音乐风格分类数学建模

1、参赛队号 # 1288目录 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc353634904 一、问题重述 PAGEREF _Toc353634904 h 2 HYPERLINK l _Toc353634905 二、问题提出 PAGEREF _Toc353634905 h 2 HYPERLINK l _Toc353634906 三、问题分析 PAGEREF _Toc353634906 h 2 HYPERLINK l _Toc353634907 四、模型假设 PAGEREF _Toc353634907 h 2 HYPERLINK l _Toc353634908 五、主要符号说明

2、 PAGEREF _Toc353634908 h 3 HYPERLINK l _Toc353634909 六、模型建立与求解 PAGEREF _Toc353634909 h 3 HYPERLINK l _Toc353634910 6.1探究影响流行音乐风格分类的主要因素 PAGEREF _Toc353634910 h 3 HYPERLINK l _Toc353634911 6.1.1旋律对音乐风格的影响 PAGEREF _Toc353634911 h 3 HYPERLINK l _Toc353634912 6.1.2音高对音乐风格的影响 PAGEREF _Toc353634912 h 6 HY

3、PERLINK l _Toc353634913 6.1.3和声对音乐风格的影响 PAGEREF _Toc353634913 h 7 HYPERLINK l _Toc353634914 6.1.4音色对音乐风格的影响 PAGEREF _Toc353634914 h 7 HYPERLINK l _Toc353634915 6.1.5复调对音乐风格的影响 PAGEREF _Toc353634915 h 7 HYPERLINK l _Toc353634916 6.1.6节拍对音乐风格的影响 PAGEREF _Toc353634916 h 7 HYPERLINK l _Toc353634917 6.2对

4、各影响因素进行主成分分析 PAGEREF _Toc353634917 h 8 HYPERLINK l _Toc353634918 6.2.1模型的建立 PAGEREF _Toc353634918 h 8 HYPERLINK l _Toc353634919 6.2.2模型的求解 PAGEREF _Toc353634919 h 10 HYPERLINK l _Toc353634920 6.3用matlab进行音乐特征提取 PAGEREF _Toc353634920 h 11 HYPERLINK l _Toc353634921 6.3.1利用FFT进行频谱分析 PAGEREF _Toc3536349

5、21 h 11 HYPERLINK l _Toc353634922 6.3.2特征提取分析 PAGEREF _Toc353634922 h 12 HYPERLINK l _Toc353634923 6.3.3特征提取结果 PAGEREF _Toc353634923 h 12 HYPERLINK l _Toc353634924 6.4基于BP神经网络的分类算法 PAGEREF _Toc353634924 h 13 HYPERLINK l _Toc353634925 6.4.1 BP神经网络介绍 PAGEREF _Toc353634925 h 13 HYPERLINK l _Toc35363492

6、6 6.4.2 BP神经网络训练步骤 PAGEREF _Toc353634926 h 14 HYPERLINK l _Toc353634927 6.4.3 BP神经网络语音特征信号分类 PAGEREF _Toc353634927 h 15 HYPERLINK l _Toc353634928 6.4.4 归一化处理 PAGEREF _Toc353634928 h 16 HYPERLINK l _Toc353634929 6.4.5 结果分析 PAGEREF _Toc353634929 h 16 HYPERLINK l _Toc353634930 七、模型的优缺点 PAGEREF _Toc3536

7、34930 h 18 HYPERLINK l _Toc353634931 7.1层次分析法的优缺点 PAGEREF _Toc353634931 h 18 HYPERLINK l _Toc353634932 7.2主成分分析法的优缺点 PAGEREF _Toc353634932 h 18 HYPERLINK l _Toc353634933 7.3 BP神经网络的优缺点 PAGEREF _Toc353634933 h 18 HYPERLINK l _Toc353634934 八、参考文献 PAGEREF _Toc353634934 h 19一、问题重述随着互联网的发展，流行音乐的主要传播媒介从传统

8、的电台和唱片逐渐过渡到网络下载和网络电台等。网络电台需要根据收听者的已知喜好，自动推荐并播放其它音乐。由于每个人喜好的音乐可能横跨若干种风格，区别甚大，需要分别对待。这就需要探讨如何区分音乐风格的问题。在流行音乐中，传统的风格概念包括Pop（流行）、Country（乡村）、Jazz（爵士）、Rock（摇滚）、R&B（节奏布鲁斯）、New Age（新世纪）等若干大类，它们分别可以细分成许多小类，有些小类甚至可以做更进一步的细分。而每首歌曲只能靠人工赋予风格标签。这样的做法有许多不足：有的类别之间关系不清楚，造成混乱；有的类别过度粗略或精细；有的类别标签没有得到公认；有的音乐归属则存在争议或者难以

9、划归。二、问题提出建立合理的数学模型，对流行音乐的风格给出一个自然、合理的分类方法，以便给网络电台的推荐功能和其它可能的用途提供支持。三、问题分析对于流行音乐风格的分类，要从以下三个方面进行考虑：（1）探究影响流行音乐风格分类的主要因素。目前，旋律、音高、和声、音色、复调和节拍等都是体现音乐风格的因素。通过建立递阶层次结构，构造判断矩阵并赋值、层次单排序（计算权向量）与检验、主成分分析的数学模型等方法，确定影响流行音乐风格的主要因素；（2）音乐特征提取。通过FFT进行频谱分析，利用不同类别音乐的统计规律提取特征向量；（3）进行归一化处理；（4）利用BP神经网络分类算法进行分类。四、模型假设4.

10、1忽略主观因素对流行音乐风格分类的影响4.2假设每个音乐分类是明确的4.3假设流行音乐市场处于稳定状态4.4其他所发生的偶然因素对模型无影响五、主要符号说明神经网络的输入值神经网络的预测值、神经网络权值a隐含层阈值b输出层阈值数据序列最小数数据序列均值学习速率六、模型建立与求解6.1探究影响流行音乐风格分类的主要因素6.1.1旋律对音乐风格的影响6.1.1.1分析旋律亦称曲调，是经过艺术构思而形成的若干乐音的有组织、有节奏的和谐运动。它建立在一定的调式和节拍的基础上，按一定的音高、时值和音量构成的、具有逻辑因素的单声部进行的。在音乐作品中，旋律是表情达意的主要手段，也是一种反映人们内心感受的艺

11、术语言。对于流行音乐风格分类来说，每个风格各异，歌曲旋律也不尽相同。如rap舞曲它以人声的吟唱加上鼓的清晰浓郁节奏，歌词通俗，朗朗上口；乡村音乐在唱法上多用民间本嗓演唱，形式多为独唱或小合唱，用吉他、班卓琴、口琴、小提琴伴奏。6.1.1.2模型的建立因为影响旋律的因素有很多，我们采用层次分析法来解决这一问题。所谓层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法。6.1.1.2.1建立递阶层次结构 AHP递阶层次结构

12、三个层次组成：目标层、准则层、指标层，如图所示：6.1.1.2.2构造判断矩阵并赋值构造判断矩阵时用到1-9标度，对重要性程度按1-9赋值（重要性标度值见下表）重要性标度含 义1表示两个元素相比，具有同等重要性3表示两个元素相比，前者比后者稍重要5表示两个元素相比，前者比后者明显重要7表示两个元素相比，前者比后者强烈重要9表示两个元素相比，前者比后者极端重要2，4，6，8表示上述判断的中间值倒数若元素I与元素j的重要性之比为aij, 则元素j与元素I的重要性之比为aji=1/aij6.1.1.2.3 层次单排序（计算权向量）与检验层次单排序是指每一个判断矩阵各因素针对其准则的相对权重，所以本质

13、上是计算权向量。计算权向量有特征根法、和法、根法、幂法等，这里简要介绍和法。和法的原理是，对于一致性判断矩阵，每一列归一化后就是相应的权重。对于非一致性判断矩阵，每一列归一化后近似其相应的权重，在对这n个列向量求取算术平均值作为最后的权重。具体的公式是：需要注意的是，在层层排序中，要对判断矩阵进行一致性检验。在特殊情况下，判断矩阵可以具有传递性和一致性。一般情况下，并不要求判断矩阵严格满足这一性质。但从人类认识规律看，一个正确的判断矩阵重要性排序是有一定逻辑规律的，例如若A比B重要，B又比C重要，则从逻辑上讲，A应该比C明显重要，若两两比较时出现A比C重要的结果，则该判断矩阵违反了一致性准则，

14、在逻辑上是不合理的。因此在实际中要求判断矩阵满足大体上的一致性，需进行一致性检验。只有通过检验，才能说明判断矩阵在逻辑上是合理的，才能继续对结果进行分析。一致性检验的步骤如下：第一步，计算一致性指标C.I.（consistency index）第二步，查表确定相应的平均随机一致性指标R.I.（random index）据判断矩阵不同阶数查下表，得到平均随机一致性指标R.I.。平均随机一致性指标R.I.表（1000次正互反矩阵计算结果）矩阵阶数12345678R.I.000.520.891.121.261.361.41矩阵阶数9101112131415R.I.1.461.491.521.541.

15、561.581.59第三步，计算一致性比例C.R.（consistency ratio）并进行判断当C.R.0.1时，认为判断矩阵不符合一致性要求，需要对该判断矩阵进行重新修正。6.1.1.2.4.层次总排序与检验总排序是指每一个判断矩阵各因素针对目标层（最上层）的相对权重。这一权重的计算采用从上而下的方法，逐层合成。很明显，第二层的单排序结果就是总排序结果。假定已经算出第k-1层m个元素相对于总目标的权重w(k-1)=(w1(k-1),w2(k-1),wm(k-1)T，第k层n个元素对于上一层（第k层）第j个元素的单排序权重是pj(k)=(p1j(k),p2j(k),pnj(k)T，其中不受

16、j支配的元素的权重为零。令P(k)=(p1(k),p2(k),pn(k),表示第k层元素对第k-1层个元素的排序，则第k层元素对于总目标的总排序为：w(k)=(w1(k),w2(k),wn(k)T= p(k) w(k-1) 或 I=1,2,n同样，也需要对总排序结果进行一致性检验。假定已经算出针对第k-1层第j个元素为准则的C.I.j(k)、R.I.j(k)和C.R.j(k), j=1,2,m,则第k层的综合检验指标C.I.j(k)=（C.I.1(k) ,C.I.2(k) , C.I.m(k)）w(k-1)R.I.j(k)=（R.I.1(k) ,R.I.2(k) , R.I.m(k)）w(k-

17、1)当C.R.(k)0及相应的正交化单位特征向量：则X的第i个主成分为Fi = aiX i = 1，2，p。(3) 选择主成分 在已确定的全部p个主成分中合理选择m个来实现最终的评价分析。一般用方差贡献率解释主成分Fi所反映的信息量的大小，m的确定以累计贡献率达到足够大（一般在85%以上）为原则。(4) 计算主成分得分计算n个样品在m个主成分上的得分：， i = 1，2，m(5) 标准化实际应用时，指标的量纲往往不同，所以在主成分计算之前应先消除量纲的影响。消除数据的量纲有很多方法，常用方法是将原始数据标准化，即做如下数据变换：其中，j = 1，2，p。标准化后的数据阵记为X*，其中每个列向量

18、（标准化变量）的均值为0，标准差为1，数据无量纲。标准化后变量的协方差矩阵（Covariance Matrix） = (sij)pp，即原变量的相关系数矩阵（Correlation Matrix）R= (rij)pp：i，j = 1，2，p此时n个样品在m个主成分上的得分应为：Fj = a1jX1* + a2jX2* +.+ apjXp* j = 1，2，m6.2.2模型的求解利用spss软件，我们进行分析：从碎石图可以看出，与特定乐曲联系最为密切的是旋律和音高。当旋律和音高确定了，无论演奏的音色如何，速度快慢，音量大小，听者都能辨认出乐曲，所以旋律和音高是比较适当的音乐特征。需要注意的是，绝

19、对的音高不能作为音乐特征，因为同一乐曲是可以移调演奏的；同样地，节奏速度的改变也不能作为音乐特征，因为同样的乐曲演奏的速度也会有变化。6.3用matlab进行音乐特征提取6.3.1利用FFT进行频谱分析若信号本身是有限长的序列，计算序列的频谱就是直接对序列进行FFT运算求得，就代表了序列在之间的频谱值。幅度谱 相位谱 若信号是模拟信号，用FFT进行谱分析时，首先必须对信号进行采样，使之变成离散信号，然后就可按照前面的方法用FFT来对连续信号进行谱分析。按采样定理，采样频率应大于2倍信号的最高频率，为了满足采样定理，一般在采样之前要设置一个抗混叠低通滤波器。用FFT对模拟信号进行谱分析的方框图如

20、下所示。抗混叠低通滤波器抗混叠低通滤波器采样T=1/fsN点FFT截取20秒时长的乡村音乐，得到波形和频谱图如下：6.3.2特征提取分析上文中我们知道了与特定乐曲联系最为密切的是旋律和音高。根据旋律的不同，可将音乐分为平缓部分、高潮等部分，决定音乐风格的基本是高潮部分，如高潮出现的时间、次数，以及强度等。特征的提取的工作就实际上就可以是一个分类的过程：将每一个帧分类，将高潮部分和相对激烈的帧提取出来作为特征向量。首先，将音乐划分为一系列的帧，对每一个帧用下式计算FE：根据，计算得到静音阈值，并依次阈值对FE进行过滤，剩下的片段认为是非背景声。6.3.3特征提取结果我们选取了15个音乐片段进行实

21、验，每段音乐截取20秒时长进行分析，依据以上算法得到的结果画出分布图如下：图中，红色圆点表示Piano样本；绿色方块表示Rock样本；蓝色星号表示Pop样本。可以看到，由于Piano风格的音乐相对比较舒缓，“高潮”部分就比较稀疏，而且距离的方差较大；而与其风格截然不同的Rock风格的音乐节奏比较紧快，“高潮”迭起，表现为高潮段落之间相隔较短，距离方差也相对较小。上图的结果正好符合这样的分析。 从图中还可以看到，各种不同风格类型的音乐其特征向量虽然差别较大，但有明显的聚簇。从而证明了这样提取出来的特征向量是有效的。6.4基于BP神经网络的分类算法6.4.1 BP神经网络介绍BP神经网络是一种多层

22、前馈神经网络，该网络的主要特点是信号前向传递，误差反向传播。在前向传递中，输入信号从输入层经隐含层逐层处理，直至输出层。每一层的神经元状态只影响下一层神经元状态。如果输出层得不到期望输出，则转入反向传播，根据预测误差调整网络权值和阈值，从而使BP神经网络预测输出不断逼近期望输出。BP神经网络的拓扑结构如图所示。，是BP神经网络的输入值，是BP神经网络的预测值，和为BP神经网络权值。从图可以看出，BP神经网络可以看成一个非线性函数，网络输入值和预测值分别为该函数的自变量和因变量。当输入节点数为n，输出节点数为m时，BP神经网络就表达了从n个自变量到m个因变量的函数映射关系。6.4.2 BP神经网

23、络训练步骤BP神经网络预测前首先要训练网络，通过训练使网络具有联想记忆和预测能力。BP神经网络的训练过程包括以下几个步骤。步骤1：网络初始化。根据系统输入输出序列（X，Y）确定网络输入层节点数n、隐含层节点数l，输出层节点数m，初始化输入层、隐含层和输出层神经元之间的连接权值，初始化隐含层阈值a，输出层阈值b，给定学习速率和神经元激励函数。步骤2：隐含层输出计算。根据输入向量X，输入层和隐含层间连接权值以及隐含层阈值a，计算隐含层输出H。 式中，l为隐含层节点数；f为隐含层激励函数，该函数有多种表达形式，本文所选函数为：步骤3：输出层输出计算。根据隐含层输出H，连接权值和阈值b，计算BP神经网

24、络预测输出O。 步骤4：误差计算。根据网络预测输出O和期望输出Y，计算网络预测误差e。 步骤5：权值更新。根据网络预测误差e更新网络连接权值和。 式中，为学习速率。步骤6：阈值更新。根据网络预测误差e更新网络节点阈值a，b。 步骤7：判断算法迭代是否结束，若没有结束，返回步骤2。6.4.3 BP神经网络语音特征信号分类下面我们选取了民歌、古筝、摇滚和流行四类，用BP神经网络进行分类。基于BP神经网络的语音特征信号分类算法建模包括BP神经网络构建、BP神经网络训练和BP神经网络分类三步，算法流程如图所示。BP神经网络构建根据系统输入输出数据特点确定BP神经网络的结构，由于语音特征输入信号有24维

25、，待分类的语音信号共有4类，所以BP神经网络的结构24-25 4，即输入层有24个节点，隐含层有25个节点，输出层有4个节点。BP神经网络训练用训练数据训练BP神经网络。共有2000组语音特征信号，从中随机选择1500组数据作为训练数据训练网络，500组数据作为测试数据测试网络分类能力。BP神经网络分类用训练好的神经网络对测试数据所属语音类别进行分类。6.4.4 归一化处理数据归一化方法是神经网络预测前对数据常做的一种处理方法。数据归一化处理把所有数据都转化为0,1之间的数，其目的是取消各维数数据间数量级差别，避免因为输入输出数据数量级差别较大而造成网络预测误差较大。数据归一化的方法主要有以下

26、两种。（1）最大最小法。函数形式如下：式中，为数据序列中的最小数；为序列中的最大数。（2）平均数方差法。函数形式如下：式中，为数据序列的均值；为数据的方差。本文采用第一种数据归一化方法。 6.4.5 结果分析用训练好的BP神经网络分类语音特征信号测试数据，BP神经网络分类误差和神经网络分类正确率如图所示。可以看出，BP神经网络的语音信号分类算法具有较高的准确性，能够准确识别出语音信号所属的类别，说明了BP神经网络在音乐分类上的有效性。七、模型的优缺点7.1层次分析法的优缺点优点：1.系统性的分析方法；2.简洁实用的决策方法；3.所需定量数据信息较少。缺点：1.不能为决策提供新方案；2.定量数据较少，定性成分多，不易令人信服；3.指标过多时数据统计量大，且权重难以确定。7.2主成分分析法的优缺点1、优点：首先它利用降维技术用少数几个综合变量来代替原始多个变量，这些综合变量集中了原始变量的大部分信息。其次它通过计算综合主成分函数得分，对客观经济现象进行科学评价。再次它在应用上侧重于信息贡献影响力综合评价