量守恒方程.泊松-汉密尔顿形式dqidtqidpidtPidqidtqidpidtPi(40)dA dtA,H 0(41)40、41式中的 =(q, p)为哈密顿量，40哈密顿正那么方程，41式为力学量A服从的守恒方程.通过比较可看出，H-D形式与P-H形式之间的对应可归结为 Poisson括号向对易子的