经济应用数学基础微积分第九章

1、经济应用数学基础微积分第九章课件第1页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二9.1 微分方程的一般概念第2页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二解1、问题的提出第3页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二解第4页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二代数方程特点：未知变量是数方程：含有未知量(数)的等式。第5页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二函数方程（泛函方程）特点：未知变量是函数第6页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二1. 微分方程的定义定义：包含自变量，未知函数以及未知函

2、数的某些阶导数的关系式，称之为微分方程 。 第7页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二常微分方程：自变量的个数只有一个的微分方程称为常微分方程。 偏微分方程：自变量的个数有两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程。第8页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二未知函数的导数的最高阶数n称为该方程的阶。 当n=1时，称为一阶微分方程； 当n1时，称为高阶微分方程。2. 微分方程的阶第9页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二3. 微分方程的解常微分方程的解的表达式中，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，我们称这样的解为该微分

3、方程的通解。在通解中给予任意常数以确定的值而得到的解，称为特解。第10页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二为了得到合乎要求的特解，需要对微分方程附加一定的条件，它由系统在某一时刻的初始状态给定。称这种条件为初始条件。初始条件第11页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二常微分方程；微分方程的阶；微分方程的解；通解;初始条件；特解；小结偏微分方程；第12页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二9.2 一阶微分方程一阶微分方程的一般形式是一阶微分方程的初始条件：记作或当时，第13页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二解法

4、为微分方程的解.分离变量法一、可分离变量的一阶微分方程形如的方程，称为变量分离方程.第14页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二说明：以后可以不需要详细写出处理绝对值符号的过程。第15页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二例2 求解微分方程解分离变量两端积分第16页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二例3 练习：课本P410,2(1,2,3)第17页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二二、齐次微分方程的微分方程称为齐次方程.2.解法可分离变量的方程1.定义第18页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星

5、期二第19页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二例 2 求解微分方程微分方程的解为解第20页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二例 3 求解微分方程解第21页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二微分方程的解为练习：课本p410, 3(3,4)第22页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二第23页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.例如线性的;非线性的.三、一阶线性微分方程第24页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期

6、二齐次方程的通解为1. 线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)第25页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二2. 线性非齐次方程第26页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二第27页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二解例3练习：课本P410 3(1，2)第28页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二小结：一阶微分方程的求解一、变量分离方程；二、齐次方程（作变换y=ux）；三、线性方程（常数变异法）第29页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二9.3 几种二阶微分方程二阶微分方程的一般形式

7、为第30页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二形 如 的微分方程是最简单的二阶微分方程。一、最简单的二阶微分方程特点：右端是 的一元函数。解法：连续求 两 次积分。例 解微分方程第31页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二特点：右端不显含解法第32页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二满足初始条件的特解。方程并分离变量后，有两端积分，得例1 求微分方程第33页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二即所以两端积分，得于是所求的特解为第34页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二特点：右端不显含解法第3

8、5页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二解代入原方程得 原方程通解为例 2第36页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二第37页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二第38页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二二阶常系数齐次线性方程的一般形式二阶常系数非齐次线性方程的一般形式9.4 二阶常系数线性微分方程（补充内容）第39页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二二、线性微分方程的解的结构1.二阶常系数线性齐次方程解的结构:问题:其中 、 为常数第40页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，

9、星期二证明：由前面定理知 是（1）的解 在 不等于常数的条件下，可以证明 中含有两个任意常数，所以 是（1）的解。若 ，则 ，于是其中 ，因而 中只有一个常数，所以不是（1）的通解。满足 不等于常数这一条件的两个解称为线性无关的。 第41页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二因此， 是（1）的解的充分必要条件是：常数 为分析:若能够找到一个函数 ,使得 ,且 , 则什么样的函数具有这样的特点呢?我们很自然想到指数函数 为常数,将它代入上式得则有 , 称为（1）的特征方程。特征方程的根。第42页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二-特征方程法将其代入上方程

10、, 得故有特征方程特征根第43页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特征根为第44页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为第45页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二有一对共轭复根重新组合得齐次方程的通解为特征根为第46页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.解特征方程为解得故所求通解为例1第47页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，

11、星期二解特征方程为解得故所求通解为例2第48页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解. (见下表)第49页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二第50页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二2.二阶非齐次线性方程的解的结构:第51页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二设对应齐次方程通解为(3)设非齐次方程通解为设(4)三、常数（或参数）变易法第52页，共59页，2022年，5月20日，18点2

12、2分，星期二(5)(4),(5)联立方程组第53页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二积分可得非齐次方程通解为第54页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二例 求非齐次方程 的通解。第55页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二9.5差分方程的一般概念定义9.3 设函数 ，记为 。当 取非负整数时函数值可以排成一个数列：则差 称为函数 的差分，也称为一阶差分，记为即 。记为 ，即称为函数 的二阶差分。第56页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二同样可定义三阶差分，四阶差分，二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分。由定义可知差分具有以下性质：（1） （C为常数）（2）例1 求第57页，共59页，2022年，5月20日，18点22分，星期二（二）差分方程的一般概念定义.含有未知函数差分或表示未知函数几个时期值的符号的方程称为差分方程。形如的方程都是差分