计算不定积分应该注意的几个问题

1、文档编码 : CN3F1C8Z7W7 HO3G4G3T9C7 ZO3Q2Z9A9Y3. 目录- 摘要 1 关键词 1 Abstract1 Keywords1 引言 1 2.1 运算中漏掉“C 、“3 1 根本概念、定理及公式2 3 2 直接积分法易犯错误举例剖析3 2.2 自创运算法那么致误2.3 对公式1x dxlnxCx0的错误运用 4 5 2.4 对公式a x dxxa1a1Ca1的错误运用 4 3 第一换元积分法应留意问题3.1 牢记凑微分公式 5 3.2 留意解的不同表示方法6 9 6 可修编 - 4 其次换元积分法中易犯错误剖析5 分部积分法应本卷须知8 6 运算某类特殊积分本卷须

2、知6.1 有理函数的不定积分9 6.2 分段函数的不定积分10 . . - 参考文献 12 致 13. 可修编 - . .运算不定积分应当留意的几个问题摘要不定积分是一个特殊根本且又特殊重要的概念,我们应当灵敏地使用各种技巧和被积函数的类型和特点来运算不定积分,由此积分法成为数学教学中富有探干脆的一个领域 .文章归纳整理了我们在使用各种方法运算不定积分时简洁显现的问题,并对这些问题进展了分析和探讨 .例如：直接积分法、第一换元积分法、其次换元积分法、分部积分法以及特殊积分法 . 关键词不定积分直接积分法换元积分法分部积分法特殊积分法Indefinite Integral Calculation

3、 Should Be Noted That Several IssuesAbstractIndefinite integral is a concept which is basic and important,we shoud use various techniques flexibily and the type of product function and features to calculate the indefinite integral, Integration bees into an area of mathematics teaching which is rich

4、in exploration.This paper collates and analyzes the error-prone issues which we use various methods to calculate the indefinite integral,these issues are analyzed and discussed.such as: direct integration method,integration by first substitution, integration by second substitution,division integral

5、method,and special integral method. KeywordsIndefinite integralDirect integral method Integration by substitution Division integral methodSpecial integral method 引言不定积分是求导的逆运算,对不定积分的懂得和把握不仅涉及到微积分本身的学习,而且影响到学习线积分、面积分及重积分等后继容学习,我们在初学这些容时容易显现一些普遍的错误, 下面我们将对这些错误进展剖析,以便更好的把握这局部学问. 1 根本概念、定理及公式定义 11设函数 f

6、与 F 在区间 I 上有定义 .假设F f x ,xI,那么称 F 为 f 在区间 I 上的一个原函数 . 定义 2 1 函数 f 在区间 I 上的全体原函数称为 f 在 I 上的不定积分 ,记作f x dx ,其中称 为积分号 , f x 为被积函数 , f x dx 为被积表达式 , x 为积分变量 . 留意 函数不定积分是一个函数族 ,求函数的不定积分或原函数时 ,留意被积函数的定义. .word.zl. - 域是很重要的因素 ,要引起足够的重视 .定理 1 假设函数 f 在区间 I 上连续,那么f 在 I 上存在原函数 F ,即F f x ,xI . 定理 2 设 F 是 f 在区间

7、I 上的一个原函数,那么i F C 也是 f 在 I 上的原函数,其中 C 为任意常量函数；ii f 在 I 上的任意两个原函数之间,只可能相差一个常数 . 定理 3 假设函数 f 与 g 在区间 I 上都存在原函数,k 、k 为两个任意常数,那么k f k g 在 上也存在原函数,且 k f x k g x dx k 1 f x dx k 2 g x dx常用根本积分公式 : 10dxC . 4cosaxdx12x a dxaxCa0,a1.lna31dxdxxC .sinaxCa0.a5x dxx1C 1,x0.62sinaxdx1cosaxCa0. 1a1 xdxdx70.8arcsin

8、xxC 1. lnxCxCarccos1x9x e dxx eC .10dxarctanxCarccotxC 112 x2 直接积分法易犯错误举例剖析直接积分法是依据根本积分公式利用不定积分根本运算法那么或通过简洁代数、三角恒等变形后再利用根本积分公式的一种方法,这是一种最根本最简洁最直接积分方法,这也是我们初学不定积分应当把握的最根本的运算方法,下面我们将对一些经常出现错误的地方具体举例剖析一下. 可修编 - 2.1 运算中漏掉 “C 、“例1求3x dx . . . .错解3 x dxx44. 例2求3 x4dx . 错解x34dx3 x dx4dxx444xC . 剖析发生这类错误,有三

9、种可能的情形：1不定积分概念不清楚以及对“意义不清楚； 2对“C 显现的意义不明确,这应当指的是函数的全部原函数才对并不单独指某一个原函数； 3马虎大意 .为削减这类错误的发生, 我们再学习这局部容时,应当留意强调函数的不定积分指的是该函数的全部原函数以及利用一切可能的时机强调符号“的意义及有关的运算法那么,通过确定量的训练让我们能够正确的进展一些根底运算,为后边的容打下一个坚实的根底 . 2.2 自创运算法那么致误例3求x32 x3dx . x23dxxx41x33 xC . 错解3 x2 x3dx3 x dx43例4求xx4dx. 4 x dxdx1 31 55 xC. 21错解x4x1d

10、x22 x13 x剖析发生这类错误主要是我们依据思维定势自创运算法那么造成,我们受之前的极限四那么运算法那么及导数四那么运算法那么的影响,在解题过程中经常不自觉地将这一思维定势迁移到不定积分中认为不定积分也具有四那么运算法那么,且很简洁自创如下错误法那么f x g x dxf x dx g x dx1；f x dx g x f x dx2. g x dx我们在解题过程中错误的运用这两个运算法那么导致很多不该犯的错误就是没有搞清. .word.zl. - 因 . 楚实际上不定积分有加减运算法那么但没有乘法运算法那么也没有除法运算法那么,此我们在运算不定积分时第一应熟记运算法那么,不要无中生有以致

11、不该显现的误会2.3 对公式1xdxlnxCx0的错误运用 2例5求1x3 dx. 错解13 xdxlnx3C. 例6求1xdx. cos2错解1xdx2 ln cosxC. 2 cos剖析这种错误主要是源于对公式的特点识别有误,要想真正把握根本积分公式,我们再听积分根本公式的推导时要区分各种公式的模式特点,在做例题时,仔细分析题目,有意识的培养自己识别所解问题是否符合公式模式,对不符合公式模式的查找其他的解题途径,从理论上和心理上为正确运用公式奠定根底 . 2.4 对公式 x dx a x a 1a 1 C a 1 的错误运用 23例7 求 sin xdx. 错解 sin 3xdx 1 si

12、n 4x C . 42例8 求 sin xd sin x . 错解 由 cos x sin , x aax a 1,32 cos xsin xd sin x C .3剖析 这类错误主要是对幂函数积分公式的模式识别有误,从题目形式上来看,第一个例题不能直接用幂函数积分公式,只有当被积表达式化为 a d x 形式时才能用,但其次个例题正好符合公式,错误主要是没有真正把握换元思想,下面我们将会介绍换元和公式的结合 . 总结以上主要列举了用直接积分法运算不定积分时我们经常显现错误的地方,其实. 可修编 - 类似这类错误仍有很多,如：1dxd1、. d12x.dx像这类系数问题、符号问题也是x2x不定积

13、分中常见的错误,问题出在函数的微分运算上,在这里就不再一一列举,以上所 列举的几种类型主要是提示我们在初学运算不定积分时,必需熟识根本积分公式、根本 运算性质、根本积分方法、确定的解题策略,并能对被积函数进展适当的代数或三角的 恒等变形,或对被积表达式进展凑微分、变量置换等变形后化成能用公式直接代入的形 式,因此在初学运算不定积分时要细心仔细,把握最根本的为下面运算更加复杂的积分 奠定一个良好的根底 . 3 第一换元积分法应留意问题fF第一换元积分法3假设函数u D a b ,且,即 ,u,有 f u ,那么函数f x 存在原函数F x dxF C.第一换元积分法即如何凑成微分形式,然后利用根

14、本积分公式,它是不定积分的根本方法 .但是有些凑微分法需要确定的方法技巧,而且往往要多次尝试, 我们初学者只有多看多做扩宽视野多积存经受才能熟能生巧,下面将对依据自己所把握的对利用第一换元积分法运算不定积分需要留意的问题归纳整理,期望对学习不定积分有确定的帮忙 . 3.1 牢记凑微分公式在用第一换元积分法求不定积分时,要牢记常用的凑微分公式,只有这样才能对娴熟运用第一类换元积分法起到事半功倍的成效. ln x,即可求解 . .word.zl.例 9 4 求ln xdx x. 解原式 =lnxdlnx1ln2xC . 2分析由凑微分公式1 xdxdlnx可以看出中间变量可以确定为例 10求tan

15、 xdx . . . sinxdx1xdcosxln cos- 解原式= tanxdxC. cosxcos分析由于tanxsinx,由凑微分公式sinxdxdcosx可知中间变量为 cosx ,cosx其解可依据上述公式求出 . 从以上可以看出,娴熟把握凑微分公式,对灵敏运用第一类换元积分法有较大的 作用,但是我们在运算过程中确定要留意保证凑微分过程的精确性,否那么将会带来很 大的麻烦,易导致最终的结果错误 . 3.2 留意解的不同表示方法 我们在用第一类换元积分法求解时,经常遇到方确而解有所不同的地方,这时不要疑心方法的正确性,这主要是由于由于中间变量选定的差异C 1,可能造成解的形式有差异

16、,但是这些解经过确定的变形后可化成一样形式. 例 11 4求sinxcosxdx . 解法一原式 =sinxdsinx1sin2xC . 2解法二原式 =cosxdcosx1cos2xC =1 1 2sin2x2=1sin2xC 11221 1 42sin2xC2= 1 sin 22xC .解法三原式 =1sin 2xdx1sin 2xd x1cos2xC =244=1sin2xC2124=1 sin 22xC . 从以上可知三种解法,三个中间变量,得到三种不同形式的解,但最终都可化为 一种形式的解,所以再遇到与别人算的解不一样时不要盲目的认为自己的解不对,要仔 细的检查自己选的中间变量是否正

17、确 . 总结 以上主要列举了用第一换元积分法运算不定积分时最需要留意的两个问 题,仍有一些细节方面的问题就不再举例了,参考直接积分法就可以了,此类积分法主 可修编 - . . .要就是确定中间变量,一个积分有可能有很多不同的中间变量,我们确定要留意观看,用适合自己的方法解决此类问题. ,a b ,且 0,函数f x 在4其次换元积分法中易犯错误剖析其次换元积分法设函数x Da b有定义,t,有G t f t ,那么函数f x 在a b 存在原函数, 且f x dxG1 C.其次类换元积分法一般是先做变量代换,然后再求积分,一共分为四个步骤来完成,即换元、整理、积分、回代,其中第一步是关键步骤,

18、下面表达的一类错误主要就是有关换元过程中忽视一些条件所引起的. xa,经过变量代换例 12 5 求2 xx2 a dxa0. 错解令xasec t ,那么原式可化为原式=atanta tsec tantdtasecatan2tdta2 sect1dtatanttCx2a2aarccosaC.x剖析从题目中我们可以看出原先被积函数的定义域是xasec t 后, t 对应定义域为2t2,因此x2a2a22 tantatant ,但是上述解法却直接把确定值去了,这就相当于仅考虑了被积函数在xa 的定义域,从而导致只计算了一半把另一半忽视了 . . 例 13求sin3xsin5xdx . sin3x1

19、 sin2x dx.word.zl.错解sin3xsin5xdx. - 3 3= sin 2 x cos 2xdx令 t sin x 2t dt5 52t 2 C 2 sin 2 x C . 5 5剖析依据在化简过程可以确定被积函数的定义域 x 2 k 2 k k z ,因此在去绝对值过程中,只考虑了被积函数在第一象限而忽视了在其次象限,导致题目漏解 . 总结通过以上两个例题的分析,指出了用其次换元积分法运算不定积分时最简洁出现错误的地方,即就是在换元过程中不考虑定义域问题而导致漏解情形,这应当引起我 们的重视,因此在遇到类似情形时第一就算一下被积函数的定义域,然后在进展下面过 程,这样就很简

20、洁防止类似错误发生 . 5 分部积分法应本卷须知分部积分法假设u x 与v x 可导,不定积分u x v x dx 存在,那么u x v x dx也存在,并有u x v x dxu x v x v x u x dx分部积分法是积分学的一个珍贵方法,他可以解决某些用换元积分法不能运算的积分,该方法主要是依据两个函数乘积的微分法那么建立起来的,但是有时需要连续使用几次分部积分才能得到结果,在运算过程中确定得仔细仔细. 可修编 - 6 例 14求cosxdx x. sin错解原式 =1xdsinxsin1xsinxsinxd1xsinsin1sinx1xcosxdxsin21cosxdx ,xsin

21、等式两边消去cosxdx x,得 1=0. sin. 剖析. C ,因.此题错误主要是错在最终一步,不定积分是原函数加上一个任意常数此不定积分不是一个确定的函数,不行在等式两边消去不定积分,假设是按上面做法是求不出结果的,而且消去不定积分得“0=1” 更是错误的 . 留意 有时用分部积分法运算不定积分几次分部后,又显现原积分,可移项求解,此时要求：1移项后的一样不定积分系数可合并,但不行为零；2移项后等式另一边要加上“C . x例 15 求 e cos xdx . x x x解 原式 = cos xde e cos x e sin xdxx x x x xe cos x sin xde e c

22、os x e sin x e cos xdxx x那么 2 e cos xdx e cos x sin Cx从而 e xcos xdx e sin x cos C . 2 26 运算某类特殊积分本卷须知运算不定积分除了以上几个比拟常用的方法外,我们在运算过程中可能会遇到更复杂的不定积分如：有理函数的不定积分、分段函数的不定积分等,这时我们会发觉再用平常的积分方法根本解决不了问题,但是不管再复杂,我们仍是可以依据确定的步骤计算出来,运算这类特殊积分必需熟记它所代表的类型以及所用的解题方法,下面将列举几个例子来分析一下 . 6.1 有理函数的不定积分有理函数由两个多项式函数的商所表示的函数,其一般

23、形式为R x P x 0n x0,1xn1.0n,m都是常数,且00,00 . .word.zl.Q x 0 xm1xm1.m其中 n, m为非负整数,1,.,n与,1,.,. . - 依据代数学问,有理真分式必定可以表示成假设干个局部分式之和,因而问题归结为求那些局部分式的不定积分,因而求此类积分分为以下步骤 1把被积函数作局部分式分解； 2把所求积分化为局部分式不定积分；3逐一求每一个分式积分,然后合并起来 .下面我们将举例具体介绍此类不定积分的解题步骤. 例 16求6x211x24dx. x x1解第一步：设62 x11x24AxB2C1x x1x1x有6x211x4A x12BxCx

24、x1AC62ABC11A4解得 A =4, B =-1,C =2, 其次步：6x211x24dx4dxxdx22dxx x1x1x1第三步：经过前两步做好后可以直接运算得出结果26 x 11 x2 4dx 4ln x 12ln x 1 C . x x 1 x 1留意 上述运算不定积分的方法特殊通用,但是有时候这种分解会很繁琐的,而且必需是得知道分母根时才能进展这种分解,所以在遇到题目时要灵敏,不能死套此做法,要和前面几种方法结合起来才是最好的. x2d1x2132可修编 - 例 17 7 求4 xx2dx 1x解原式=x21x32dx122222222. 6.2=1 1arctan2 x31C

25、=3arctan2. 1C .x 22233322分段函数的不定积分求分段函数的不定积分时,应先求函数在各段对应区间的不定积分,然后考察被积函数在各分段点处的连续性 . 2例 18 8 令 f x x , x 0;求 f x dx . sin , x 0.32 xx dx C 1 , x 0;错解 f x 3sin xdx cos x C 2 , x 0.剖析 由于分段函数 f x 在分段点 x 0 处连续 f x 在 , 连续 f x 的原函数在 , 存在,留意到对每一组确定的 C 1,C 2 ,明显原函数在 x 0 连续,故3xC 1 1 C ,所以 f x dx 3 C 1 , x 0;cos x C 1 1, x 0.留意 1假设被积函数在分段点上连续,那么该分界点相邻两分段不定积分中的 C C 2相关,依据原函数在该点的连续性,确定出C C 的关系； 2假设被积函数在分段点上为第一类连续点, 那么在包含该点的某区域, 不定积分