等差数列证明专题

1、课题等差数列专题1教学目标让学生掌握等差数列及等比数列的概念及性质， 学会求和公式的运用重点、难点重点把握通项公式和前n项和公式，对于性质主要是理解（也就是说自 己能推导出来），具体运用时就能灵活自如.特别是推导过程中运用的方法， 是我们研究其他数列的一种尝试.如推导等差数列通项公式的“累差”法和 推导等比数列通项公式的“累积”法，是我们求其他数列通项公式的一种 经验.又比如推导等差数列求和公式的“倒序相加法”和推导等比数列求和 公式的“错位相减法”都是数列求和的重要技巧.考点及考试要求数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考和各种数 学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的

2、重要内容之一，除了等差 数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.教学内容知识框架等差数列等比数列定义气+广气=d （d为常数,n N 2）f! = q(q。0,且为常数,n A 2) an递推公式a = a + d (a = a + (n 一 m)d )a = a q (a = a qn-m)通项 公式a = a + (n - 1)da = a qn-1 ( a , q。0)中项A =气-k + Hi+k2(n, k g N*, n k 0)G = Jan-kan+k +k(n, k g N*, n A k A 0)前n项 和S = 2(a + a )S = 5n邛=d)

3、a U - q a -a q .=nai(d=2n(n -1)+d2(d n 2+a 1 - 2 尸1.=1 n (q 了)t1 - q1 - q重要性质等和性：a + a = a + a(m,n,p,q g N*,m + n = p + q)a = a + (n - m)d等积性：a - a = a - a(m, n, p, q g N*,m + n = p + q)a = a - qn-m从等差数列中抽取等距离的项组成 的数列是一个等差数列。如：a , a , a , a ,（下标成等差数14710列）从等比数列中抽取等距离的项组成 的数列是一个等比数列。如：a , a , a , a ,

4、（下标成等差数14710列）证明 方法证明一个数列为等差数列的方法：定义法 a 1 a = d （常数）中项法 a + a = 2a （n 2）n1n+1n证明一个数列为等比数列的方法：定义法 f = 0（常数）an中项法 a - a =（a）2 （n 2）设元 技巧三数等差：a 一 d, a, a + d四数等差：a 3d, a d, a + d, a + 3d三数等比：a, a, aq或a, aq, aq2 q四数等比：a, aq, aq2, aq3联系真数等比，对数等差；指数等差，幂值等比。考点：数列求和典型例题例1.已知数列“的前n项和为S = 2n2 - n，求数列“的通项公式.例2

5、.已知a1 = 3且a = S / 2 n，求a及S .例 3.已知 a1 = 1，S = n2a (n N 1)求 a 及 S .例 4.求和 1 + 上 + 1一 + +1.1 + 2 1 + 2 + 31 + 2 + 3 + +n例5.数列11,31,51,71，(2n1)+的前n项之和为S ,则S等于()248162nnn(A)n2+1(B)2n2n+12 n2 n(C)n2+1(D)n2 n+12n-12n例 6.求和：S = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + + nxn-1知识概括、方法总结与易错点分析数列0的前n项和sn与通项an的关系:S(n = 1，a = 5 1n

6、S - S (n N 2) nn-1例 1.当 n = 1 时，a = S = 1,当 n N 2 时，a = 2n2 - n 一 2(n -1)2 + (n -1) = 4n 一 3，经检验n = 1 时 a = 1 也适合 a = 4n - 3 ,. a = 4n - 3 (n e N )2.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。重点把握通项公式和前n项和公式，对于性质主要是理解(也就是说自己能推导出来)，具体运用 时就能灵活自如.特别是推导过程中运用的方法，是我们研究其他数列的一种尝试.如推导等差数列 通项公式的“累差”法和推导等比数列

7、通项公式的“累积”法，是我们求其他数列通项公式的一种 经验.又比如推导等差数列求和公式的“倒序相加法”和推导等比数列求和公式的“错位相减法”都 是数列求和的重要技巧.注:等差、等比数列的证明须用定义证明;数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等 比数列的通项公式、前n项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.解答有 关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的 目标.函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是n的函数，所以等差等比数列的 某些问题可以化为函数问题求解. a (1 qn)，一-，一、分类讨论思想：用等比数列求

8、和公式应分为S = J一* / (q。1)及Sn = na(q = 1)；已知S求an时，也要进行分类；整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势， 运用整体思想求解在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为 数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单 地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错.针对性练习 TOC o 1-5 h z 例7.等差数列a 中，已知a =：，a =：，a =33，则n%()n1363 n(A)48(B)49(C)50(D)51例8.在等比数列a 中

9、，a7 = 12,q =眨，则 =.例9. 2 + J3和2-后的等比中项为()(D )2(A)1(B) -1(C(D )2例10.在等比数列“中，a 2 = -2 , a 5 = 54,求a 8,例11.在等比数列可中，ai和aio是方程2-2 + 5- +1 = 的两个根,贝 a - a =()(A) - 2(B 呻(C) - 2(D )2乙 TOC o 1-5 h z 例12.已知等差数列a 满足a + a + a + + a = 0,则有()123101(A) a + a 0(B) a + a 0(C) a + a = 0(D) a = 51 HYPERLINK l bookmark4

10、 o Current Document 1101210039951 例13.已知数列“的前n项和S. = 3n2 - 2n，求证:数列a 成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。 n例14. 一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32： 27，求公差.例15.在等比数列，已知a1 = 5，a9a10 = 100，求气.例16.设数列气为等差数列，为数列气的前n项和，已知S7=7, S75,T为数列S 的前n项和，求T.nnn例17.三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4,则又成等比数列，求原来三个数.例18. 的和.在5

11、和81之间插入两个正数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，求这两个数例19.例18. 的和.在5和81之间插入两个正数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，求这两个数例19.设aj是等差数列，? = (2)an已知b+b=21，b b b =-，求等差数列的通项a.381 2 3 8n例20.(A)4 或 5已知等差数列aj中，|aj = |a9l(B)5 或 69|，公差 d。，(C)6 或 7则使前n项和Sn取最大值的正整数n是()(D)8 或 9“一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.n一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求

12、和是数列求和的最基本最重要的方法.n(n -1), =na2d1、等差数列求和公式：s =气:气)n 22、等比数列求和公式：S =nna1a (1 - qn)(q = 1)1(q 2、等比数列求和公式：S =nna1a (1 - qn)(q = 1)1(q 尘 1)1 - q3、寸 1 ,=Z k = n(n +1)k=14、S =k2 = in(n + 1)(2n +1)k=15、=k 3 = -!-n(n +1)2k=1例1已知l0g3 X 二-1 可，求 X + X2 + X3 H Xn H 的前 n 项和.解：由logx = n log3 log2 33 X = -log32n X

13、= 2由等比数列求和公式得S X + X 2 + X 3 + Xn (利用常用公式)=1-2例 2设 S =1+2+3+上 nN*, 求 f (n)= nn(n + 32) Sn+1的最大值.式）解：由等差数列求和公式得S =1 n式）解：由等差数列求和公式得S =1 n（n +1） n 2S =； (n + 1)(n + 2)(利用常用公n 2150当- 即8 时f (n)max=150S f (n)n(n + 32) Sn 2 + 34n + 64n+111n + 34 + 箜 商-L)2 + 50、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列气-bj的前 n项和，其中气、 bn 分别是等差数列和等比数列.例 3 求和：S = 1 + 3x + 5x2 + 7x3 + + （2n 1）xn1解：由题可知，（2n 1）xn-1的通项是等差数列2n1的通项与等比数列xn-1的通项