高职专升本第二章导数其应用习题

1、(圆满版)高职专升本第二章导数及其应用习题及答案(圆满版)高职专升本第二章导数及其应用习题及答案13/13(圆满版)高职专升本第二章导数及其应用习题及答案应用数学习题集第二章导数及其应用一.选择题1若f(x)在x0处可导，则以下结论错误的选项是（D）。Af(x)在x0处有极限；Bf(x)在x0处连续；Cf(x)在x0处可微；Df(x)limf(x)必成立。xx2若f(x)在x0处可导，则（B）是错误的。(02-03电大试题)A函数f(x)在点x0处有定义；Blimf(x)A，但Af(x0)；xx0C函数f(x)在x0处连续；D函数f(x)在x0处可微。3f(x)在x0处不连续，则f(x)在x0

2、处（A）A必不可以导；B有时可导；C必无定义；D必无极限。4函数f(x)=|2x|在x=0处的导数（D）。A等于0；B等于2；C等于-2；D不存在。5函数f(x)=|sinx|在点x=0处的导数（D）。A等于-1；B等于0；C等于1；D不存在。6yln|x|，则y=（B）。A1；B1；C1；D1。|x|xx|x|7曲线y=sinx在点(0,0)处的切线方程是（C）。Ay=2xBy1xCy=xDy=-x28f(x)xcosx，则f(x)=（D）。(02-03电大试题)Acosx+xsinxBcosx-xsinxC2sinx+xcosxD-2sinx-xcosx9函数中在1，e上满足Lagrang

3、e定理条件的函数是（B）。Ay=ln(lnx)；By=lnx；Cy=1；Dy=ln(2-x)。lnx10若f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，Lagrange定理的结论是最少存在一点，使（A）。1Af()f(b)f(a)；Bf()；baf(b)f(a)。Cf(b)f(a)f()(ba)；Df()11f(x0)0，则x0是函数f(x)的（D）。(02-03电大试题)A.极大值点；B.最大值点；C.极小值点；D.驻点。12x0是连续函数f(x)在(a,b)内的极小值点，则（C）。A必有f(x0)0；Bf(x0)必不存在；Cf(x0)0或f(x0)不存在；Dx(a,b)时，必有f(x)f(x

4、0)。13y=arctanex，则dy=（C）。Aex；B1；Cexdx；Ddx。1e2x1e2x1e2x1e2x14设f(x)xcosx2，则f(x)=（C）。A1-sinx2；B1+sinx2；C1-sinx22x；D(1-sinx2)2x。15设f(t)t，则f(t)=（B）。t21A1；Bt21；C3t21；Dt21。2t(t21)2(t21)2t2116limaxxa(a0)的值是（D）。xaxaA0；B1；C；Daa(lna1)。17若x1与x2分别是函数f(x)在(a,b)内的一个极大点和一个极小点，则（D）必成立。Af(x1)f(x2)；Bf(x1)f(x2)0；C对x(a,b

5、)，fxf(x1)，f(x)f(x2)；Df(x1)、f(x2)可能为0，也可能不存在。()18若limf(x)f(x0)1，则f(x0)必然是f(x)的（D）。(xx0)2xx0A最大值；B极小值；C最小值；D极大值。二.填空题：1已知f(x)=lnx，则lim0ln(xx)lnx=1。xxx22若函数yln3，则y=0。3曲线y=x3+4在点(0,4)处的切线平行于x轴。4抛物线y=x2在点(1/2,1/4)处的切线的倾斜角是45。5已知f(x)=xsinx，则f()=2。6方程exyxy所确定的隐函数的导数dy=y。dxx7若函数f(x)在x=0处可微，则limf(x)=f(0)。x08

6、dln(sinx)=cotxdx。9dln(cosx)=tanxdx。10d(sinex)excosexdx。11半径为x的金属圆片，面积为S(x)。加热后半径伸长了x，应用微分方法求出SS(x)x。12limlnx0。exx13函数y=arctan(x2+1)的递加区间是(0,)。14函数y=ln(2x4+8)的递减区间是(,0)。15函数y=sinx-x在其定义域内的单调性是单调减少。16极值存在的必要条件：若是f(x)在点x0处获取极值且在点x0处可导，则f(x)0。17若函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内f(x)0，则函数的最小值为f(b)。18设函数yf(x)二阶可导，若f(

7、x0)0、f(x0)0，则f(x0)是f(x)的极大值。19已知生产某种产品的成本函数为C(q)802q，则产量q50时，该产品的平均成本为3.6。20微分近似计算函数值公式f(xx)f(x)f(x)x。三、解答题：1求函数y11的导数。x1x1解：由于y1x12，所以11x1x3y2(1)2。(1x)2(1x)22求函数ylnx的导数。sinx(lnx)sinxlnx(sinx)1sinxlnxcosxxlnxcosx解：yxsinxsin2xsin2x。xsin2x3求函数yxexcosx的导数。解：yexcosxxexcosxxexsinxex(cosxxcosxxsinx)。求方程解：

8、曲线x2在点(3,9)处的切线方程。yx2在点(3,9)处的切线的斜率为yx2在点(3,9)处的导数由于y|x32x|x36，所以切线的方程为y96(x3)即6xy905求函数ysin2xcos2x的导数。解：y2sinx(sinx)cos2xsin2x(sin2x)22sinxcosxcos2x2sin2xsin2x2sinx(cosxcos2xsinxsinx2x)2sinxcos3x。6求函数ylntanx的导数。12x111解：ysec2x。x22xsinxtan2sincos2227求函数y1的导数。cosnxnsinx解：y(cosnx)ncosn1x(cosx)。cosn1x8利

9、用对数求导法求函数y(cosx)sinx的导数。解：两边取自然对数，得lnysinxlncosx两边对x求导，得4ycosxlncosxsinxysinxcosxyy(cosxlncosxsinxtanx)(cosx)sinx(cosxlncosxsinxtanx)。9利用对数求导法求函数y(sinx)lnx的导数。解：两边取自然对数，得lnylnxlnsinx两边对x求导，得y1lnsinxlnxcosxyxsinxyy1lnsinxlnxcotx(sinx)lnx1lnsinxlnxcotxxx10求方程xyyx所确定的隐函数的导数dy。dx解：两边取自然对数，得ylnxxlny两边对x求

10、导，得ylnxy1lnyxyxy整理，得dyy(xlnyy)dxx(ylnx。x)11求方程arctanylnx2y2所确定的隐函数的导数dy。xdx解：两边对x求导，得1yxy12x2yy1y2x2x2y22x2y2x整理，得dyxydxx。y12求方程xeyyex所确定的隐函数的导数dy。解：两边对x求导，得dxeyxeyyyexyex5整理，得己知函数dyeyyexdxexxeyyxex，求y(n)。解：由于yexxexex(x1)，yex(x1)exex(x2)，yex(x2)exex(x3)，所以，y(n)ex(x)n14已知y(n2)x，求y(n)。lnxlnxx1解：y(n1)x

11、lnx1，ln2xln2x1ln2x(lnx1)2lnx12lnxy(n)xxln4x。xln3x15求函数yarcsinx的微分。解：dyd(arcsinx)1d(x)dx12。xx(1x)16求函数yecotx的微分。解：dyd(ecotx)ecotxd(cotx)ecotxcsc2xdx。17半径为10cm的金属圆片，加热后半径伸长了0.05cm，求所增加面积的精确值与近似值。解：S(rr)2r22rr(r)2，dSd(r2)2rdr。当r10，drr0.05时，S1.0025，dS。即增加面积的精确值为1.0025，近似值为。18判断函数f(x)lnx在区间1,e上可否满足Lagran

12、ge定理？若是满足就求出定理中的。解：由于f(x)lnx是初等函数，f(x)在其定义域(0,)内连续可导，所以f(x)在区间1,e上连续，在区间(1,e)内可导，满足Lagrange定理条件。所以在区间(1,e)内最少存在一点，使得f()1lneln11e1e16即e1。19利用LHospital法规求极限limxlnx。xlnxxlnx11解：lim型limxxxlnxx1lnxxxx1型lim1。lim0 xxlnxxxlnx220利用LHospital法规求极限limlntan5x。x0lntan8x解：limlntan5x型0lntan8x1sec25x55limsin16x516li

13、mtan5x1x0128x0sin10 x810tan8xsec8x821利用LHospital法规求极限limxx。x0解：limxxlimxlnxlimexlnxex0，x0 x0lnx1由于limxlnxlim型limxlimx0，1x0 x0 x01x0 xx2所以limxxe01。x022求函数yexx1的单调区间。解：令yex10，解得驻点x0，x0把定义域(,)分成(,0)和(0,)两个子区间。列表x(,0)0(0,)x-0+f(x)-0+f(x)由表可知：函数f(x)在(,0)内递减，在(0,)内递加。23求函数yx2lnx的极值点和极值。711解：令y2xlnxx2x(2ln

14、x1)0，解得x0或xe2。由于x0不在函数的定义域x111(0,)内，舍去；xe2把(0,)分成0,e2和e2,两个子区间。列表111x0,e2e2,e22lnx1-0+f(x)-0+极小值f(x)12e11由表可知：当xe2时，函数有极小值1。yxe22e24求函数y2x2x4的极值点和极值。解：令4x4x34x(1x2)4x(1)(1x)0，解得x0和x1。驻点x0和x1yx把函数的定义域(,)分成(,1)，(1,0)，(0,1)和(1,)四个子区间。列表x(,1)1(1,0)0(0,1)1(1,)1xx-0+0+-+1x+0-f(x)+0-0+0-f(x)极大值极小值极大值101由表可

15、知：当x0时，函数有极小值y0；当x1时，函数有极大值y1。25求函数f(x)xln(1x)的单调区间与极值解：Qf(x)xln(1x)x(1,)f(x)11由f(x)=0，知x=01xx(1,0)0(0,)y08y0Zf(x)的单调下降区间为（-1，0），上升区间为(0,)f(x)的极小值f(0)026若f(x)是可导的奇函数，试证f(x)是偶函数。证：因f(x)是可导的奇函数，知f(x)f(x)，求导，有f(x)f(x)，所以f(x)f(x)，即f(x)是偶函数。H27考据Lagrange中值定理对函数yax2bxc(a0)所求得的点恒在正中间。解：函数yax2bxc(a0)在任意一个区间

16、m,n上连续，在(m,n)内可导，所以在(m,n)内最少存在一点使f(n)f(m)f()mn由已知条件：f(n)f(m)(an2bnc)(am2(nm)a(nm)bf(n)f(m)a(nm)bnmf()2ab于是2aba(mn)b即mn2求曲线y6x24x2x4的凹凸区间和拐点解：y6x24x2x4xRy648x4x3y4812x212(x24)由y0知x2x,222,22y0-0y9268bmc)2,+9所以曲线fx的凹区间,22,所以曲线fx的凸区间2,2拐点2,292,6829.求曲线yxex的凹凸区间和拐点解：yexxexyexe所以yexx2由于y0 x,22y-0y2exex22,

17、2所以曲线fx的凹区间2,所以曲线fx的凸区间,2拐点2,2e230.求曲线yx44x32x5的凹凸区间和拐点解：y4x312x212y12x224x由y12xx20知：x10 x22x,000,222,y+0-0+y517所以曲线fx的凹区间,02,所以曲线fx的凸区间0,2拐点0,52,1731.求函数y1x35x24x在区间-1，2上的最值。32解yx25x4(x1)(x4)令y0，求得区间-1，2上的驻点x1。10由于f(1)41,f(1)11,f(2)2，所以函数的最大值为f(1)11，最小值为41。6636f(1)632.设有一根长为L的铁丝，现将其分为两段，分别构造成圆形和正方形

18、。若记圆形的面积为S1,正方形的面积为S2，求证：当S1+S2最小时，S1。S24证：设圆的半径为x，正方形的边长为y。由已知2x4yL所以yLx。所以42L22L2f(x)S1S2x2y2x2xx2Lx，(0 xL)4244162f(x)2xL44令f(x)0得唯一驻点xL82L2这时，S1x282。y22S2LL4428233.某窗户的形状为半圆置于矩形之上，若此窗框的周长为必然值L，试确定半圆的半径r和矩形的高h，试所能经过的光辉是充分的。解：设半圆的半径为r，矩形的高为h，则由题意，得Lr2r2hhLr2r2s1r22hr1r2(Lr2r)rLr1r22r2222令sLr4r0得rL434要做一个上下均有底的圆柱形容器，容积是常量V。问底半径r为多大时，容器的表面积最小？并求出此最小面积。解：设半圆的半径为r，矩形的高为h，则由题意得：Vr2hhVr211S2rh2r22rV2r22V2r22Vr2r令S4r0,得r2r3V2(3V2此时S有最小值，即S2V2)26(V)33V222将一根定长为L的铁丝