08立体图形上的最短路径问题

1、.第8讲立体图形上的最短路径问题一、方法技巧解决立体图形上最短路径问题：基本思路：立体图形平面化，即化“曲”为“直”“平面化”的基本方法：（1）经过平移来转变比如：求A、B两点的最短距离，可经过平移，将楼梯“拉直”即可（2）经过旋转来转变比如：求A、C两点的最短距离，可将长方体表面睁开，利用勾股定理即可求比如：求小蚂蚁在圆锥底面上点A处绕圆锥一周回到A点的最短距离可将圆锥侧面睁开，依据“两点之间，线段最短”即可得解.（3）经过轴对称来转变比如：求圆柱形杯子外侧点B到内侧点A的最短距离，可将杯子（圆柱）侧面睁开，作点A对于杯口的对称点A，依据“两点之间，线段最短”可知AB即为最短距离3.贮备知识

2、点：（1）两点之间，线段最短（2）勾股定理解题重点：正确画出立体图形的平面睁开图二、应用举例种类一经过平移来转变【例题1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想要到B点去吃爽口的食品，请你想想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？.【答案】13cm【分析】试题剖析：只要将其睁开即可直观得出解题思路，将台阶睁开获得的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，即是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案.试题分析：解：睁开图以下图，AB5212213cm因此，蚂蚁爬行的最短路线是13cm种

3、类二经过旋转来转变【例题2】以以下图，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为8cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A点沿棱柱侧面到点C处吃食品，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？【答案】241cm【分析】试题剖析：解这种题应将立体图形睁开，转变为平面图形，把空间两点的距离转变为平面上两点间的距离，利用“同一平面内两点间的最短路线是连结这两点的线段”进行计算.试题分析：解：如图1，设蚂蚁爬行的路径是AEC（在面ADDA上爬行是同样的）.将四棱柱剪开摊平使矩形AABB与BBCC相连，连结AC，使E点在AC上（如图2）AC(ABBC)2CC210282241(cm)因此这只蚂蚁爬行的最短路径长为241

4、cm.【难度】一般【例题3】以以下图所示，圆柱形玻璃容器高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距张口处1cm的点F处有一苍蝇，试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度.【答案】34cm【分析】试题剖析：睁开后连结SF，求出SF的长就是捕获苍蝇的最短路径，过点S作SECD于E，求出SE、EF，依据勾股定理求出SF即可.试题分析：解：以以下图所示，把圆柱的半侧面睁开成矩形，点S，F各自所在的母线为矩形的一组对边上下底面圆的半周长为矩形的另一组对边.该矩形上的线段SF即为所求的最短路线.过点S作点F所在母线的垂线，获得RtSEF.SF30

5、2(1811)234cm.【难度】较易【例题4】（2015红河期末）以以下图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面抵达P处捕获老鼠，则小猫所经过的最短行程是_m（结果不取近似值）【答案】35【分析】试题剖析：求小猫经过的最短距离，第一应将其侧面睁开，将问题转变为平面上两点间的距离的问题，依据睁开图中扇形的弧长与圆锥底面周长相等可求睁开图的扇形圆心角度数，故可得出睁开图中BAP90，即可用勾股定理求出小猫经过的最短距离BP长.试题分析：解：作出圆锥侧面睁开后的扇形图以以下图，设该扇形的圆心角度数为n，由

6、睁开扇形圆弧长等于底面圆周长，可得nACBC，再由ACBC6m，可得n180，180故在睁开的平面图形中，BAC1180902点B到P的最短距离为BPAB2AP2623235(m)【难度】一般.种类三经过轴对称来转变【例题5】桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，忽然发现了蜜糖，问小虫起码爬多少厘米才能抵达蜜糖所在地点？【答案】15厘米【分析】试题剖析：把圆柱睁开，获得矩形形状，A、B的最短距离就是线段BA的长，依据勾股定理解答即可试题分析：解：以下图，作

7、A点对于杯口的对称点A则BA9212215厘米【难度】较易三、实战操练种类一经过平移来转变1如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dmA和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃爽口的食品，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短行程为dm.【答案】25dm【分析】试题剖析：先将图形平面睁开，再依据勾股定理进行解答试题分析：解：如图，三级台阶平面睁开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短行程是此长方形的对角线长设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短行程为xdm，由勾股定理可得x2=202+（2+3）32，解得x=25即蚂蚁

8、沿着台阶面爬行到点B的最短行程为25dm【难度】较易种类二经过旋转来转变2.（2015陕西）有一个圆柱形油罐，已知油罐周长是12m，高AB是5m，要从点A处开始绕油罐一周造梯子，正好抵达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？【答案】13m【分析】试题剖析：把圆柱沿AB侧面睁开，连结AB，再依据勾股定理得出结论试题分析：解：睁开图以下图，AC12m，BC5mABAC2BC21225213m.【难度】较易3.有一个圆柱体，如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一小蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处蚂蚁爬行的最短距离.【答案】16252cm【分析】试题剖析：圆柱睁开就是一个长方形，依据两点之间线段最短可求试题分

9、析：解：AB4，BC为底面周长的一半，即BC5ACAB2BC242216252cm5【难度】较易葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了抢夺雨露阳光，经常绕着树干回旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线老是沿最短路线-螺旋行进的，莫非植物也懂得数学？阅读以上信息，解决以下问题：（1）假如树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm，绕一圈高升（即圆柱的高）40cm,则它爬行一周的行程是多少？（2）假如树干的周长是80cm,绕一圈爬行100cm，它爬行10圈抵达树顶，则树干高多少？.【答案】（1）50cm；（2）6m【分析】试题剖析：（1）以以下图，将圆柱睁开，可知底面圆周长，即为AC的

10、长，圆柱的高即为BC的长，求出AB的长即为葛藤树的最短行程（2）先依据勾股定理求出绕行1圈的高度，再求出绕行10圈的高度，即为树干高试题分析：解：（1）如图，eO的周长为30cm，即AC=30cm高是40cm，则BC=40cm，由勾股定理得ABAC2BC250cm故爬行一周的行程是50cm2）eO的周长为80cm，即AC=80cm绕一圈爬行100cm，则AB=100cm，高BC=60cm树干高=6010=600cm=6m故树干高6m【难度】一般5（2015江阴市）如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最短距离是（）A1

11、3B17C1D25【答案】B【分析】试题剖析：.依据已知得出蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最短距离是如图BM的长度，从而利用勾股定理求出试题分析：解：蚂蚁从盒外的B点沿正方体的表面爬到盒内的M点蚂蚁爬行的最短距离是如图BM的长度无盖的正方体盒子的棱长为2，BC的中点为MA1B224A1M1BM421217应选：B【难度】较易6.已知O为圆锥极点，OA、OB为圆锥的母线，C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的印迹如右图所示，若沿OA剪开，则获得的圆锥侧面睁开图为（）【答案】C.【分析】试题剖析：

12、要求小蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面睁开，从而依据“两点之间线段最短”得出结果，再利用做对称点作出另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线.试题分析：解：C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A侧面睁开图BO为扇形对称轴，连结AC即是最短路线另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，作出C对于OA的对称点，再利用扇形对称性得出对于BO的另一对称点，连结即可.应选C【难度】一般7（2014枣庄）图所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，获得如图的几何体，一只蚂蚁沿着图的几何体表面从极点A爬行到极点B的最短距离为cm【答案】3236cm

13、【分析】试题剖析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图的几何体表面睁开，从而依据“两点之间线段最短”得出结果试题分析：解：如答图，易知BCD是等腰直角三角形，ACD是等边三角形，在RtBCD中，CDBC2BD262cm，1BECD32cm，2.在RtACE中，AE2236cm，ACCE从极点A爬行到极点B的最短距离为3236cm【难度】一般8.一个圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径r=2，若一只小蚂蚁从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短路线长是_（结果保存根式）【答案】82【分析】解：设圆锥的睁开图扇形QAA的中心角AQA的度数为n，则22n8，解得：n90o180即AQ

14、A90o在RtVAQA中，依据勾股定理82【难度】一般9.如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm，倘若点B有一只蚂蚁只好沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食品，那么它爬行的最短行程是多少？.【答案】25【分析】试题剖析：依据圆锥的主视图是等边三角形可知，睁开图是半径是4的半圆，点B是半圆的一个端点，而点P是均分半圆的半径的中点，依据勾股定理即可求出两点B和P在睁开图中的距离，就是这只蚂蚁爬行的最短距离试题分析：解：设圆锥的睁开图的圆心角为n，则22n4，解得：n180180即CAC180在睁开图中，BACC，BA4，AP2由勾股定理得，BP42222025评论：此

15、题主要考察了圆锥的侧面睁开图的计算，正确判断蚂蚁爬行的路线，把曲面的问题化为平面的问题是解题的重点【难度】较难10（.1）如图1，一个无盖的长方体盒子的棱长分别为，AA5cm，BC3cmAB4cm1盒子的内部极点C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部极点A处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）假定昆虫甲在极点C1处静止不动，请计算A处的昆虫乙沿盒子内壁爬行到昆虫甲.C1处的最短行程，并画出其最短路径，简要说明画法（2）假如（1）问中的长方体的棱长分别为ABBC6cm114cm，如图，假，AA2设昆虫甲从盒内极点C1以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从盒内极点A以3厘米/秒的速

16、度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙起码需要多长时间才能捕获到昆虫甲？【答案】（1）AEC1就是最短路径（2）5秒【分析】解：（1）如图二，将上表面睁开，使上表面与前表面在同一平面内，即A、A1、D1三点共线，AA1A1D1538D1C14依据勾股定理得AC180.如图三，将右边面睁开，使右边面与下边在同一平面内，即A、B、B1三点共线ABBB1459，B1C13依据勾股定理得AC190如图四，将右边面睁开，使右边面与前表面在同一平面内，即A、B、C三点共线.ABBC437，CC15依据勾股定理得AC174748090最短行程是74cm.在图四中，VABEVACC1BEABCC1ACBE4，BE2

17、0577.如图一，在BB1上取一点E，使BE20，连结AE，EC1，AEC1就是最短路径7（2）如图五，设C1Fx，则AF3x，CF5x在RtVACF中，依据勾股定理得AF2AC2CF2即：2223x6614x解得：x15，x2172x0 x5因此，昆虫起码需要5秒才能捉到昆虫甲.评论：在长方体中，经过它的表面，从一个极点到另一个与它相对的极点的最短距离是：在长、宽、高中，以较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边，斜边即为最短路线长【难度】较难11如图，A是高为10cm的圆柱底面圆上一点，一只蜗牛从A点出发，沿30角绕圆柱侧面爬行，当他爬到顶上时，他沿圆柱侧面爬行的最短距离是

18、（）A.10cmB.20cmC.30cmD.40cm【答案】B.【分析】试题剖析：将圆柱侧面睁开，连结AB,依据三角函数求出AB的长即可试题分析：解：依据题意得，BC10cm，BAC30ABBCSin30120cm102应选B【难度】一般12如图，是一个长4m，宽3m，高2m的有盖库房，在其内壁的A处（长的四均分）有一只壁虎，B处（宽的三均分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）A4.8B29C5D322【答案】C【分析】有两种睁开方法：长方体睁开成以下图，连结A、B，依据两点之间线段最短，AB522229；将长方体睁开成以下图，连结A、B，则AB3242529；.应选C【难度】较易13

19、（2015-2016内蒙古包头）如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5cm，一只蚂蚁假如要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是cm【答案】25【分析】试题剖析：要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法就是将正方体睁开，而后利用两点之间线段最短解答.试题分析：解：如图：（1）ABBD2AD215220225（2）ABAE2BE2102252529；（3）ABAC2BC230252537.因此需要爬行的最短距离是25【难度】较难14已知：如图，一个玻璃材质的长方体，此中AB8,BC4,BF6，在极点E处有一块爆米花残渣，一只蚂蚁从侧面BCSF的中心沿长方体表面爬行到点E则此蚂蚁爬行的最短距离为【答案】109【分析】试题剖析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需要将立体图形转变为平面图形，将E、O（设面BCSF的中心为点O）所在的两个面睁开，但睁开图并不是只有一种，而是两种，需要利用“两点之间，线段最短”，来一一求出线段EO的长度，而后比较两种状况的结果，找出最短路径试题分析：解：设面BCSF的中心为点O，依据题意，最短路径有以下两种状况：1如图1，沿SF把长方体的侧面睁开，蚂蚁爬行的最短距离8624225252如图2，沿BF把长方体的侧面睁开，