三角形中的最值问题

1、第42课三角形中的最值问题考点概要1掌握三角形的观点与基天性质2能运用正弦定理、余弦定理成立目标函数，解决三角形中的最值问题基础自测1（1）ABC中，cosA33sinA，则A的值为30或90；（2）ABC中，当A=时，cosA2cosBC332获得最大值22ABC中，sinA:sinB:sinCm:(m1):2m，则m的取值范围是m在12解由sinA:sinB:sinCa:b:cm:(m1):2m，令amk,b(m1)k,c2mk，由abc,acb，得m123锐角三角形ABC中，若A=2B，则B的取值范围是30oB45o4设R，r分别为直角三角形的外接圆半径和内切圆半径，则r的最大值为21R

2、5在ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别是a,b,c，若b23ac，则B的取值范围是0B1206在ABC中，若AB，则以下不等式中，正确的为sinAsinB；cosAsin2B；cos2ABab2RsinA2RsinBsinAsinB，故正确；cosAcosBsin(2A)B，故正确（或由余弦函数2在(0,)上的单一性知正确）；由cos2Acos2B12sin2AsinBAB，故正确知识梳理1直角ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别是a,b,c，C=90，若内切圆的半径abc为r，则r22在三角形中，勾股定理、正弦定理、余弦定理是基础，起到工具性的作用它们在办理三角形中的三角函数的求值

3、、化简、证明、判断三角形的形状及解三角形等问题中有着宽泛的应用例题分析例1已知直角三角形的周长为1，求其面积的最大值评论例2已知ABC中，a1,b2（1）求最小内角的最大值；（2）若ABC是锐角三角形，求第三边c的取值范围12c,解（1）由三角形三边关系得第三边c知足2c1,解得1c3，故最小内角为A1c2,又cosAb2c2a2c231(c3)12c33（当且仅当2bc4c4c4c23时等号成立），所以A30，即最小内角的最大值为302）因为ABC是锐角三角形，即A，B，C三个角均为锐角，又因为ab，所以AB，故只要说明B，C为锐角即可0cosB1,01c241,2c由B，C为锐角得解得3c

4、即20cosC1,14c01,4评论在锐角三角形中研究问题的时候，必定要注意其三个角都为锐角这个条件要注意变形的等价性，如“内角A为锐角0cosA1”例3（2008江苏）求知足条件AB2,AC2BC的ABC的面积的最大值解设BCx，则AC2x依据面积公式得SABC=1ABBCsinBx1cos2B，2依据余弦定理得cosBAB2BC2AC24x22x24x22ABBC4x，4x代入上式得SABC=x14x22128(x212)2()16，4x2xx2,22x222，由三角形三边关系有x2解得22x,故当x212,x23时SABC取最大值1282216此外评论例4如图，已知A=30，P，Q分别在

5、A的两边上，PQ=2当P，Q处于什么地点时，APQ的面积最大并求出APQ的最大面积评论表示三角形的面积可采纳两边及夹角的表示法，此题解法一运用了余弦定理和基本不等式，解法二运用了正弦定理和基本不等式成立目标函数uuuruuuruuur例5已知ABC的周长为6，|BC|,|CA|,|AB|成等比数列，求：（1）ABC的面积S的最大值；（2）BABC的取值范围uuuruuuruuur解设|BC|,|CA|,|AB|挨次为a，b，c，则a+b+c=6，b2=ac由bacac6b得0b2（当且仅当a=c时，等号成立），22又由余弦定理得cosBa2c2b2a2c2ac2acac1（当且仅当2ac2ac

6、2ac2a=c时，等号成立），故有0B，3（1）S1acsinB1b2sinB122sin3，即S3（当且仅当2223maxa=b=c时，等号成立）；（2）BABCa2c2b2(ac)22acb2accosB22(6b)23b2(b3)2272Q0uuuruuur18b2,2BABC评论此题运用均值定理进行放缩，再运用不等式的性质求解（1）为不等式问题，（2）为函数问题方法总结1三角形中角的最值（范围）问题，一般运用余弦定理，经过求该角余弦的范围，依据余弦函数的单一性办理要注意三角形三边关系和内角范围的隐含条件，特别要注意锐角三角形的角的关系2三角形中边的最值（范围）问题，主要由有三角形三边关

7、系决定3三角形中面积的最值（范围）问题，能够角为自变量，也能够边为自变量成立目标函数，要注意自变量的范围练习42三角形的最值问题班级姓名学号1若直角三角形斜边的长m（定值），则它的周长的最大值是(2+1)m2在锐角ABC中，若C2B，则AB的取值范围是（2，3）ACABsinCsin2B2cosB，而B，2AB解sinBsinB3AC64AC3在ABC中，若b2,a1，则A的取值范围是0oB45o4若2、3、x分别是锐角三角形的三边长，则x的取值范围是(5,13)5若三角形两边之和为16cm，其夹角为60o，则该三角形面积的最大值是163，周长的最小值是246已知ABC中，A=60，BC=4，

8、则AB+AC的最大值为_83_7钝角三角形的三边为a,a1,a2，此中最大角不超出120，则a的取值范围是3a32解由题意钝角三角形中，a2为最大边且最大角不超出120，所以得a(a1)a2，a2(a1)2(a2)2，cosAa2(a1)2(a2)21，2a(a1)2由得a1，得1a3，得a1或a3，故3a3228已知四边形ABCD的对角线AC与BD订交于点AOB=9，SCOD=16，则四边O，若S形面积的最小值是499（2006全国）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（同意连结，但不同意折断），能够获得的三角形的最大面积为610cm2解由题意可围成以下几种

9、三角形图（1）中，cos115415；,sin4，S4图（2）中，AD210,sin210610；，S7图（3）中，cos1,sin3，S103比较22上述几种状况可知，能够获得三角形的最大面积为610cm2评论当周长一准时，三边越是靠近，其面积越大这是等周问题中的一个基本结论可见，面积最大的三角形应当这样组成：2+5，3+4，610在ABC中，已知acos2Cccos2A3b222（1）求证：a、b、c成等差数列；（2）求角B的取值范围解11如图，正方形ABCD的边长为a，E、F分别是边BC、CD上的动点，EAF=30，求AEF面积的最小值解设AEF的面积为S，BAE=（15o45o），则由

10、EAF=30得DAF=60o正方形ABCD的边长为a，在RtBAE中，ABa；AEcoscos在RtDAF中，AFADa，)cos(60ocos(60o)S1AEAFsinEAF21aa)sin30oa2)2coscos(60o4coscos(60oa2a24cos(1cos3sin)2cos223sincos22a2a2cos23sin212(1cos23sin2)122a2a2cos23sin212(1cos23sin2)1222sin(2a22sin(2a230o)1a230o)130o312（2008四川延考）在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a,b,c，已知a2c22b2（1

11、）若B，且A为钝角，求内角A与C的大小；4（2）若b2，求ABC面积的最大值解（1）由题设及正弦定理，有sin2Asin2C2sin2B1故sin2Ccos2A因A为钝角，所以sinCcosA，A=5由cosAcos(4C)，可得sinCsin(C)，C=488（2）由余弦定理及条件b21(a2c2)，有cosBa2c2，故cosB124ac2因为ABC面积1acsinB，又ac1(a2c2)4，sinB3，222当ac时，两个不等式中等号同时成立，所以ABC面积的最大值为134322备用题1直角ABC的斜边AB=2，内切圆的半径为r，则r的最大值为212在ABC中，已知sin2A+sin2B=5sin2C，求证：sinC35解等式sin2A+sin2B=5sin2C立刻联想正弦定理，有a2+b2=5c2而a2+b2=5c2与余弦定理连起来也无可厚非c2=a2+b22abcosC，5c2=c2+2abcosC，4c2=2abcosC于是可知cosC0，C为锐角，而5c2=a2+b22ab，故4c2=2abcosC5c2cosCcosC4，sinC355评论从外形的联想，到方法的选择，这样的直觉思想随时随处都会出此刻解题过程中3已知ABC的内