例析古典概型题

1、例析古典概型题不放回地取球问题例 1 盒子里面放有大小形状相同的 a 个白球、 b 个黑球，从中依次不放回地任意取出 k 个球，求：1）第 k 次取出的恰好为白球的概率；2）第 r 次取出的为白球且第 k 次取出的为黑球的概率r k.分析（ 1）设想将球编号，一个一个不放回地取出，直到第 k 次取到白球为止， 则基本事件总数就是从 a+b个编号的球中选出 k 个球进行排列，即 Aka+b. 要使 A 发生，只需要从 a 个白球中选出一个放在第 k 个位置上 . 作为第 k 次取出来的球，前面的 k-1 个位置可以任意放余下的球，因此A事件包含 A1a?Ak-1a+b-1个基本事件 .2）同（

2、1），基本事件总数就是从 a+b个编号的球中选出 k 个球进行排列 . B事件要求是：第 r 个球是白球，有A1a种排法；第 k 个球是黑球，有A1b 种排法；剩余位置可以从剩余的球中选取k-2 个来排列 . 因此 B事件包含A1a?A1b?Ak-2a+b-2个基本事件 .解 （ 1）设第 k 次取出白球的事件为A ，则所求概率为 P（A） =A1a?Ak-1a+b-1Aka+b=aa+b.（ 2）设第 r 次取出白球且第k 次取出黑球的事件为B，则所求概率为 P（ B） =A1a?A1b?Ak-2a+b-2Aka+b=ab（ a+b）a+b-1） .例 2 一个袋子中装有大小形状完全相同的a

3、 个白球、b个黑球，从袋子中随机取出n 个球，求：1）取出的球中恰有 k 个白球的概率；2）假设袋中另有 c个红球，取出的 n 个球中恰有 t个白球， m 个黑球的概率，其中1 t+m a+b.分析在这一模型中，摸球的最终结果，与取出球的数量有关，而与球的排列顺序无关.1）从 a+b 个球中不计顺序地取出 n 个球，所有的可能有 Cna+b种. 在取出的 n 个球中恰有 k 个白球，这k 个白球从 a 个白球中取， 剩下的 n-k 个球只能是从 b 个黑球中取出的，所以事件 A 有Cka?Cn-kb种取法 .2）从 a+b+c个球中取出 n 个球，则所有可能取法有Cna+b+c种 . 在n 个

4、球中包含 t 个白球， m 个黑球，剩下的是n-t-m 个红球，则 B事件有 Cta?Cmb?Cn-t-mc种取法 .解 （ 1）设取出的球中恰有 k 个白球为事件 A ，则所求的概率为 P（ A） =Cka?Cn-kbCna+b.2）设取出的 n 个球中恰有 t 个白球， m 个黑球为事件B，则所求的概率为P（ B） =Cta?Cmb?Cn-t-mcCna+b+c.有放回地取球问题例 3 某袋中装有大小形状完全相同的 a 个红球、 b 个蓝球，用有放回地抽取方式从中依次抽取出n 个球，求：（ 1）第 k 次取出的是红球的概率；（ 2）第 k 次才取到红球的概率；（ 3）前 k 次中能取到红球

5、的概率，其中k n a+b.分析（ 1）第 k 次取到的是红球，就意味着前k-1 次就是在 a+b中取出一个球就可以了，无论是红球还是蓝球；然后第 k 次在 a 个红球中取出一个红球就可以了，故第 k 次取出的是红球有 a+bk-1?C1a种取法 .2）第k 次才取到红球， 则前面的 k-1 次都不是红球而是蓝球，故第 k 次才取到红球有 bk-1?C1a种取法 .（ 3）前 k 次能取到红球的对立事件是前k 次取到的都是蓝球，有 bk 种取法，因此前k 次取到的都是蓝球的概率为bka+bk.解 （ 1）设第 k 次取出红球的事件为 A ，所求概率为 P（ A）=a+bk-1?C1aa+bk=

6、aa+b.2）设第 k 次才取到红球为事件 B，则所求的概率为 P（ B） =bk-1?C1aa+bk=bk-1?aa+bk.3）设前 k 次中能取到红球为事件 C，则所求的概率为 P（ C） =1-bka+bk.分球入盒问题例 4 将 n 个球随机放入 N 个箱子中（ Nn ），求下列事件的概率 .（ 1）指定 n 个箱子各放一球；（ 2）每个箱子中最多放入一个球；（ 3）第 i 个箱子不是空的；（ 4）第 i 个箱子恰好放入kk n个球 .分析根据题目条件知，每个球都可以放入N 个箱子中的任意一个箱子中，有N 种放法 .可以得到 n 个球随意放入个箱子中有 Nn 种放法 .1）指定的 n

7、个箱子中各放一球就相当于 n 个球的全排列，有 n ！ 种不同的放法 .2）从N 个箱子中任意选出 n 个箱子，有 CnN种选法；然后在选出的 n 个箱子中每个箱子里放一个球， 有 n！种放法. 事件 B就有 CnN?n！ 种放法 .3）题目要求第 i 个箱子不空，即第 i 个箱子至少要放入一个球，直接计算时分类较多，因此考虑求其对立事件第个箱子为空的概率 .由于第 i 个箱子是空的， 于是要把 n 个球随机放入其余的 N-1 个箱子中，有 N-1n 种放法，所以第个箱子为空的概率为 P=N-1nNn.4）先从 n 个球中选出 k 个球放入第 i 个箱子中，有Ckn种不同的选法；再把余下的 n

8、-k 个球任意放入其余的 N-1 个箱子中，有 N-1n-k 种放法 . 因此第 i 个箱子恰好放入 k 个球有Ckn?N-1n-k种放法 .解 （1）设指定的 n 个箱子中各放一球为事件A ，所求的概率为 P（A） =n！ Nn.2）设每个箱子中最多放一个球为事件B，所求概率为 P（ B）=CnN?n！ Nn.3）设第 i 个箱子不空为事件 C，所求概率为 P（ C）=1-P=1-N-1nNn.4）设第 i 个箱子恰好放入 kk n 个球为事件 D，所求概率为 P（ D） =Ckn?N-1n-kNn.有放回地随机取数例 5 从 2，3，4，5，6，7，8 这 7 个数字中依次有放回地抽取 4

9、 个数字，试求下列事件的概率.1） A=取出的 4 个数字完全不同 ；2） B=取出的 4 个数字不含 3 和 7 ；（ 3） C=取出的 4 个数字中至少出现一次4.分析从 7 个数字中依次有放回地抽取4 个数字，所有可能的结果有 74 种.（ 1）抽取的4 个数字都不相同，所以A事件包含的结果个数可以看成是从7 个数字中取出4 个的排列 A47.（2）若抽取的数字不含 3 和 7，相当于从剩余的 5 个数字中随机抽取 4 个数字 . 因为是有放回地抽取，所以事件 B有54 种结果 .（ 3）若 4 个数字中至少出现一次4，直接计算情况较多，因此考虑求其对立事件，即C=4 个数字中没有出现4

10、. 也就是说要从没有4 的6 个数字中有放回地任意选出4 个数字，有64 种. 因此， 4 个数字中没有出现4 的概率为 6474.解 （ 1） PA=A47740.3499.（ 2） PB=5474 0.2603.（ 3） PC=1-6474 0.4602.无放回地随机取数例 6 用数字 1，2，3，4，5 任意组成无重复数字的五位数，求下列事件的概率 .1） A=它是一个奇数 ；2） B=它大于 34000.分析由 5 个数字组成的无重复数字的五位数，可以看作是 5 个数字的全排列，那么其总的事件个数为A55.1）事件 A要求组合出来的数字是一个奇数，个位数就只能是 1，3，5 中的一个，

11、剩下的 4 个数字全排列，那 A事件的总数就有3 A44.（2）事件 B要保证五位数大于34000，若首位数字是4，5，这个五位数大于34000，有 2 A44种取法；若首位数字是 3，此时千位数字是4 或 5 也是满足要求的，有2A33种取法 .解 （ 1） PA=3A44A55=0.6.（ 2） PB=60A55=0.5.例7从 2，3，4，5，6这5 个数字中任意取出3 个不同的数字，求下列事件的概率.（ 1） A=3 个数字中不含有（ 2） B=3 个数字中不含有分析从 5 个数字中任意取出2和 5；2或5.3 个数字的基本事件总数为C35个 .1）A 事件要求 3 个数字中不含有 2 和 5，则只能是 3，4， 6，所以只有一种取法.2） B事件要求 3 个数字中不含有 2 或 5，不含有 2 有C34种，不含有 5 有 C34种，前面两种情况中都包含了既不含有 2 也不含有5 的情况，因此要减去重复的，所以B事件的个数为 2 C34-1.解 （ 1） PA=C33C35=0.1.2） PB=2 C34-1C35=0.7.例 8 从整数 0， 1， 2， 9 中任取 4 个不重复的数字排成一排，求取出的数能排成一个四位数的奇数的概率是多少？分析 从 10 个数字中任取 4 个不重复的数字排成一排有A410 种结果 .