专题11 立体几何计算：求体积归类2021-2022学年高一下学期题型归纳与变式演练(人教A版2019必修第二册)（解析版）

1、 专题11 立体几何大题计算：求体积归类 目录TOC o 1-3 h u 一、 HYPERLINK l _Toc3402 热点题型归类 PAGEREF _Toc3402 1 HYPERLINK l _Toc2260 【题型一】 体积1：常规型（直接法） PAGEREF _Toc2260 1 HYPERLINK l _Toc18228 【题型二】 体积2：体积转化（等体积型，夹缝体积型） PAGEREF _Toc18228 6 HYPERLINK l _Toc4174 【题型三】 体积3：多面体型（切割与补形） PAGEREF _Toc4174 10 HYPERLINK l _Toc8894 【

2、题型四】 体积4：异形体积比 PAGEREF _Toc8894 15 HYPERLINK l _Toc29417 【题型五】 体积应用1：点到面的距离 PAGEREF _Toc29417 19 HYPERLINK l _Toc14823 【题型六】 体积应用2：最值（难点） PAGEREF _Toc14823 22 HYPERLINK l _Toc5278 【题型七】 体积应用3：翻折型 PAGEREF _Toc5278 29 HYPERLINK l _Toc13013 【题型八】 体积综合型 PAGEREF _Toc13013 33 HYPERLINK l _Toc21702 二、最新模考题

3、组练 PAGEREF _Toc21702 38【题型一】 体积1：常规型（直接法）【例1】如图，在圆锥中，为底面圆上的三个点，且，(1)证明：平面(2)求四棱锥的体积 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）设线段上靠近的三等分点为，连接，再结合条件证明四边形为平行四边形，分析求解即可；（2）作于点，则为的中点，再求出梯形的面积，由圆锥性质得到平面的距离为，再利用公式求解即可.(1)如图，设线段上靠近的三等分点为，连接，因为，所以，所以，且，因为，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以因为平面，平面，所以平面(2)作于点，则为的中点，所以，所以梯形的面积为，因为，所以到平面的距离为，所

4、以四棱锥的体积为【例2】已知正三棱柱中，是的中点.(1)求证：平面；(2)点是直线上的一点，当与平面所成的角的正切值为时，求三棱锥的体积 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接交于点，连接，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）利用线面角的定义可求得的长，分析可知点到平面的距离等于点到平面的距离，可得出，结合锥体的体积公式可求得结果.(1)证明：连接交于点，连接，因为四边形为平行四边形，则为的中点，因为为的中点，则，平面，平面，故平面.(2)解：因为平面，与平面所成的角为，因为是边长为的等边三角形，则，平面，平面，则，所以，平面，所以，点到平面的距离等

5、于点到平面的距离，因为为的中点，则，则.【例3】已知四棱锥的底面是菱形，平面，F，G分别为，中点，.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积；(3)求证：与不垂直. 【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析【分析】（1）连接，证明平面，平面后由面面平行的判定定理得证；（2）由体积公式变换，然后计算可得；（3）假设，由线面垂直的判定定理得线面垂直，然后又得线线垂直，得出矛盾，从而可得结论(1)证明：如图，连接，O是中点，F是中点，平面，平面，则平面.O是中点，G是中点，平面，平面，则平面.又，平面，平面平面，又平面，则平面.(2)证明：底面，底面，又四边形为菱形，又，、平面，平面，且，而F为

6、的中点，；(3)证明：假设，底面，底面，且，平面，平面，而平面，则，与矛盾.假设错误，故与不垂直.【例4】在如图所示的几何体中，底面四边形ABEF为等腰梯形，侧面四边形ABCD是矩形，且平面ABCD平面ABEF，BCBE2(1)求证：AF平面BCE；(2)求三棱锥ACEF的体积 【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）取的中点为，连接，证明平面，原题即得证；（2）利用计算即得解.(1)证明：取的中点为，连接 ，因为平面平面 平面平面, 平 面,所以平面,平面所以平面.平面(2)解：【题型二】 体积2：体积转化（等体积型，夹缝体积型）（重点）授课时归纳基本变化型等体积转化，多为三棱锥点转

7、化型：（1）同底等高：平行线转化：（2）同底不等高：比列线段转化；（3）“夹缝型”【例1】如图所示，在正方体中，为中点.(1)求证：平面；(2)若正方体棱长为2，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接BD交AC于O，连接OE，即可得到，从而得证；（2）根据正方体的性质及计算可得；(1)证明：连接BD交AC于O，连接OE，所以OE是的中位线，所以，又面，面，所以平面；(2)解：正方体中，平面，所以；【例2】如图，在棱长为2的正方体中，设是的中点.(1)过点，且与平面平行的平面与此正方体的面相交，交线围成一个三角形，在图中画出这个三角形（说明画法，不用说明理由）；(2)

8、求四棱锥的体积. 【答案】(1)答案见解析；(2).【分析】（1）根据面面平行的性质作图即可；（2）根据三棱锥的体积比可得再计算即可.(1)取的中点，连接，易知为所作三角形.(2)因为且，四边形为平行四边形.，故四棱锥的体积为.【例3】如图，在三棱锥中，PA平面ABC，是直角三角形，D，E分别是棱PB，PC的中点(1)证明：平面PAC平面ADE(2)求三棱锥的体积 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由题意易知，从而可证平面PAC，而由中位线定理可得，于是平面PAC，最后由面面垂直的判定定理可证得平面PAC平面ADE（2）由等体积法可知三棱锥与三棱锥的体积相等，求出三棱锥的体积即可求出

9、答案,(1)证明，因为是直角三角形，且，所以因为平面ABC，且平面ABC，所以因为平面PAC，平面PAC，且，所以平面PAC因为D，E分别是棱PB，PC的中点，所以因为平面PAC，所以平面PAC因为平面ADE，所以平面平面ADE(2)解：因为，所以因为平面ABC，且，所以三棱锥的体积连接CD，因为D是棱PB的中点，所以三棱锥的体积因为E是棱PC的中点，所以三棱锥的体积因为三棱锥与三棱锥是同一个三棱锥，所以的体积为【例4】如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点F为线段PC上的点，过A，D，F三点的平面与PB交于点E(1)证明：平面ABCD；(2)若E为PB中点，且，求四棱锥的

10、体积 【答案】(1)证明见解析；(2)1.【分析】（1）利用线面平行的判定证明平面，再利用线面平行的性质、判定推理作答.（2）利用线面垂直的性质、判定证明平面，进而证得平面，再借助锥体体积公式计算作答.(1)正方形中，而平面，平面，平面，又平面，平面平面，则有，而平面，平面，所以平面.(2)因平面ABCD，平面，则，又，平面，则平面，平面，于是得，因，E为PB中点，则，而，平面，因此，平面，由（1）知，则有，梯形面积，所以四棱锥的体积.【题型三】 体积3：多面体型（切割与补形）规律：多面体切割，多从表面四边形对角线处“下刀”【例1】如图，在四棱柱中，点M是线段上的一个动点，E，F分别是的中点.

11、(1)设G为棱上的一点，问：当G在什么位置时，平面平面？(2)设三棱锥的体积为，四棱柱的体积为，求. 【答案】(1)G为中点时，平面平面；(2)【分析】（1）G为中点时，先证平面，再证平面，即可证得平面平面；（2）由，结合平面得即可求得.(1)G为中点时，平面平面，理由如下：连接，取的中点，连接，因为E，F分别是的中点，则，平面，平面，则平面，同理可得，平面，平面，则平面，又，平面，则平面平面；(2)由F是的中点得，又，平面，平面，则平面，又点M是线段上的一个动点，则，则，则.【例2】七面体玩具是一种常见的儿童玩具.在几何学中，七面体是指七个面组成的几何体，常见的七面体有六棱锥、五棱柱、正三角

12、锥柱、Szilassi多面体等.在拓扑学中共有34种拓扑结构差异的凸七面体，它们可以看成由一个棱柱经过简单的切割而得到.在如图所示的七面体中平面，.(1)求二面角的正切值；(2)求该七面体的体积. 【答案】(1)(2)8【分析】（1）在平面中，作，连接，由线面垂直得到，即可得到平面，即二面角的平面角是，再根据锐角三角函数计算可得；（2）将七面体补成直四棱柱，则，从而计算可得；(1)解：在平面中，作，连接.平面，平面，又，平面，所以平面.二面角的平面角是，因为，所以，所以中，.(2)解：依题意将七面体补成直四棱柱，。又，【例3】如图所示，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知，.(

13、1)求证：平面；(2)连接，求多面体的体积. 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）依题意可得，即可得到平面平面，再根据面面平行的性质得证；（2）由面面垂直的性质得到平面，平面，再根据计算可得；(1)证明：由正方形与梯形，可得，因为平面，且平面，所以平面，又因为平面，且平面，所以平面，又由，且平面，所以平面平面，因为平面，所以平面.(2)解：因为平面平面，平面平面，且，平面，所以平面，同理可证平面，连接，故多面体的体积故多面体的体积为.【例4】如图所示，在以、为顶点的五面体中，平面平面，四边形为平行四边形，且.(1)求证：；(2)若，求此五面体的体积. 【答案】(1)证明见解析(2)【分

14、析】（1）过作交于，根据面面垂直可得平面，根据三角形全等可得，于是，从而平面，于是；（2）取中点，连接，根据即可得出答案(1)证明：过作交于，连接，由平面平面，平面平面，得平面，又平面，由已知得为等腰直角三角形，又，平面，平面，又平面，；(2)解：取中点，连接、，由（1）可知，又，四边形为平行四边形，棱柱为斜棱柱且为此斜棱柱的直截面，在四棱锥中，由（1）知，平面，.【题型四】 体积4：异形体积比【例1】如图所示的五面体中，平面平面，四边形为正方形，.(1)求证：平面；(2)若，求多面体的体积. 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面垂直的判定定理结合面面垂直的性质定理即可证明；（

15、2）把多面体拆成一个三棱锥和一个四棱锥即可求体积.(1)证明：如图，因为，平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以.在中，因为，故，不妨设，所以由余弦定理，得，则，所以，所以，又，所以平面.(2)如图，若，则，由（1）知平面，所以为三棱锥的高，而三棱锥的高为点到平面的距离，因为平面平面，所以点到平面的距离就是点到直线的距离，故.【例2】如图，ABCD为矩形，点A、E、B、F共面，和均为等腰直角三角形，且若平面平面(1)证明:平面平面ADF(2)问在线段EC上是否存在一点G，使得BG平面若存在，求出此时三棱锥与三棱锥的体积之比，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存

16、在，G是线段EC的靠近点C的一个三等分点，.【分析】（1）利用面面垂直、线面垂直的性质证得，再利用线面垂直、面面垂直的判断推理作答.（2）延长EB至H，使，连CH，过B作交CE于G，再利用点G，C到平面的距离关系及底面积关系，结合体积计算作答.(1)矩形中，又平面平面，平面平面，平面，则平面，而平面，因此，因，即，而，平面，则平面，又平面，所以平面平面.(2)因和均为等腰直角三角形，且，则，即有，并且有，延长EB至H，使，连CH，如图，由知，四边形为平行四边形，则有，且，于是得四边形是平行四边形，有，在平面内过点B作交CE于G，因此，而平面，平面，从而得平面，显然，则，即点G是线段CE的靠近点

17、C的一个三等分点，于是得点G到平面的距离h是点C到平面的距离BC的，即，而，即，所以线段EC的靠近点C的一个三等分点G，能使平面，三棱锥与三棱锥的体积之比为.【例3】如图所示，斜三棱柱中，点为上的中点(1)求证：平面(2)设多面体的体积为，三棱柱的体积为，求 【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）连接A1B交AB1于点O，连接OD1，可得OD1BC1，由线面平行的判定定理即可证明BC1平面AB1D1；（2）由， 可得答案(1)证明：连接A1B交AB1于点O，连接OD1，则在平形四边形ABB1A1中，点O为A1B的中点，又点D1为A1C1的中点，所以OD1BC1，又OD1平面AB1D1

18、，B1C平面AB1D1，所以BC1平面AB1D1(2)因为， ，所以所以【例4】如图四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，E是PB的中点，过A，D，E的平面与平面PBC的交线为l(1)证明：平面PAD；(2)求平面截四棱锥P-ABCD所得的上、下两部分几何体的体积之比 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由，得到平面，根据平面与平面的交线为，结合线面平行的性质定理，即可证得平面；（2）设l与PC交于点F，则F为PC的中点，连接DF，DE，DB，EC，设四棱锥P-ABCD的体积为V，得到，进而求得平面截四棱锥P-ABCD所得的下面部分的几何体的体积，求得上、下两部分几何体的体积之比(1)

19、证明：因为，且平面，平面，所以平面，又平面与平面的交线为，且平面，则，又平面，平面，故平面.(2)解：设l与PC交于点F，则F为PC的中点，连接DF，DE，DB，EC，设四棱锥P-ABCD的体积为V，则又由，则，所以平面截四棱锥P-ABCD所得的下面部分的几何体的体积为，所以上面部分几何体的体积为，故平面截四棱锥P-ABCD所得的上、下两部分几何体的体积之比为【题型五】 体积应用1：点到面的距离【例1】在如图所示的长方体中，底面是边长为的正方形，点、分别为、的中点.(1)若，求证：平面；(2)若三棱锥的体积为，求的长. 【答案】(1)证明见解析(2)3【分析】（1）证明，可证得平面，从而可得，

20、再利用勾股定理证得，再根据线面垂直的判定定理即可得证；（2）根据求得的面积，再根据结合已知求得的值，即可得出答案.(1)证明：四边形是正方形，是的中点，平面，平面，又，平面，而，当时，又，平面，平面；(2)解：由（1）可知，平面，.【例2】如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，平面ABCD，点E是棱PC上的一点.(1)证明：平面平面PBC；(2)是否存在一点E，使得平面BDE？若存在，请说明点E的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；(3)若三棱锥的体积是，求点D到平面PAB的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，证明见解析；(3)【分析】（1）由线面垂直性质知；取的中点，由长度

21、和平行关系可证得四边形是平行四边形，进而利用勾股定理证得，由线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论；（2）由三角形相似，则只需即可根据平行线分线段成比例得到，由线面平行的判定知平面，从而确定存在.（3）利用三棱锥的体积公式及等体积法求出点D到平面PAB的距离即可.(1)平面，平面，设，则，取的中点，连结，则，又四边形是平行四边形，则，平面，平面平面，平面平面(2)当点为边上靠近点的三等分点时（即）时，平面理由如下：连结交于点，连结，平面，平面，平面(3)因为，所以, 故,又，解得，因为,所以平面PAD，所以,设点D到平面PAB的距离，由，解得.即点D到平面PAB的距离为.【例3】如图，四棱锥P

22、ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)设AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求A到平面PBC的距离 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)线面平行的证明，面外的直线与面内的直线平行，PB与平面AEC中的OE平行，利用中位线即可.(2)点到面的距离法一是直接法，法二是等体积法.(1)证明：如图，设BD与AC的交点为O，连接EO因为四边形ABCD为矩形，所以点O为BD的中点又点E为PD的中点，所以EOPB因为EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC(2)作AHPB于点H PA平面ABCD, 又ABCD为矩形，, AP1，

23、AD, 由，可得AB 由题设知BC平面PAB，所以BCAH，故AH平面PBC，即AH的长就是点A到平面PBC的距离因为 ，所以 .【题型六】 体积应用2：最值（难点）【例1】如图，等腰梯形ABCD中，ADDCBC2，AB4，E为AB的中点，将ADE沿DE折起、得到四锥PDEBC，F为PC的中点，M为EB的中点(1)证明：FM平面PDE；(2)证明：DEPC；(3)当四棱锥PDEBC的体积最大时，求三棱锥EDCF的体积 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）连接并延长与延长线交于，在中，根据线面平行的判定即可证结论.（2）为中点，连接，易得为平行四边形、为等边三角形且

24、，进而可得、，再根据线面垂直的判定、性质证明结论.（3）首先确定四棱锥PDEBC的体积最大时面面，再确定PDEBC的体高，并求得到面的距离，由及棱锥的体积公式求体积.(1)连接并延长与延长线交于，则在面内，M为EB的中点，则为中点，在中，又面，面，所以FM平面PDE.(2)若为中点，连接，由题设且，即为平行四边形，则，所以为等边三角形，故，又ABCD为等腰梯形，则所以，又，易知：，又，则面，面，故.(3)当四棱锥PDEBC的体积最大时，面面，则的高即为四棱锥PDEBC的体高，又F为PC的中点，所以到面的距离，由（2）易知为边长为2的菱形，又，所以.【例2】已知：直四棱柱所有棱长均为2，.在该棱

25、柱内放置一个球，设球的体积为，直四棱柱去掉球剩余部分的体积为.(1)求三棱锥的的表面积；(2)求的最大值.（只要求写出必要的计算过程，不要求证明） 【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出三棱锥的的各个面的面积即得解；（2）设直四棱柱的体积为，当球半径R最大时，最大时，取到最大值，求出最大值即得解.(1)解：因为直四棱柱，所以 ，为三棱锥的的高， 由，所有棱长为2，为等边三角形，所以，中，中，过作于，.(2)解：设直四棱柱的体积为，所以,所以当最大时，取到最大值，即求棱柱内放置一个球体积最大，即球半径R最大，若球与棱柱侧面相切，则半径R即为菱形的内切圆半径，连接与交于点，中，若球与棱柱上、下

26、底面相切，则半径为，所以球半径最大为，此时球体积最大，.，此时.【例3】如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，EF是圆柱上异于AD，BC的母线，P，Q分别为线段BF，ED上的点(1)若P，Q分别为BF，ED的中点，证明：平面CDF；(2)若，求图中所示多面体FDQPC的体积V的最大值 【答案】(1)证明见解析(2)最大值【分析】（1）连接，根据圆柱的性质可得四边形为平行四边形，即可得到为的中点，从而得到，即可得证；（2）设，即可得到，再根据比例关系，表示出，表示出三棱锥与三棱锥的高，根据锥体的体积公式得到，令，则，再令，根据函数的性质求出最大值；(1)证明：如图连接，根据圆柱的性质可得且，所以四

27、边形为平行四边形，因为为的中点，所以为的中点，又为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，(2)解：中，设，则，所以，所以，设三棱锥高为，设三棱锥高为，由比例关系，可知，所以，设，令，当且仅当时取等号，则又关于在上单调递减，当，即，即时，取到最大值【例4】如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线. (1)证明：平面DEF；(2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明，再证明，根据线面垂直的判定定理可证明结论；（2）先推出三棱锥的体积最大时，点E，F分别是，的中点，由此再求二面角的余弦值；法一：通过证线面垂直可说明是二面角的平面角，解直角

28、即可求得答案；法二：建立空间直角坐标系，求出相关各点的坐标，再求出平面DEF和平面BDF的法向量，根据向量的夹角公式求得答案.(1)证明：如右图，连接AE，由题意知AB为的直径，所以.因为AD，EF是圆柱的母线，所以且,所以四边形AEFD是平行四边形.所以 ,所以.因为EF是圆柱的母线，所以平面ABE,又因为平面ABE，所以.又因为，DF，平面DEF，所以平面DEF.(2)由（1）知BE是三棱锥底面DEF上的高，由（1）知，所以，即底面三角形DEF是直角三角形.设，则,所以，当且仅当时等号成立，即点E，F分别是，的中点时，三棱锥的体积最大,下面求二面角的余弦值：法一：由（1）得平面DEF，因为

29、平面DEF，所以.又因为，所以平面BEF.因为平面BEF，所以,所以是二面角的平面角,由（1）知为直角三角形，则.故,所以二面角的余弦值为.【题型七】 体积应用3：翻折型【例1】如图1，有一个边长为4的正六边形，将四边形沿着翻折到四边形的位置，连接，形成的多面体如图2所示(1)证明：(2)若，M是线段上的一个动点（M与C，G不重合），试问四棱锥与的体积之和是否为定值？若是，求出这个定值若不是，请说明理由， 【答案】(1)证明见解析；(2)是定值，定值为24【分析】（1）作，垂足为，连接，证明平面可得结论成立；（2）类似点的形成得出点，平面与与平面和平面都垂直，过作交线的垂线，得其为平面的垂线，

30、在中证明为定值，然后由棱锥体积公式计算可得(1)作，垂足为，连接，因为，所以，所以，即，平面，所以平面，又平面，所以；(2)实际上是由原正六边形中对角线折叠过来的，同理原正六边形中对角线折叠之后形成，如图，同理有平面，又在平面和平面上，所以平面与平面和平面都垂直，平面与平面和平面的交线分别是，因此在平面内过作，作，分别是垂足，则平面，平面，因为正六边形的边长为4，所以，又，所以，所以，即是等腰直角三角形，则，都是等腰直角三角形，是矩形，所以， 【例2】如图所示，边长为2的正方形中，点E是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使两点重合于点.(1)求证:；(2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见

31、解析(2)【分析】（1）由已知可得，从而有平面，进而可得结论；（2）由勾股定理可得，从而易得的面积，又由（1）知平面，从而根据即可求解(1)证明：由正方形知，、平面，平面，又平面，(2)解：，可得，的面积为，又由（1）平面，是三棱锥的底面上的高线，所以三棱锥的体积为：.【例3】如图1，在等腰梯形中，将与分别沿，折起，使得点、重合（记为点），形成图2，且是等腰直角三角形(1)证明：平面平面；(2)求二面角的正弦值；(3)若，求四棱锥的体积 【答案】(1)证明见解析；(2)(3)【分析】(1)先证平面,即可证明面面垂直.(2)证明即为二面角的平面角，解三角形即可求解.(3)由(2)得出底面积和高，

32、即可求解.(1)解：由题意得：又,故平面；又平面,故平面平面；(2)如图，连接,分别为的中点，由（1）知,故,又,所以，故即为二面角的平面角，由(1)知, 平面,又平面,故平面平面,又平面平面,所以平面,设，则,故二面角的正弦值为：.(3)由(2)得, 平面,又，所以,故四棱锥的体积为.【例4】如图，在直角梯形ABCD中，点E是BC的中点将沿BD折起，使，连接AE、AC、DE，得到三棱锥(1)求证：平面平面BCD；(2)若，二面角的大小为60，求三棱锥的体积 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明平面，得到，再证明平面，得到证明.（2）分别为的中点，证明为二面角的平面角，设，根据等面

33、积法得到，计算体积得到答案.(1)，故平面，平面，故，故平面，平面BCD，故平面平面BCD.(2)如图所示：分别为的中点，连接，分别为中点，故，平面，故平面，平面，故.分别为中点，故，故，故平面，故为二面角的平面角，即，设，则，根据的等面积法：，解得.【题型八】 体积综合型【例1】求一个棱长为的正四面体的体积，常有如下解法：构造一个棱长为1的正方体，我们称之为该四面体的“生成正方体”（如图一），则四面体是棱长为的正四面体，四面体的体积(1)求四面体的体积；(2)模仿（1），对一个已知四面体，构造它的“生成平行六面体”，记两者的体积依次为和，试给出这两个体积之间的一个关系式，不必证明；(3)一个

34、相对棱长都相等的四面体，通常称之为等腰四面体（如图二），其三组对棱长分别为，求此四面体的体积 【答案】(1)(2)(3)2【分析】（1）根据棱锥的体积公式计算可得结果；（2）根据计算可得结果；（3）构造该四面体的“生成长方体”可求出结果.(1)）(2)设生成平行六面体的底面积为，高为，则其体积为，则则，即.(3)如图，构造该四面体的“生成长方体”，设棱长分别为，则有，解得：则有【例2】如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，若点E为线段PD上靠近点P的三等分点，且(1)求证：；(2)若线段AB上存在一点F，使得EF平行于平面PBC，求三棱锥的体积 【答案】(1)证明见解析；(

35、2)【分析】（1）根据面面垂直性质可证平面PAD，从而证得；（2）如图分别取AB、CD的三等分点F、G，即可证明平面平面PBC，结合锥体的体积公式进而求解三棱锥的体积(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，则，因为侧面底面ABCD，平面平面，平面ABCD，所以平面PAD，又平面PAD，所以(2)如图分别取AB、CD的三等分点F、G，结合题意可得：，又因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，同理平面PBC因为平面EFG，平面EFG，平面，所以平面平面PBC，又因为平面EFG所以平面PBC，此时F为AB靠近点B的三等分点.所以【例3】如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，平面底面ABCD

36、，M是棱PC上的点.(1)证明：底面；(2)若三棱锥的体积是四棱锥体积的，设，试确定的值. 【答案】(1)详见解析；(2).【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，可得平面，然后利用线面垂直的判定定理即证；（2）由题可得，进而可得，即得.(1)，平面底面ABCD，平面底面ABCD=AD，底面ABCD，平面，平面，PD，又，底面；(2)设，M到底面ABCD的距离为，三棱锥的体积是四棱锥体积的，又，故，又，所以.【例4】已知三棱柱，底面，D为线段的中点. (1)证明：平面；(2)平面把三棱柱分成了两部分，求三棱锥和剩下部分几何体的体积比. 【答案】(1)证明过程见解析；(2).【分析】（1）利用线面

37、平行的判定定理即可证明；（2）利用锥体和柱体的体积公式分别求出三棱锥和三棱柱的体积，进而求出体积比.(1)证明：连接交于E，连接，如图所示由题知，三棱柱侧面为平行四边形则，又D为中点在中，又平面，且平面平面.(2)解：由题意，设因为底面，D为线段的中点.所以所以三棱锥和剩下部分几何体的体积比为：即体积比为.1.如图，在长方体中，点E，F分别是棱AB，BC的中点(1)求三棱锥的体积；(2)点E，F，确定的平面为，试作出平面截长方体的截面图，并计算该截面的面积（不必写出画法和理由） 【答案】(1)(2)作图见解析，【分析】（1）由直接求解，（2）延长DC交EF于点，延长DA交EF于点，交与点M，交

38、于点N，则五边形为求的截面，(1)，三棱锥是体积为(2)延长DC交EF于点，延长DA交EF于点，交与点M，交于点N，平面截正方体的截面图为五边形（如图所示）由相似三角形的知识可知，同理，易求得，该截面的面积为2.如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明：MN平面PAB；(2)求四面体NBCM的体积 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）过MN构造平面平行于平面PAB即可；（2）根据题中条件，求出底面积及高即可求出体积.(1)取BC中点E，连接EN，EM，N为PC的中点，NE是PBC的中位线N

39、EPB，又ADBC，BEAD，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，BEBCAM2，四边形ABEM是平行四边形，EMAB，平面NEM平面PAB，MN平面NEM，MN平面PAB(2)取AC中点F，连接NF，NF是PAC的中位线，NFPA，NF2，又PA面ABCD，NF面ABCD，如图，延长BC至G，使得CGAM，连接MG，AMCG且，四边形ACGM是平行四边形，ACMG3，又ME3，ECCG2，MEG的高h，SBCM2，四面体NBCM的体积VNBCM3.已知在四棱锥中，为的中点，若正视图方向与向量的方向相同时，四棱锥的正视图为三角形(1)证明：平面；(2)若三角形为直角三角

40、形，求三棱锥的体积 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由已知可得出平面，利用线面垂直的定义可得出，利用等腰三角形三线合一的性质可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）推导出平面，分析可知，结合锥体的体积公式可求得结果.(1)证明：因为正视图方向与向量的方向相同时，四棱锥的正视图为三角形，则平面，平面，因为，为的中点，所以，平面.(2)解：因为且三角形为直角三角形，则，又因为，平面，因为，所以，因为为的中点，则.4.如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2.ABCDBC120，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点.(1)求证：EF平面BCG；(2)求三棱锥

41、DBCG的体积. 【答案】(1)证明见解析(2).【分析】（1）根据已知条件可得ACDC，利用等腰三角形的性质可得AD平面BGC，又EFAD，即可证明EF平面BCG.（2）以BCD为底，过A点做底面BCD的垂线为高，利用锥体的体积公式即可求解.(1)（1）证明：ABBCBD2，ABCDBC120，ABCDBC，ACDC.G为AD的中点，CGAD.同理BGAD，CGBGG，CG，BG平面BGC，AD平面BGC.又E，F分别是AC，CD的中点，EFAD，EF平面BCG.(2)解：在平面ABC内，作AOCB，交CB的延长线于O，ABC和BCD所在平面互相垂直，平面平面BCDBC，且平面ABC，AO平

42、面BCD.G为AD的中点，G到平面BCD的距离h是AO长度的一半.在AOB中，.在BCD中，故.5.在正三棱锥中，O，E，F分别是线段AC，AD，BD的中点，G是OC的中点，且.(1)在BC上是否存在一点H？使得平面平面BOE；(2)若点M是FG的靠近点F的三等分点，求三棱锥的体积. 【答案】(1)存在为中点，使面面BOE；(2).【分析】（1）为中点，连接，由中位线性质及线面、面面平行的判定证得面面BOE，即可判断存在性.（2）由（1）易得面BOE，根据已知中点有，应用锥体的体积公式求体积即可.(1)若为中点，连接，又O，E，F，G分别是AC，AD，BD，OC的中点，则，故，且，而面，面，则

43、面，又面，面，则面，由，则面面BOE，所以，存在为中点，使面面BOE；(2)由（1）知：面面BOE，而面，则面BOE，所以，在正三棱锥中，即，所以，则面，面，所以面面，故三棱锥的体高即为底边上的高，而，又底面ABC为等边三角形，则在底面的投影为底面中心在OB上且到各顶点距离，即外接圆半径，所以，又，所以.6.如图所示，在三棱锥中，平面，平面平面(1)求证：；(2)若分别为的中点，求三棱锥的体积 【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）过 作 的垂线交 与 点，然后证明 ，从而得到 （2） ,计算三棱锥 的体积即可得出答案(1)如图所示，过 作 的垂线交 与 点， 平面平面, 且 , ,且 ,(

44、2)由（1）知， ,且 分别为的中点7.如图，已知圆锥的顶点为P，O是底面圆心，AB是底面圆的直径(1)若，求圆锥侧面积与底面积的比和圆锥侧面展开图扇形圆心角的弧度数；(2)经过圆锥的高PO的中点作平行于圆锥底面的截面，记圆台的体积为，以PO为直径的球的体积为，且，求APB的余弦值 【答案】(1)圆锥侧面积与底面积的比为3，圆心角的弧度为；(2).【分析】（1）若圆锥侧面积、底面积分别为，结合圆锥的表面积公式可得，根据圆锥侧面展开扇形弧长与底面周长关系求圆心角的弧度数.（2）利用圆台、球的体积公式求得底面半径与圆锥体高的数量关系，进而应用余弦定理求APB的余弦值(1)若圆锥侧面积、底面积分别为

45、，则，设展开图扇形的圆心角为，由圆锥的侧面展扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，所以，故.(2)设截面圆半径为r，下底面圆的半径为2r，圆台的高为h，所以，又，可得，即，在中，余弦定理得.8.已知在正方体中，截下一个四棱锥E-ABCD，E为棱中点.(1)求四棱锥E-ABCD的表面积；(2)求四棱锥E-ABCD的体积与剩余部分的体积之比；(3)若点F是AB上的中点，求三棱锥C-DEF的体积. 【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）求出正方形ABCD和四个直角三角形的面积，相加即为结果；（2）求出四棱锥E-ABCD的体积，正方体的体积，得到两者的比值，从而求出求四棱锥E-ABCD的体积与剩余部分的体积之比；（3）等体积法求解三棱锥C-DEF的体积.(1)四棱锥的表面由正方形ABCD和四个直角三角形所围成，ABE与ADE全等，BCE与DCE全等，因为，所以(2)因为EC为四棱柱E-ABCD的高，且EC=1所以又正方体体积，设剩余部分的体积为，所以(3)，其中平面ABCD，故9.如图所示，矩形中，.、分别在线段和上，将矩形沿折起.记折起后的矩形为，且平面平面.(1)求证：平面；(2)若，求证：；(3)求四面体体积的最大值 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)2【分析