积分因子的求法及简单应用

1、积分因子的求法及简单应用恰当微分方程的概念及判定 1.1恰当微分方程的概念我们可以将一阶方程半=/(x, y) dx写成微分形式f (x, y )dx - dy = 0或把x,y平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程M (x, y )dx + N (x, y )dy = 0这里假设M(x,y)，N(x,y)在某矩形域内是x，y的连续函数，且具有连续的一阶偏导数，如果方程的左端恰好是某个二元函数u(x,y)的全微分.即M (x, y)dx + N(x, y)dy = du (x, y)=dx + 四dy dxdy则称方程为恰当微分方程.皿1.2恰当微分方程的判定定理1假设函数M(x,y)和

2、N(x,y)在某矩形域内是x，y的连续函数且具有 连续的一阶偏导数，则方程是恰当微分方程的充分必要条件是在此区域内恒有 dM _ dN dydx利用定理1我们就可以判定出一个微分方程是否是恰当微分方程.积分因子dMdN丰如果对于方程在某矩形域内dydx，此时方程就称为非恰当微分方程。对于非恰当微分方程，如果存在某个连续可微的函数U（x, y）手0,使得G, y）M G, y）dx + u（x,y）NG, y）dy = 0为恰当微分方程，则称口仅y）为方程（1） 的1个积分因子.注 可以证明，只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的.定理2函数u（X, y）是方程的积分因子的充要条件

3、是dudu （dM 6N、N-M=一udxdydx）积分因子求法举例3.1观察法对于一些简单的微分方程，用观察法就可以得出积分因子 如：1（1） ydx + xdy = 0有积分因子呵1 1 y办_*fy = 0有积分因子)2, xy ,尤2 + )2 , X2-J2例1找出微分方程（i+Gg+（ify）g=的一个积分因子.解将原方程各项重新组合可以写成(ydx + xdy) + xy (ydx - xdy) = 01 由于是心+妙的积分因子，也是火-对的积分因子，从而原1方程有积分因子世.观察法只运用于求解简单的微分方程的积分因子，有的可以直接看出， 有的需要先将原方程重新组合，再运用观察法

4、得出.3. 2公式法引理1微分方程存在形如：（*）, &）,“3）,kx 的积分因子的充要条件有:方程存在仅与x有关的积分因子的充要条件:中（x）=1塑竺）/ 、NI世办L中（x）是仅与X有关的函数;方程存在仅与y有关的积分因子的充要条件:中(y中(y )=dM _ dNk dy dx中（y）是仅与y有关的函数;方程有形如U（X y）的积分因子的充要条件:W(x + yW(x + y )=dM dNdy dxN M中（X+ y）是仅与x+y有关的函数,W(x y )=dM dNdydxN + Mw（x y）是仅与x-y有关的函数;方程有形如U（xy）的积分因子的充要条件:dM dM dN w(

5、xy )=y空Ny Mx5（xy）是仅与xy有关的函数;方程有形如（x2 土 y2 ）的积分因子的充要条件:dM _ dNT2+y2)=2Nx-2My，t(x2+y2)是仅与x2+y2有关的函数，dM dN/、W 2 y2 = 2Nx+2My，(x2 - y2)是仅与 x2 - y2有关的函数;方程有形如（y方程有形如（y k x J的积分因子的充要条件:dM dNdy dxTTlTak17是仅与x有关的函数。Ny + M x 2xk17是仅与x有关的函数。若方程中的M(x,y), N(x,y)以及世，办的关系满足以上6个充要条件之一时，则方程的积分因子 u(x,y)都可由一阶线性齐次微分方程

6、d lnd ln(x，y)=W(z)d求得(其中中G)是z的函数).z可以取xy，x 土 y，xy，x2 y2，x，由此可得(z)二z)dz.我们将上述引理归结为求积分因子的公式法.例2求解微分方程J y 3 + yJ y i = 0的积分因子.dM _dN = 2解由于 dy 云N(x, y)y M (x, y)x = 2xydM dN dy dx_ 1观察可得：NG, y ) y _ M (x, y )广态是关于xy的函数u (x, y )=/ #(xy )= 故原方程有积分因子：.分组求积分因子法定理3若u为方程的一个积分因子，且uMdx + uNdy = dv，则u(v)也是方程的积分

7、因子，其中(V)是v的任一连续可微函数.也可以说微分方程(M dx + N dy )+ (M dx + N dy ) = 0皇笛_佥R公的壬口公田工 gn u M dx + u N dy = du i是第 部分的积分因子，即i i i i1曰箭一立R公的壬口公国工 nn u M dx + u N dy = du 2是弟一部分的积刀因子，即2 22 22甲(u )甲(u )u p (u ) = u 甲(u )甲(u )甲(u )从i i，22中选择满足 i i i 2 22的i I和 22 ，其中%（，（%）是分别关于七，的连续可微函数，这样是原方程的积 分因子.例3求解微分方程&3尸）农+（3成7扁=。的积分因子解将原方程各项重新组合5xydx + 3xdy ）- 3ydx + 7 xydy）= 01u =1是第一部分的积分因子X2JX2J_ 12是第二部分的积分因子=d=d