西南大学《中学代数研究》复习思考题及答案

1、文档编码 : CC2J9X9R5Z9 HK9O10Q9D7Q6 ZG7Z1E9U7W1（0772）中学代数争辩复习摸索题一、填空题：1、直接保证了数学归纳法的合理性,所以也可以把数学归纳法 当作公理来看待；2、无理数的定义除了无穷小数说之外,仍有、；3、为了加深对一些基本不等式的数学本质的懂得,在证明及其教学中应强调不等式的；4、目前比较广泛使用的函数概念有三种定义,分别是、；5、在一般高中数学课程标准中（试验稿）,对数列内容的处理突出了、的思想；6、算法表达了数学的思想；二、简述题 1、 试 说 明 有 理 数 集 是 一 个 可 数 集 ；2、 设 A 是 半 序 集 , 且 定 义 了

2、加 法 及 乘 法 运 算 , 试 说 明 序 关 系 “”满 足 什 么条 件 才 是 大 小 关 系 ？3、 试 说 明 复 数 为 什 么 不 能 比 较 大 小 ？4、请写出均值不等式、柯西不等式、排序不等式的一般形式,并给出它们的二维几何说明；5、方程的本质是什么？6、古希腊作图三大问题是什么？人们是怎样证明其为不行能解的,解决这些问题的基本思 想方法是什么？7、任意给一个有限数列,能否找出它的通项？8、试述孙子定理及其解法原就,并举例说明该原就在其它数学理论学问中的表达；9、数 学 概 念 教 学 的 基 本 方 式 有 哪 些 ？ 请 以 函 数 概 念 的 教 学 为 例 给

3、以 说 明 ,并 阐 明 其 基 本 做 法 及 特 征 ；10 、 进 入 21 世 纪 之 后 , 我 国 新 颁 布 的 高 中 数 学 课 程 标 准 （ 实 验 稿 ） 为 什么 要 把 “算 法 ”列 入 必 修 课 ？三 、 证 明 题 1、假 设 自 然 数 的 加 法 交 换 律 、结 合 律 成 立 ,试 用 皮 亚 诺 公 理 体 系 证 明 ：自 然数 的 乘 法 满 足 对 加 法 的 分 配 律 , 即 对 任 意 自 然 数a,b,cN, 有abcacbc；2、 证 明 任 何 一 个 有 理 数 的 平 方 都 不 等 于 5 ；3、 证 明 e 不 是 有 理

4、 数 ；4、 设 a、 b、 c 为 正 数 且 各 不 相 等 , 求 证2a2b+b2+c2aa9ccb5、x1,x2,xnR ,xn求 证2 x 12x 2x 32 x x n2x nx 1x1xx2四 、 计 算 题1、 求 方 程xy1zxzyz3的 整 数 解 ；1xt1y的 最 小 值 ；zyx2、 当xyt1 x ,y,z ,t0,1求uxyzyztztx3、 在 一 块 平 板 上 竖 起 三 根 柱 子 A, B, C, 另 外 , 有 n 片 大 小 不 同 的 、 中 间 开着 小 孔 的 圆 片 ；开 始 时 ,所 有 的 圆 片 套 在 A 柱 上 ,大 的 在 下

5、 面 ,小 的 在 上 面 ；现 在 , 在 可 借 用 第 三 根 柱 子 的 条 件 下 , 按 下 列 规 就 将 圆 片 从 一 根 柱 上 移 到 另一 根 柱 上 ：（ a） 一 次 只 能 移 动 一 片 ；（ b ） 不 许 把 大 圆 片 叠 在 小 圆 片 上 ； 如 设把 A 柱 上 的 n 片 圆 片 全 部 移 到 C 柱 所 需 的 最 少 次 数 为 a ； 求 a （ 注 ： 至 少 用两 种 方 法 求 a , 其 中 一 种 为 母 函 数 方 法 ）4、已 知 a n 满 足 递 推 关 系 a n 5 a n 1 6 a n 2 2 n,且 a 0 ,1

6、 a 1 2,求 a n 5、 有 一 对 小 兔 , 过 一 个 月 之 后 长 成 大 兔 , 到 第 三 个 月 就 可 以 生 下 一 对 小 兔 ,并 且 以 后 每 月 生 下 一 对 小 兔 , 而 所 生 的 小 兔 , 也 同 样 到 第 二 个 月 长 成 大 兔 ,到 第 三 个 月 生 下 一 对 小 兔 , 以 后 也 每 月 生 下 一 对 小 兔 ； 假 设 所 有 兔 子 均 不 死亡 , 设 an 为 n 月 后 的 兔 子 对 数 ； 求 an （ 注 ： 至 少 用 两 种 方 法 求 an , 其 中 一种 为 母 函 数 法 ）（0772）中学代数争辩

7、复习摸索题答案一、填空题：1、自然数公理（或皮亚诺公理）2、康托尔基本序列说、戴德金分割说 3 几何背景 4、变量说、对应说、关系说 5、函数思想、模型思想 6、机械化二、简述题1、凡是能与自然数集一一对应的集合,称作可数集；例如,正有理数集依据如下方法排列 是可数的：1 2 3 4 5 1234522222123453333312345444441234555555正有理数集可数,就负有理数集可数,再加上数0,构成了可数的有理数集；2、半序集 A 中的序关系“b”满 足 加 法 保 序 性 和 乘 法 保 序 性 时 , 才 是 大 小 关 系 ；即abacc（ 加 法 保 序 性 ）,ab

8、0c acbc（ 乘法 保 序 性 ）；3、复 数 集 尽 管 按 照 字 典 排 序 法 可 构 成 一 个 序 集 ,但 这 个 序 关 系 不 能 同 时 满 足加 法 保 序 性 和 乘 法 保 序 性 ； 在 这 个 意 义 上 说 , 复 数 不 能 比 较 大 小 ；4、 均值不等式、柯西不等式、排序不等式的一般形式分别是：a1a2n.anna1 a2.an,其 中a 1,a2,. an为 非 负 数 , 当 且 仅 当a1a2.an时,等号成立；anbnna2n2 b inaibi2,其中a 1,a2,. an,b 1,b 2,. bn为任意实数, 当且仅当ii1i1i1a 1

9、a2.an时,等号成立；b 1b2bn设有两个数列a1a2.an,b 1b 2.b n,就a1 bna2b n1.anb 1ai 1bj1ai2bj2.ainbjna 1b 1a2b2.其 中i,1i2,. in,j,1j2,.jn是1 , 2 ,、 n 的 任 意 两 个 排 列 ； 当 且 仅 当a1a2.an或b 1b 2.b n时等号成立；三个基本不等式的二维几何说明可参看教学内容；5、方程是为了求未知数,在未知数和已知数之间建立的一种等式关系；所以,可从以下三方面懂得方程： （1）方程是一种数学思想方法,其目标是为了求未知数；（2）、解方程需要充分利用已知数和未知数之间的关系；（3）

10、、方程的本质是“ 关系”,而且是一个等式关系；6、古希腊作图三大问题是：化圆为方、倍立方体、三等分角；人们通过建立解析几何,将几何问题代数化, 运用代数的方法证明三大问题为不行能解；解决这些问题的基本思想方法可称为 RMI原就（关系映射反演方法,由我国数学家徐利治提出）；7、对于任何有限数列都可以写出它的通项公式；比如：a a 2 , a 是由三项组成的数列,为求它的通项公式,只需求自变量为自然数的函数 f n ,使它在 n 1,2,3 取值分别为a a 2 , a ； n 2 n 3 n 1 n 3 n 1 n 2f n a 1 a 2 a 3由拉格朗日插值公式得 1 21 3 2 12 3

11、 3 13 2f n 就是数列的通项公式8、孙 子 定 理 ： 设m 1,m 2. mn是 n 个 两 两 互 素 的 正 整 数 ,a 1,a2,. an是 任 意 给定 的 整 数 , 那 么 一 元 同 余 式 组x a 1 mod m 1 x a 2 mod m 2 x a n mod m n 必有一解,且解数为 1；孙子定理的解法原就或证明是通过先构造“ 单因子构件”,然后凑出结果所要求得的构件；这一原就在插值理论、算子理论中都有表达；比如拉格朗日插值理论就表达了这一原就；9、假如从过程与结果的关系来说,数学概念教学有以下两种基本方式：一是重结果的数学概念讲解式教学方法,二是重过程的

12、数学概念发觉式教学方法；前者的基本步骤如下：1、揭示概念的本质属性,给出定义、名称和符号；2、对概念进行特殊分类,揭示概念的外延；3、巩固概念,利用概念的定义进行简洁的识别活动；4,概念的应用与联系, 用概念解决问题, 并建立所学概念与其他概念的联系；这种教学过程简明,使同学可以比较直接地学习概念,节省时间, 后者在教学过程中,强调揭示数学概念的形成过程, 让同学从概念的现实原型、概念的抽象过程、数学思想的指导作用,形式表述和符号化的运用等多方位懂得一个数学概念,代表做法是美国数学训练家杜宾斯基提出的 APOS理论；以上两种方法各有利弊,发觉法更适合低年级,适合教基础概念或原理,但是缺点是太费

13、时,课堂难以把握；讲解式教学法更适合高年级,适合教概念之间的关系,省时,但在迁移才能的培养方面不及发觉教学法；一般来说,以讲解式教学为主,活动发觉式为辅；10、算法是现代数学的重要组成部分,也是运算机科学的核心和运算机技术的基础；算法在科学技术、 社会进展中发挥着越来越大的作用,并日益融入社会生活的各个方面；因此,算法的基本学问已经成为现代公民必需具备的一种数学修养；所以,在 2022 年颁布的高中数学课程（试验稿） 中,首次在高中数学课程中列入算法的有关内容,而且是必修部分；三 、 证 明 题1、证 明 ： 对 任 意 自 然 数 a, b, 当 c 1 时 ,根 据 皮 亚 诺 公 理 有

14、 a b . 1 a b a . 1 b . 1；假 设 a b . c a . c b . c, 由 于 自 然 数 的 加 法 交 换 律 、 结 合 律 成 立 , 就 a b . c a b . c a b a . c b . c a b a . c a b . c b a . c b . c所 以 , 由 数 学 归 纳 法 , 对 任 意 的 自 然 数 a , b , c, 有 a b c ac bc；2、设 5 ab,其中 a 和 b 是没有公因数的整数；于是可得 5 b 2a 2,由此 a 2是 5的倍数；然而,假如 a 是 5 的倍数, a 本身必定是 25 的倍数,由于

15、5 没有大于 1 的平方数；这就意味着a5 c,其中c 是某个整数；于是5b2a2变成5b225c2,或者b25c2；同样的争辩可以证明b 必定也是 5 的一个倍数； 这样 a 和 b 都是 5 的倍数, 这同它们没有公因数的假设冲突；所以,5；3、见教材 p31. 5 不是有理数,即任何一个有理数的平方都不等于4、证 明 ： 可 用 柯 西 不 等 式 证 明 , 待 证 不 等 式 化 为a1bb1cc1b.2 abc 9,1129,Lx n2左 端 =a1bb1cc1b. ab bc ca 1又a,b,c各 不 相 等 , 因 此 等 号 不 成 立 ； 原 不 等 式 得 证 ；x 1

16、x 1x25、证明：可用 柯 西 不 等 式 证 明 , 由x 12x 22L2 x n-1x n2x 2x 3Lx nx 2x 3x nx 1即证；四、运算题1、解：由 x,y,z 均不能为零,就有x2y2xy2z2z2x23xyz,由此得 xyz 0. 由 均 值 不 等 式 有2 xy2y2z2z223 3x4y4z43xyz 3xyz, 由 此 可 得3 xyz3xyz 3xyz；由于 xyz0 且3 xyz1,但 x,y,z 均为整数,所以xyz=1, 所以, x,y,z有以下四组取值；x1x11 ,x11x11y1 ,yy,y1z1z1z1z2、条件式改写为xyzyztztx tx

17、y 3txy2,u1xyz2yzt2ztx23.x1z2y1zt2z1x2t1y21；ytx1 1111 216.33当,xyzt时,umin1633、解 ： 易 得 递 推 公 式an2 an11, 且a00,a 11；（ 1）、 母 函 数 法 ： 设 a 的 母 函 数 为fx,得于 是 ,fxa0a1xa2x2anxn, 2xfx2a0 x2a 1x22 anxn又 有11x1xx2xn+-fx2xfx 11xa 01a 12a 01 xa n2 an11xnan2n所 以 ,fx1xx2x 11x11xn02n1 xn, 故 12（ 2）、 因an2an11, 且a0,0a 11, 所 以a12a01a22a 11a32 a21an12 an21an2an11即ana n12an1an22n1a 1a02n1,再结合an2 an11, 可 推 得an2n1；fx, 于 是4、 可 用 母 函 数 法 求 解 ； 设an的 母 函 数 为fxa0a 1xa 2x2.anxn.5 xfx 5