线性规划企业利润最大化

1、引 言线性规划主要用用于解决生活活、生产中的的资源利用、人人力调配、生生产安排等问问题，它是一一种重要的数数学模型简简单的线性规规划指的是目目标函数含两两个自变量的的线性规划，其其最优解可以以用数形结合合方法求出。涉涉及更多个变变量的线性规规划问题不能能用初等方法法解决。线性性规划问题的的难点表现在在三个方面：一是将实际际问题抽象为为线性规划模模型；二是线线性约束条件件和线性目标标函数的几何何表征；三是是线性规划最最优解的探求求。线性规划的发展展史法国 HYPERLINK /view/66878.htm 数学家 JJ.- B.- J.傅傅里叶和 CC.瓦莱普普森分别于11832和11911年独

2、独立地提出线线性规划的想想法，但未引引起注意。 1939年年 HYPERLINK /view/6824.htm 苏联数学家.康托托罗维奇在生生产组织与计计划中的数学学方法一书书中提出线性性规划问题，也也未引起重视视。 1947年年 HYPERLINK /view/2398.htm 美国数学家GG.B. HYPERLINK /view/802623.htm 丹齐齐克提出线性性规划的一般般 HYPERLINK /view/76167.htm 数学模型和求求 HYPERLINK /view/1009698.htm 解线性规划划问题的通用用方法 HYPERLINK /view/471090.htm 单

3、单纯形法，为为这门学科奠奠定了基础。 1947年年美国数学家家J.vonn诺伊曼提出出 HYPERLINK /view/6653.htm 对偶理论,开开创了线性规规划的许多新新的研究领域域，扩大了它它的应用范围围和解题能力力。 1951年年美国经济学学家T.C.库普曼斯把把线性规划应应用到经济领领域，为此与与康托罗维奇奇一起获19975年 HYPERLINK /view/29959.htm 诺贝贝尔经济学奖奖。 50年代后后对线性规划划进行大量的的理论研究，并并涌现出一大大批新的 HYPERLINK /view/7420.htm 算法法。例如，11954年CC.莱姆基提提出对偶单纯纯形法，19

4、954年S.加斯和T.萨迪等人解解决了线性规规划的 HYPERLINK /view/113149.htm 灵敏度度分析和参数数规划问题，11956年AA.塔克提出出互补松弛定定理，19660年G.BB.丹齐克和和P.沃尔夫夫提出分解算算法等。 线性规划的的研究成果还还直接推动了了其他 HYPERLINK /view/3821790.htm 数学规规划问题包括括 HYPERLINK /view/135921.htm 整数规划、随随机规划和 HYPERLINK /view/319487.htm 非非线性规划的的算法研究。由由于 HYPERLINK /view/303224.htm 数字电子子计算机

5、的发发展，出现了了许多线性规规划 HYPERLINK /view/37.htm 软件，如MPPSX，OPPHEIE，UUMPIREE等，可以很很方便地求解解几千个变量量的线性规划划问题。 1979年年苏联数学家家L. G. Khacchian提提出解线性规规划问题的椭椭球算法，并并证明它是 HYPERLINK /view/613580.htm 多多项式时间算算法。 1984年年美国贝尔电电话实验室的的 HYPERLINK /view/2174.htm 印度数学家NN.卡马卡提提出解线性规规划问题的新新的多项式时时间算法。用用这种方法求求解线性规划划问题在变量量个数为50000时只要要单纯形法所

6、所用时间的11/50。现现已形成线性性规划多项式式算法理论。550年代后线线性规划的应应用范围不断断扩大。随着经济的发展展，关于线性性规划在企业业中的应用越越来越广泛。林林海明早在11996年就就立足于较强强的普及性，从从经济常识的的角度来认知知线性规划问问题的解法，初初步论述这一一问题；熊福福力、张晓东东等在20004年作了基基于利润最大大化的油田开开发非线性规规划一文，他他们根据油田田开发的实际际情况，将油油田和利润细细分为几个部部分，以获得得最大利润为为目标，建立立了油田开发发的数学模型型；吴海华和和王志江在关于影子价格作为企业资源配置依据的探讨根据线性规划模型资源影子价格的经济意义，讨

7、论了在企业以收入最大化和利润最大化两种情况下，影子价格作为企业资源配置依据时存在的问题。胡徐胜、刘娟和汪发亮在最优控制在汽车企业利润最大化中的应用一文中从汽车企业职工结构角度出发，研究在企业提供职工工资总量不超过某一限定值的情况下,如何分配汽车企业中普通职工与高级职工的比例来达到实现汽车企业利润最大化的目标。随着经济社会的的发展，线性性规划在资源源配置和企业业管理方面发发挥着独特的的作用。在企企业的各项管管理活动中，例例如计划、生生产、运输、技技术等问题，从从各种限制条条件的组合中中，通过对实实际数据的分分析处理和数数学模型的建建立，选择出出最为合理的的计算方法，建建立线性规划划模型从而求求得

8、最佳结果果，给出了更更多的决策参参考信息。这这也将成为未未来企业生产产与管理的普普遍方法。 不单如如此，企业现现如今更着重重于对各种条条件组合中限限制条件作局局部调整以达达到对获得利利润的一种控控制，而这恰恰恰也是线性性规划问题中中灵敏度分析析所研究的对对象。本文共分为四章章。在第一章章，介绍本文的的背景和线性性规划的发展展状况；在第第二章，介绍线性规划划本身和一系系列相关性质质问题及企业业利润最大化化数学模型的的基础知识；在第三章，介介绍利用线性性规划建立企业利润润最大化数学学模型；最后，求解解模型最优解解。第2章线性规划划问题本章主要介绍线线性规划本身身和一系列相相关性质问题题，并相应举举

9、出一些简单单的例子更好好的阐述了线线性规划问题题。本章主要要借鉴于胡运运权、郭耀煌煌等编著，清清华大学出版版社出版的运运筹学教程（第第二版）的的内容。2.1线性规划划模型及标准准型211线性性问题的数学学模型例1：美佳公司司计划制造，两种家电产产品。已知各各制造一件时时分别占用的的设备A，BB的台时、调调试工序及每每天可用于这这两种家电的的能力、各售售出一件时的的获利情况，如如表1所示。问问该公司应制制造两种家电电各多少件，使使获取的利润润为最大。表1项目每天可用能力设备A（h）0515设备B（h）6224调试工序（h）113利润（元）21 对上例用和分分别表示美佳佳公司制造家家电和的数量。这

10、这时此例数学学模型可表示示为 由此例可以看出出，规划问题题的数学模式式型由三个要要素组成：变量，或称称决策变量，是是问题中要确确定的未知量量，它用以表表明规划中的的用数量表示示的方案、措措施，可由决决策者决定和和控制；目标函，它它是决策变量量的函数，按按优化目标分分别在这个函函数前加上或；约束条件，指指决策变量取取值时受到的的各种资源条条件的限制，通通常表达为含含决策变量的的等式或不等等式。假定线性规划问问题中含个变变量，分别用用（）表示，在在目标函数中中的系数为（通常称为价价值系数），的取值受项资源的限制，用（）表标第种资源的拥有量，用表示变量取值为1个单位时所消耗或含有的第种资源的数理量，

11、通常称为技术系数或工艺系数。刚上述线性规划问题的数学模型可表示为：上述模型的简写写形式为用向量形式表达达时，上述模模型可写为：式中；用矩阵和向量形形式来表示可可写为：称为约束方程组组（约束条件件）的系数矩矩阵。 变量的的取值一般配配为非负，即即；从数学意意义上可以有有。又如果变变量表示第种产品品期内产量相相对于前期产产量的增加值值，则的取值值范围为，称称取值不受约约束，或无约约束。21122线性规划问问题的标准形形式线性规是问题的的标准形式如如下：标准形式的线性性规划模型中中，目标函数数为求极大值值，约束条件件全为等式，约约束条件右端端常数项全为为非负值，变变量的取值全全为非负值。对对不符合标

12、准准形式的线笥笥规划问题，可可分别通过下下列方法化为为标准形式。1）目标函数为为求极小值，即即为：因为求等价于求求，令，即化为为：2）约束条件的的右端项时，只只需将等式或或不等式两端端同乘（-11），则等式式右端项必大大于零。3）约束条件为为不等式。当当约束条件为为“”时，如如，可令，得，显然。当约约束条件为“”时，如有有，可令，得，。和是新加上去去的变量，取取值均为非负负，加到原约约束条中去的的变量其目的的是使不等式式转化为等式式，其中称为为松弛变量，一般配称为剩余变量，但也有称松弛变量的。松弛变量或剩余变量在实际问题中分别表示未被充分利用的资源和超出的资源数，均未转化为价值和利润，所以引进

13、模型后它们在目标函数中的系数均为零。4）取值无约束束的变量是。如如果变量代表表某产品当年年计划数与上上一年计划数数之差，显然然的以值可能能是正也可能能是负，这时时可令，其中中，将其代入入线性规划模模型即可。5）对的情况，令令，显然。22线性规划划模型的求解解221线性性规划问题的的基与解 线性无关：对于于n维空间的的一组向量，若若数域F中有有一组不全为为0的数（），使 成成立，则称这这组向量在FF上线性相关关。否则称这这组向量在FF上线性无关关。秩：设A是mn矩阵。若若A的n个列列向量中有rr个线性无关关（），而所所有个数大于于r的列向量量组都线性相相关，则称数数r为矩阵AA的列秩。类似可定久

14、矩阵阵A的行秩。矩矩阵A的列秩秩与行秩一定定相等，它也也称为矩阵AA的秩。基：已知A是约约束条件的mmn系数矩阵阵，其秩为mm。若B是AA中mm非奇异子子矩阵（即可可逆矩阵，有有），则称BB是线性规划划问题的一个个基，B是由由A中m个线线性无关的系系数列向量组组成的。基向量：B中一一列（共m个个）基变量非基向量：B外外（A中）一一列（共nm个）非基变量可行解：满足、的解最优解：满足的可行解基本解：令所有有非基变量=0，求出的的满足的解基本可行解：满满足的基本解最优基本可行解解：满足的基本可行行解基本解退化的基本解：有基变量=0的基本解解退化的基本可行行解退化的最优化基基本可行解222线性性规划

15、的图解解法适于求解二维问问题不必化为标准型型22111图解法步骤骤例2： 1）由全部约束束条件作图求求出可行域2）作出一条目目标函数的等等值线3）平移目标函函数等值线，作作图得最优点点，再算出最最优值 图1最优点Q： ；最优值ZZ： .22122从图解法看看线性规划问问题解的几种种情况1）有唯一最优优解（一般情情况）2）有无穷多组组最优解（平平行；最优值值相同）对例2，修改为为：无可行解（可行行域空集）对例2，增加一一个约束条件件：无有限最优解（无无界域；取决决于求还是？）对例2，去掉第第一个约束条条件线性规划的可行行域为凸集，特特殊情况下为为无界域（有有有限个顶点点）或空集。线性规划若有最最

16、优解，一定定可在可行域域顶点上得到到。223单纯纯形法22311单纯形法迭迭代原理1）确定初始基基可行解 当线性性规划问题的的所有约束条条件均为号是，松弛弛变量对应的的系数矩阵即即为单位矩阵阵，以松弛变变量为基变量量可确定基可可行解。 对约束束条件含或号时，可可构造人工基基，人为产生生一个单位矩矩阵，用大法法或两阶段法法获得初始基基可行解。2）最优性检验验与解的判别别（目标函数数极大型） 当所有有变量对应的的检验数均非非正时，现有有的基可行解解即为最优解解。若存在某某个非基变量量的检验数为为零时，线性性规划问题有有无穷多最优优解；当所有有非基变量的的检验数均严严格小于零时时，线性规划划问题具有

17、唯唯一最优解。 若存在在某个非基变变量的检验数数大于零，而而该非基变量量对应的系数数均非正，则则该线性规划划问题具有无无界解（无最最优解）。 当存在在某些非变量量的检验数大大于零，需要要找个一个新新的基可行解解，即要进行行基变换。22322单纯形法迭迭代步骤1）求出初始可可行解，列出出初始单纯形形表。 设为为基变量，为非基变量量基100001002）计算检验数数进行最优性性检验。 若已获得最优解解（或确定无无最优解），则则停止；否则则进行下一步步。3）换基。根据的原则，确确定为换入变变量，计算（），按规则则，确定为换出出变量。4）通过初等行行变换将系数数矩阵中变量量对应列变换换为第个元素素为1

18、的单位位列向量，用用代为新的基变变量，列出新新的单纯形表表，回到第二二步骤。例3：用单纯形形法求解线性性规划问题 解 先将上述问问题化成标准准形式有 其约束条件系数数矩阵的增广广矩阵为 是单位矩阵，构构成一个基，对对应变量是基基变量。令非非基变量等于于零，即找到到一个初始基基可行解以此列出初始单单纯形表记作作表2如下：表221000基0150510002462010051100121000因表中有大于零零的检验数，故故表中基可行行解不是最优优解。因，故故确定为换入入变量。将列列除以的同行行数字得，由由此6为主元元素，作为标标志对主元素素6加上方括括号 ，主主元素所在行行基变量为换换出量。用替替

19、换基变量，得得到一个新的的基，按上述述单纯形法计计算步骤第三三步，可以找找到新的基可可行解，并列列出新的单纯纯形表，记作作表3如下：表321000基015051002412/601/600104/60-1/6101/30-1/30由于上表中还存存在大于零的的检验数，故故重复上述步步骤得下表，记记作表4：表421000基015/20015/4-15/227/21001/4-1/213/2010-1/43/2000-1/4-1/2上表中所有，且且基变量中不不含人工变量量，故表中的的基可行解为为最优解，代代入目标函数数得。223对偶偶单纯形法22311单纯形法计计算的矩阵描描述对称形式线性规规划问题

20、的矩阵表达式加加上松弛变量量后为： (1)上式中为松弛变变量，为单位矩阵。单纯形法计算时时，总选取为为初始基，对对应基变量为为。设迭代若若干步后，基基变量为，在初始单纯纯形表中的系系数矩阵为。将将在初始单纯纯形表中单独独列出，而中中去掉后的若若干列后剩下下的列组成矩矩阵，这样(1)的初始单单纯形表可列列成如表5的形式。 表5项目非基变量基变量00当迭代若干步，基基变量为时，则则该步的单纯纯形表中由系系数组成的矩矩阵为。又因因单纯形法的的迭代是对约约束增广矩阵阵进行的行的的初等变换，对对应的系数矩矩阵在新表中中应为。故当当基变量为时时，新的单纯纯形表具有表表6形式。 表6项目基变量非基变量10从

21、表5和表6看看出，当迭代代后基变量为为时，其在初初始单纯形表表中的系数矩矩阵为，则有有：1）对应初始单单纯形表中的的单位矩阵，迭迭代后的单纯纯形表中为； 2）初始单纯形形表中基变量量,，迭代后后的表中；3）初始单纯形形表中约束系系数矩阵为，迭代后后的表中约束束系数矩阵为为，。4）若初始矩阵阵中变量的系系数向量为迭迭代后为，则则有 （22）5）当为最优解解时，在表66中应有 （33） （4） 因的检验数可可写为 （55） 故(3)(5)式可重写写为 （66） （7）称为单纯乘子，若若令 则（66）、（7）式可改写为 （88） 时若数对一将入的值 出题时偶行者的值22322对偶问题的的基本性质 1

22、）弱对偶性。如如果是原问题题的可行解，是其对偶问题的可行解，则恒有 由弱对偶性，可可得出以下推推论： 原问问题任一可行行解的目标函函数值是其对对偶问题目标标函数值的下下界；反之对对偶问题任一一可行解的目目标函数值是是其原问题目目标函数值的的上界。 如原原问题有可行行解且目标函函数值无界(具有无界解解)，则其对对偶问题无可可行解；反之之对偶问题有有可行解且目目标函数值无无界，则其原原问题无可行行解(注意：本点性质的的逆不成立，当当对偶问题无无可行解时，其其原问题或具具有无界解或或无可行解，反反之亦然)。 若原原问题有可行行解而其对偶偶问题无可行行解，则原问问题目标函数数值无界；反反之对偶问题题有

23、可行解而而其原问题无无可行解，则则对偶问题的的目标函数值值无界。2）最优性。如如果是原问题题的可行解, 是其对偶偶问题的可行行解，且有 则是原问题的最最优解，是对对偶问题的最最优解。3）强对偶性(或称对偶定定理)。若原原问题及其对对偶问题均具具有可行解，则则两者均具有有最优解，且且它们最优解解的目标函数数值相等。4）互补松弛性性。在线性规规划问题的最最优解中，如如果对应某一一约束条件的的对偶变量值值为非零，则则该约束条件件取严格等式式；反之如果果约束条件取取严格不等式式，则其对应应的对偶变量量一定为零。也也即 若，则则有， 即， 若，即即，则有， 因此一一定有。将互补松弛性质质应用于其对对偶问

24、题时可可以这样叙述述：如果有，则；如果有, 则。22333对偶单纯形形法的基本思思路 求解线线性规划的单单纯形法的思思路是：对原原问题的一个个基可行解，判判别是否所有有检验数。若若是，又基变变量中无非零零人工变量，即即找到了问题题最优解；若若为否，再找找出相邻的目目标函数值更更大的基可行行解，并继续续判别，只要要最优解存在在，就一直循循环进行到找找出最优解为为止。根据对偶问题的的性质，因为为，当，即有或，也即其对对偶问题的解解为可行解，由由此原问题和和对偶问题均均为最优解。反反之，如果存存在一个对偶偶问题的可行行基，即对，有或，这时只要要有，即原问问题的解也为为可行解，即即两者均为最最优解。否

25、则则保持对偶问问题为可行解解，找出原问问题的相邻基基本解，判别别是否有，循循环进行，一一直使原问题题也为可行解解，从而两者者均为最优解解。对偶单纯形法的的基本思路：先找出一个个对偶问题的的可行基，并并保持对偶问问题为可行解解条件下，如如不存在，通通过变换到一一个相邻的目目标函数值较较小的基本解解(因对偶问问题是求目标标函数极小化化)，并循环环进行，一直直到原问题也也为可行解(即)，这时时对偶问题与与原问题均为为可行解。22344对偶单纯形形法的计算步步骤设某标准形式的的线性规划问问题 （10） 存在一个对对偶问题的可可行基，不妨妨设，列出单单纯形表（见表7）。 表7基100010001000

26、表表7中必须有有，的值不要求求为正。当对对，有时，即表中中原问题和对对偶问题均为为最优解。否否则，通过变变换一个基变变量，找出原原问题的一个个目标函数值值较小的相邻邻基本解。1）确定换出基基的变量因为总存在00的，令，其对应应变量为换出出基的变量。2）确定换入基基的变量为了使下一个个表中第行基基变量为正值值，因而只有有对应的非基基变量才可以以考虑作为换换入基的变量量。为了使下一个个表中对偶问问题的解仍为为可行解，令令 （111）称为主元素，为为换入基的变变量。设下一个表中的的检验数为，由由式 （112）分两种情况说明明满足（111）式来选取取主元素时，式式（12）中（对）。（a）对 ，因因 故

27、 ，又又因主元素，故故，由此式（122）方括弧内内的值0，故有。（b）对，因，故故有。 3）用换入变量量替换换出变变量，得到一一个新的基。对对新的基再检检查是否所有有。如是，找找到了两者的的最优解，如如为否，回到到第1步再循环进进行。因为由对偶问题题的基本性质质知，当对偶偶问题有可行行解时，原问问题可能有可可行解，也可可能无可行解解。对出现后后一种情况的的判断准则是是：对，而对对所有有。因为这种种情况，若把把表中第行的的约束方程列列出有 （113）因，又，故不可可能存在的解解。故原问题题无可行解，这这时对偶问题题的目标函数数值无界。第三章线性规划划中灵敏度分分析31含义和研研究对象311什么么

28、是灵敏度分分析？是指研究线性规规划模型的某某些参数（）或或限制量（，约约束条件）的的变化对最优优解的影响及及其程度的分分析过程也也称为优化后后分析。 312灵敏敏度分析的研研究对象目标函数的系数数变化对最优优解的影响；约束方程右端系系数变化对最最优解的影响响；约束方程组系数数矩阵变化对对最优解的影影响；综合体现在两个个问题上：这些系数在什么么范围内发生生变化时，最最优解不变？系数变化超出上上述范围，如如何用最简便便的方法求出出新的最优解解？32进行灵敏敏度分析的基基本原则 在最终单纯纯形表的基础础上进行。 尽量减少附附加的计算工工作量。33灵敏度分分析的步骤1）将参数的改改变通过计算算反映到最

29、终终单纯形表上上来；2）检查是否仍仍为原问题的的可行解；3）检查是否仍仍为对偶问题题的可行解；4）依据表8所所列情况决定定继续计算或或得到结论。表8原问题对偶问题结论或继续计算算的步骤可行解可行解问题的最优解或或最优基不变变可行解非可行解用单纯形法继续续迭代求最优优解 非可行解可行解用对偶单纯形法法继续迭代求求最优解 非可行解非可行解引进人工变量，编编制新的单纯纯形表重新计计算34灵敏度分分析的主要内内容341分析析的变化线性规划目标函函数中变量系系数的变化仅仅仅影响到检检验数的变化化.所以将的的变化直接反反映到最终单单纯形表中,只可能出现现如表8中的前两种种情况.下面举例说明。例3 在例11

30、的美佳公司司例子中，（11）若加电的利润降至至1.5元/件，而家电电的利润增至至2元/件时时，美佳公司司最优生产计计划有何变化化；（2）若若加电的利润不变变，则加电的利润在什么么范围内变化化时，则该公公司的最优生生产计划将不不发生变化。 解 （1）将将家电，的利润变化化直接反映到到最终单纯形形表（表4）中得表9。 表91.52000基015/200 15/4-15/21.57/21001/4-1/223/2010-1/43/20001/8-9/4因变量的检验数数大于零，故故需继续用单单纯形法迭代代计算得表110。表10基0600 4/51-61.5210-1/50123011/50000-1/

31、100-3/2即美佳公司随加加电，的利润变化化应调整为生生产2件，3件。 （2）设设家电的利润为（）元元，反映到最最终单纯形表表中，得表111。表11项 目2000基015/200 15/4-15/227/21001/4-1/23/2010-1/43/2000为使表11中的的解仍为最优优解，应有 , 解得 即加电的利润润的变化范围围应满足 342分析析的变化右端项的变化在在实际问题中中反映为可用用资源数量的的变化。由式式看出变化反映映到最终单纯纯形表上将引引起列数字的的变化，在表表8中可能出现现第一或第三三的两种情况况。出现第一一种情况时，问问题的最优基基不变，变化化后的列值为为最优解。出出现

32、第三种情情况时，用对对偶单纯形法法迭代继续找找出最优解。例4 述的(备序力设能3分优化若能则能范时最因 终中21000基035/200 15/4-15/2211/21001/4-1/21-1/2010-1/43/2000-1/4-1/2因表12中原问问题为非可行行解，故用对对偶单纯形法法继续计算得得表13。 表1321000基01505 1002511001020-401-60-100-2由此美佳公司的的最优计划改改为只生产加加电5件。（2）设调试工工序每天可用用能力为（）小时，因有有终中字 当时问题的最优优基不变，解解得。由此调调试工序的能能力应在4小小时6小时时之间。343增加加一个变量的

33、的分析增加一个变量在在实际问题中中反映为增加加一种新的产产品。其分析析步骤为：1）计算2）计算3）若，原最优优解不变，只只需将计算得得到的和直接写入最最终单纯形表表中；若，则则按单纯形法法继续迭代计计算找出最优优。例5 在美佳佳公司例子中中，设该公司司又计划推出出新型号的家家电，生产一件件所需设备、及调试工序序的时间分别别为3小时、44小时、2小小时，该产品品的预期盈利利为3元件件，试分析该该种产品是否否值得投产；如投产，对对该公司的最最优生产计划划有何变化。解 设该公司生生产家电件，有，。 将其反映到最终终单纯形表（表表4）中得表144。表14210 003 基015/20015/4-15/

34、2-727/21001/4-1/2013/2010-1/43/22000-1/4-1/21因 ，故用单单纯形表继续续迭代计算得得表15。表15210 003 基b051/407/213/8-9/4027/21001/4-1/2033/401/20-1/83/410-1/20-1/8-5/40由表15，美佳佳公司新的最最优生产计划划应为每天生生产件家电II，件家电。344分析析参数的变化化的变化使线性规规划的约束系系数矩阵发生生变化。若变变量在最终单单纯形表中为为非基变量，其其约束条件中中系数的变化化分析步骤可可参照本节之之三，若变量量在最终单纯纯形表中为基基变量，则的的变化将使相相应的和发生变

35、化，因因此有可能出出现原问题和和对偶问题均均为非可行解解的情况。出出现这种情况况时，需引进进人工变量将将原问题的解解转化为可行行解，再用单单纯形法求解解，下面举例例说明。例6 在美佳佳公司的例子子中，若家电电每件需设备备，和调试工时时变为8小时时、4小时、11小时，该产产品的利润变变为3元件件，试重新确确定该公司最最优生产计划划。解 先将生产产工时变化后后的新家电看作是一种种新产品，生生产量为，仿仿本节三的步步骤直接计算算和并反映到最最终单纯形表表中。其中： 将其反映到最终终单纯形表(表4)中得表16。 表16213 000 基015/20011/215/4-15/227/2101/20 1/

36、4-1/213/2011/20-1/43/2003/20-1/4-1/2因已变换为，故故用单纯形法法将替换出基基变量中的，并并在下一个表表中不再保留留，得表17。表1723000基0-900 14-24221001/2-233010-1/230001/2-5表17中原问题题与对偶问题题均为非可行行解，故先设设法使原问题题变为可行解解。表17第1行的的约束可写为为 （14）式（14）两端端乘以（-11），再加上上人工变量得得 （15）将式（15）替替换表17的第l行得得表18。表 1823000基900-1 -4241221001/2-2033010-1/230000因对偶问题为非非可行解，用用

37、单纯形法计计算得表19。表 1923000基03/800-1/24 -1/611/24211/410-1/121/601/12315/8011/800-1/800-5/24-1/30由表19知，美美佳公司的最最优生产计划划为每天生产产件家电，件新家电。345增加加一个约束条条件的分析增加一个约束条条件在实际问问题中相当增增添一道工序序。分析的方方法是先将原原问题最优解解的变量值代代入新增的约约束条件，如如满足，说明明新增的约束束未起到限制制作用，原最最优解不变。否否则，将新增增的约束直接接反映到最终终单纯形表中中再进一步分分析。 例7 仍以美佳佳公司为例，设设家电，经调试后，还还需经过一道道环

38、境试验工工序。家电每件须环境境试验3小时时，家电每件2小时时，又环境试试验工序每天天生产能力为为12小时.试分析增加加该工序后的的美佳公司最最优生产计划划。 解 先将原问题题的最优解, 代入环境试试验工序的约约束条件。因因，故原问题题最优解不是是本例的最优优解。 在试验验工序的约束束条件中加松松弛变量得 （166） 以为基基变量，将式式(16)反映到到最终单纯形形表(表4)中得表200。表20210 000基015/20015/4-15/20 27/21001/4-1/2013/2010-1/43/20012320001000-1/4-1/20上表中、列不是是单位向量，故故需进行变换换，得表2

39、11。表21中第，行同原表第第行，表表中第行由以下初初等变换得到到=32。 表 21210 000基015/20015/4-15/20 27/21001/4-1/2013/2010-1/43/200-3/2000-1/4-3/21000-1/4-1/20因表21中对偶偶问题为可行行解，原问题题为非可行解解，故用对偶偶单纯形法迭迭代计算得表表22表22210 000 基015 0015/20-5 241001/30-1/310010-1/201010001/61-2/3000-1/60-1/3由表22知，添添加环境试验验工序后，美美佳公司的最最优生产计划划为只生产44件家电。35灵敏度分分析的应

40、用1）投入产出法法中灵敏度分分析 可可以用来研究究采取某一项项重大经济政政策后将会对对国民经济的的各个部门产产生怎样的影影响。例如，美美国政府曾经经利用投入产产出表研究了了提高职工工工资10对对国民经济各各部门商品价价格的影响。研研究的结果表表明，在职工工工资增加110时，建建筑业产品的的价格将上涨涨7，农产产品的价格将将上涨1.33，其余各各部门产品价价格将上涨11.37不等,生活活费用将上升升3.8，职职工的实际得得益为6.22。2）方案评价中中灵敏度分析析 可以用来来确定评价条条件发生变化化时备选方案案的价值是否否会发生变化化或变化多少少。例如，在在利用评价表表进行评价时时，需要确定定每

41、一个分目目标的权重系系数和各分目目标的评分数数。这中间或或多或少地会会存在当事人人的主观意识识，不同的人人可能会有截截然不同的价价值观念。因因此就必须考考虑当分配的的权重系数或或评分数在某某一个范围内内变化时，评评价的结果将将会产生怎样样的变化。3）定货批量的的灵敏度分析析 在分析析整批间隔进进货模型中，经经济订货批量量可用下式计计算： 式中为单位时间间需求量，为为每次订货的的固定费用，为单位时间内每单位物资的保管费。它们一般都是根据统计资料估算的，与实际情况有所出入，需要进行灵敏度分析。用，和分别表示实际的需求量、订货量、保管费和调整后的经济订货批量。，,和分别代表需求量、订货量、保管费和经

42、济订货批量的相对变化值，即： 通过计算后可得得 代入具体的数值值后便可用上上式说明, 和对订货批量的的综合影响程程度。第四章利用线性性规划建立企企业利润最大大化数学模型型企业管理是一种种典型的复杂杂系统，利用用模型描述这这类系统是一一件非常困难难的工作，为为此建模和求求解过程中对对研究对象做做出一些简化化是非常必要要的，这也各各类线性模型型受到重视和和广泛应用的的原因之一，尽尽管经济系统统是非常复杂杂的，但应用用线性模型仍仍然能够描述述和解决大量量的实际问题题。本章就企企业经营管理理中的目标利润最大大化和目标成本最小小化问题数学学模型的构造造作了介绍，并并举出一些相相应的例子阐阐述这一问题题。

43、41企业利润润最大化原则则厂商从事生产或或出售商品的的目的是为了了赚取利润。如如果总收益大大于 HYPERLINK /view/173009.htm 总成本，就会会有剩余，这这个剩余就是是利润。值得得注意的是，这这里讲的利润润，不包括正正常利润，正正常利润包括括在总成本中中，这里讲的的利润是指超超额利润。如如果总收益等等于总成本，厂厂商不亏不赚赚，只获得正正常利润，如如果总收益小小于总成本，厂厂商便要发生生亏损。厂商从事生产或或出售商品不不仅要求获取取利润，而且且要求获取最最大利润，厂厂商 HYPERLINK /view/1291466.htm 利润最大大化原则就是是产量的 HYPERLINK

44、 /view/351293.htm 边际际收益等于边边际成本的原原则。边际收收益是最后增增加一单位销销售量所增加加的收益，边边际成本是最最后增加一单单位产量所增增加的成本。如如果最后增加加一单位产量量的边际收益益大于边际成成本，就意味味着增加产量量可以增加总总利润，于是是厂商会继续续增加产量，以以实现最大利利润目标。如如果最后增加加一单位产量量的边际收益益小于边际成成本，那就意意味着增加产产量不仅不能能增加利润，反反而会发生亏亏损，这时厂厂商为了实现现最大利润目目标，就不会会增加产量而而会减少产量量。只有在边边际收益等于于边际成本时时，厂商的总总利润才能达达到极大值。所所以成为利润润极大化的条

45、条件，这一利利润极大化条条件适用于所所有类型的市市场结构。42利润最大大化模型421问题题提出：某工厂用甲，乙乙两种原料生生产A，B，CC，D四种产产品，每种产产品的利润现现有原料数量量及每种产品品消耗原料的的定额如下表表：每万件产品所用用原料（KGG）ABCD现有原料（KGG）甲3210418乙0020.53每件产品利润985019问应怎样组织生生产才能使总总利润最大？如果产品AA的价格有波波动问波动应应限制在什么么范围内，才才能使原最优优解不变？422问题题分析：这个问题的目标标是在满足条条件的情况下下，使得工厂厂就生产出的的产品获得的的总利润最大大，所要做的的决策是组织织生产的方案案，即

46、工厂分分别要生产多多少数量的AA，B，C，DD四种产品。决决策主要受到到2个条件的的限制：原料料甲的数量、原原料乙的数量量。423模型型建立：42311决策变量组织生产A、BB、C、D四四种产品的数数量分别记作作（单位万件件）42322目标函数记工厂就生产出出的产品获得得的总利润为为,产品A、BB、C、D每每件利润分别别是9元、88元、50元元、19元，故故。42333约束条件生产四种产品所所消耗的原料料甲不超过现现量18KGG，即。生产四种产品所所消耗的原料料乙不超过现现量3KG，即即。当然还有非负实实数约束，为为非负实数。综上可得：为非负实数。这就是该问题的的基本模型，由由于目标函数数和约

47、束条件件均为线性且且决策变量是是连续的非负负实数，所以以这是一个纯纯线性规划模模型（LP）。424模型型求解原问题一般形式式 转化为标准形： 利用单纯形法可可得其最优解解基对应单纯纯形表如下98501900基19224/3012/3-10/3501-1/2-1/310-1/64/3-4-2/300-13/3-10/3从上表我们得出出最优解是生生产1万件产产品C，生产产2万件产品品D，不生产产A，B两种种产品问可得得最大总利润润为88万元元。讨论：1）现假设上题题的工厂要引引进新产品EE，已知生产产E产品1万万件要消耗材材料甲3KGG，材料乙1KKG，问E的的利润应为多多少时，投入入才有利？解：

48、设生产E产产品万件，11万件产品EE的利润是万万元。则原问题的数学学模型变为： 标准化后变为 因为是原题标准准型的一个最最优解，那么么是这个新问问题的一个可可行解。 当时，即即也就是时，EE的投入才有有利。.下面讨论该变化化的最优解。假设，则得到对应的单纯纯形表如下：9850190017基19224/3012/3-10/3-4/3501-1/2-1/310-1/64/35/6-4-2/300-13/3-10/32/3上表中，所以不不是最优解。应应用单纯形法法进行换基迭迭代得新基对对应的单纯形形表如下：9850190017基1918/56/54/58/512/5-6/50176/5-3/5-2/

49、56/50-1/58/51-18/5-2/5-4/50-21/5-22/50则最优解为对应的目标函数数值为即当每万件新产产品E的利润润为17万元元时，应生产产品18/55万件产品DD，6/5万万件产品E，不不生产A，BB，C，这时时可得最大总总利润万元，比比原最优方案案增加利润44/5万元。2）如果原问题题中产品的利利润发生改变变，即模型目目标函数中变变量系数变化化时，又会给给最优解造成成怎么样的影影响。由原题的最优解解知： 现假设目标函数数中有改变，令令则对应的单纯形表表：8501900基19224/3012/3-10/3501-1/2-1/310-1/64/3-2/300-13/3-10/

50、3如果要原最优解解不变，根据据最优判别准准则，应有即又于是即当时，原问题题的最优解仍仍然是新问题题的最优解，最最大总利润仍仍为88万元元。 当每万件件产品A的利利润超过133万元，即时时，则，原优优解已不是最最优的，用单单纯形法进行行换基迭代，可可得新基对应应的单纯形表表如下表：8501900基112/301/21/3-5/3503/20011/401/200如果使为最优基基，应有 得 即当时时最优解变是对应的目标函数数值为： 即因此，每万件产产品A的价格格在13-115万之间变变化时，原最最优生产方案案应改变为生生产1万件产产品A，生产产1.5万件件产品C，这这时最大总利利润在88-90万元

51、之之间。3）我们再来探探讨原料限制制发生改变的的情况，例如如：假设有变变动时，令。由由于得改变与与最优判别准准则无关，只只影响最优基基B，对应的的单纯形表中中是否非负。如如果非负，那那么B仍为最最优基。因此，当变动时时，如果原来来的所得的基基仍为最优基基，应有。此时：解方程组 则时，原来的基基仍为最优基基，但是最优优解和目标函函数最优解都都是的函数。此此时，最优方方案为生产万万件D，万件件C，可得最最大总利润万元（或）时，由对偶单纯形法法得到对应单单纯形表：98501900基19600410283/21-301/2-4-30-20-4-6要使成为新的最最优基，应有有： ，即即或时新得到的基变为

52、为最优基：对应的目标函数数值为：例如：材料甲的的限用量为550KG（即即）时，材料料乙的限用量量不变时，就就应该生产113万件产品品B，6万件件产品D，这这时最大额利利润为2188万元。当时时，上表表中，类似前前面分析。4）最后如果模模型又有新的的约束条件出出现时，现在在假设原题中中的这个工厂厂又增加用电电不能超过88KW的限制制，而生产AA，B，C，DD四种产品各各一万件分别别需要用电44KW，3KKW，5KWW，2KW，问问是否需要改改变原来的最最优方案。此时，原问题的的数学模型变变为：先将原问题的最最优解代入用用电限制的约约束条件。因因，故原问题题最优解不是是现在问题的的最优解。标准化后

53、：对应的单纯形表表：985019000基19224/3012/3-10/30501-1/2-1/310-1/64/30084352001-4-2/300-13/3-10/30经过初等变换后后985019000基19224/3012/3-10/30501-1/2-1/310-1/64/300-15/2200-1/201-4-2/300-13/3-10/30因为表中对偶问问题为可行解解，原问题为为非可行解，所所以应用对偶偶单纯形方法法，以为轴心心项进行换基基迭代得：985019000基192/316/34010-10/34/3504/3-4/3-11004/3-1/302-5-40010-2-77

54、/3-18000-10/3-26/3即添加新约束条条件之后，最最优方案生产产产品D为万万件，生产产产品C为万件件，可得总利利润万元。43成本最小小化模型431问题题提出结论与展望局限性；1线性规划它它是以价格不不变和技术不不变为前提条条件的，不能能处理涉及到到时间因素的的问题。因此此，线性规划划只能以短期期计划为基础础。2在生产活动动中，投入产产出的关系不不完全是线性性关系，由于于在一定的技技术条件下，报报酬递减规律律起作用，所所以要满足线线性假定是不不可能的。在在线性规划解解题中，常常常把投入产出出的非线性关关系转化为线线性关系来处处理，以满足足线性的假定定性，客观上上产生误差。3线性规划本

55、本身只是一组组方程式，并并不提供经济济概念，它不不能够代替人人们对现实经经济问题的判判断。致谢四年的时间转瞬瞬即失，回顾顾自己大学的四年时间里，在在老师、同学学的熏陶和帮帮助下，无论论是为人处事事，还是学习习方面，都有有着更加成熟熟的思维。最最为重要的是是，在他们的的影响下，我我树立了终生生学习的思想想。在此，我我向他们表示示由衷的谢意意。首先我要感谢我我的导师何广老师。何老师就是一一名对学术很很执着、有着着良好科学素素养的优秀学学者和老师。他不仅有着渊渊博的学识，更更有着博大的的胸怀。他严严谨的治学态态度，高尚的的敬业精神，以以及平易近人人，诲人不倦倦的品格使我我终生受益，籍籍此论文完成成之

56、际，谨向向辛勤培育我我的老师致以以最诚挚的感感谢。同时感谢陪我一一路走来的朋朋友、同学，他他们在学习和和生活上给了了我很大的帮帮助，和他们们愉快的度过过了大学四年年的岁月，是是我人生的一一大财富，我我会好好珍惜惜。最后，我我要感谢我的的父母，没有有他们就没有有现在的我。他他们二十多年年来一直默默默地关爱和支支持着我，让让我安心学习习，是他们给给了我所拥有有的一切。作者:年 月 日日参考文献1 张干宗宗. 线性规划MM. 武汉:武汉大学出版版社,20042 王景琰琰，李桂荣.经济应用数数学 线性代代数与线性规规划M. 延吉:延边大学出版版社,19983 解心江江. 线性规规划模型减少少约束时的灵灵敏度分析J. 农农业系统科学学与综合研究究, 20002.18(3):1778-17994 杨玉英英. 线性规规划问题的