时间序列分析方法第06章谱分析

1、 (1-0ei-0ei2-.一0ep)TOC o 1-5 h z12p如果移动平均和自回归算子多项式可以进行下述因式分解：1+0z+0z2+0zq(1一耳z)(1一耳z)(1一耳z)12q12q1-0z-0z2-0zp(1-z)(1-z)(1-z)12p12p则母体谱函数可以表示为：n1+n22耳COS()q2jjs()j1Y2兀p,门1+22cos()jjj1从母体谱函数中计算自协方差如果我们知道了自协方差序列Y卫,原则上我们就可以计算出任意的谱函数j_8s()的数值。反过来也是对的：如果对所有在0,兀内的，已知谱函数s()的数值，YY则对任意给定的整数k，我们也能够计算k阶自协方差丫。这意

2、味着母体谱函数s()和自kY协方差序列y+8包含着相同的信息。其中任何一个都无法为我们提供另外一个无法给出j，8的推断。下面的命题为从谱函数计算自协方差提供了一个有用的公式：命题6.1假设y+8是绝对可加的自协方差序列，则母体谱函数与自协方差之间的关j，8系为：ys()eikdk，“Y上述公式也可以等价地表示为严严兀()cos(k)d利用上述谱公式，可以实现谱函数与自协方差函数之间的转换。解释母体谱函数假设k0，则利用命题6.1可以得到时间序列的方差，即y，计算公式为：0y严s()d0，“Y根据定积分的几何意义，上式说明母体谱函数在区间,兀内的面积就是y,也就是0过程的方差。更一般的，由于谱函

3、数s()是非负的，对任意G0,兀，如果我们能够计算：Y1f+|s()d，1Y这个积分结果也是一个正的数值，可以解释为y的方差中与频率的绝对值小于的成t1分相关的部分。注意到谱函数也是对称的，因此也可以表示为：f，1S()d2J，1s()d-1Y0Y这个积分表示频率小于的随机成分对Y方差的贡献。1t但是，频率小于的随机成分对Y方差的贡献意味着什么？为了探索这个问题，我们1t考虑更为特殊一些的时间序列模型：Macos(t)+6sin(t)tjjjj这里；和6是零均值的随机变量，这意味着对所有时间t，有EY0。进一步假设序jj列aM和6M是序列不相关和相互不相关的：b2,jkj0,jb2,jkj0,

4、j工kE(aa)jkb2,jE(aa)jk0,j工kjkE(a6)0，对所有的j和kjk这时Y的方差是：tb2Los2(t),b2Los2(t),sin2(tJjjjjj1E(Y2)*E(a2)cos2(t),E(62)sin2(t)tjj1Mb2jj1具有频率的周期成分对Y的方差的贡献部分是b2具有频率的周期成分对Y的方差的贡献部分是b2。如果jtj兀，则Y的方差中由频率小于或者等于的周期Mtj12形成的部分是：b2,b2,b2。12j这种情形下y的k阶自协方差为：tE(YY)=E(a2)cos(t)cos(t-k),E(62)sin(t)sin(t-k)tt-kjjjjjjj1Mb2cos

5、(t)cos(t一k),sin(t)sin(t一k)jjjjjj1Mb2cos(k)jjj1因为过程Y的均值和自协方差函数都不是时间的函数，因此这个过程是协方差平稳t过程。但是，可以验证此时的自协方差序列“不是绝对可加的。kk0虽然在上述过程中，我们已经过程的方差分解为频率低于某种程度的周期成分的贡献，我们能够这样做的原因在于这个过程是比较特殊的。对于一般的情形，著名的谱表示定理(thespectralrepresentationtheorem)说明：任何协方差平稳过程都可以表示成为不同频率周期成分的和形式。对任意给定的固定频率”0,兀，我们定义随机变量a()和6()，并假设可以将一个具有绝对

6、可加自协方差的协方差平稳过程表示为：+ja()cos(t)+6()sin(t)dt0这里需要对随机变量a()和6()的相关性给出更为具体的假设,但是上述公式便是谱表示定理的一般形式。6.2样本周期图SamplePeriodogram对一个具有绝对可加自协方差的协方差平稳过程Y，我们已经定义在频率处的谱t函数值为：11Ps()g(e)Zyej，丫三E(Y一卩)(Y一卩)Y2兀Y2兀.jjtt_jj=-OT注意到母体谱是利用y冷表示的，而y乜表示的是母体的二阶矩性质。jj0jj0给定由yry2,爲表示的T个样本，我们可以利用下述公式计算直到(T-1)阶的样本自协方差：y丄yT_我们称其为样本周期图

7、：(T-j)-1L(y-y)(y-y),j0,1,y丄yT_我们称其为样本周期图：tt-jtj,1j对于给定的，我们可以获得母体谱密度对应的样本情形s()=Lye-ij2兀jjT,1样本周期图也可以表示成为如下形式：s()Y+2LYCOS(j)2冗0jj=1类似地，我们可以证明样本周期图下的面积等于样本方差：严s()d0-兀Y样本周期图也是关于原点对称的，因此也有：=2卯s()dTOC o 1-5 h z00Y更为重要的是，谱表示定理在样本情形也有类似的表示。我们将要说明，对于平稳过程的任意一个容量为T的观测值序列y,y,y，存在频率,，,和系数R，12T12Ma,a,&，6,5,5使得t期的

8、y值可以表示成为：12M12MyU+Lacos(t-1)+5sin(t-1) HYPERLINK l bookmark10tjjjjj=1其中：当jk时，acos(t-1)与acos(t-1)不相关；jjkk当jk时，5sin(t-1)与5sin(t-1)不相关；jjkk对于所有的j和k，acos(t-1)与5sin(t-1)不相关。jjkky的样本方差是T-1T(y-y)2，该方差中可以归因于频率为的周期成分的部分t=1tj由样本周期图s()给出。Yj我们对样本容量是奇数的情形展开讨论上述谱表示模式。这时y可以表示成为由tM三(T-1)/2个不同频率构成的周期函数，频率,如下：TOC o 1

9、-5 h z12M2兀4兀2M兀=，=，=1T2TMT因此最高频率为：2M2(T-1),MT2T我们考虑y基于常数项、正弦函数和余弦函数的线性回归:tMy卩+乙acosro(t一1)+8sinro(t一1)+uTOC o 1-5 h ztjjjjtj1将这个回归方程表示成为下述方式：y卩x+uttt其中：x1,cosro(t一1),sinro(t一1),八,cosro(t一1),sinro(t一1),这是t11MM一个具有(2M+1)T个解释变量的回归方程，因此解释变量与观测值是一样多的。我们将证明解释变量之间是线性无关的，这意味着y基于x回归的OLS估计具有惟一解。该回归tt方程的系数具有显

10、著的统计意义：(a2+S2)/2表示y中可以归因于频率ro的周期成分的jjtj那部分。这就是说，任意观测到的序列y,y,y，它都可以利用上述周期函数形式表示,12T并且不同频率的周期成分对方差的贡献都可以在样本周期图中找到。命题6.2假设样本容量是奇数，定义M三(T-1)/2，并设定ro2i/T，jj1,2,M假设解释变量为：x1,cosro(t一1),sinro(t一1),cosro(t一1),sinro(t一1)TOC o 1-5 h zt11MM卩卩,a,8,a,8,a,81122MM则有：xxtttxxttt10(T/2)IT一1进一步假设y,y,y是任意T个实数，则下述推断成立:12

11、T过程y可以表示为：ty+&cosro(t一1)+8sinro(t一1)tjjjjj1这里：8ysinro(t-1)jTtjt18ysinro(t-1)jTtjt1t1y的样本方差可以表示为：tTOC o 1-5 h z11电(y-y)2(a2+82)Tt2jjt1j1样本方差可以归因于频率为ro的周期成分的部分为(a2+82)/2。jjjy的样本方差中可以归因于频率为ro的周期成分的部分还可以表示为:tj14(a2+82)s(ro)2jjTyj其中s(ro)是样本周期图在频率ro处的值。yjj上述结果说明，xx是对角矩阵，这意味着包含在向量x中的向量之间是相互正交ttt的。这个命题断言：任1

12、可奇数个观测到的时间序列y,y,y可以表示成为一个常数加上12T具有(T-1)/2个不同频率的(T-1)个周期成分的加权和。当t是偶数整数的时候，类似的结果也是成立的。因此，这个命题给出了类似谱表示定理的有限样本的类似情况。这个命题进一步表明了样本周期图的特征是将y的方差按部分分解为不同频率的周期成分的贡献。注意到解释y的方差的频率都落在区间0,冗中。为什么不使用负的频率,0?假j设数据确实是由上述过程的一种特殊情形生成的：=cos(-t)+6sin(-t)t这里-兀的周期函数中生成的，例如=3兀/2:=cos(3兀/2)t+6sin(3兀/2)tt这时正弦和余弦函数的周期性质表明，上式可以表

13、示成为：Y=cos(一兀/2)t+6sin(一兀/2)tt因此，根据以前的讨论，具有频率=3兀/2的周期在观测值上等价于具有频率=K/2的周期。注意到频率和周期之间的关系，频率对应的周期为2K/。由于我们考虑的最高频率为=n，因此我们所观测到的能够自己重复的最短阶段是2兀/k=2。如果=3兀/2，则周期是每4/3阶段重复自己。但是，如果数据是整数阶段观测的，因此数据可以观测的时间间隔仍然是每4个阶段观测到，这对应着周期频率是=k/2。例如，函数cos(k/2)t和函数cos(3k/2)t在整数的时间间隔上，它们的观测值是一致的。命题6.2也为计算在频率=2ki/T(j=1,2,M)上的样本周期

14、图的数值提供了方j法。定义：s()=(2+62)yj8kjjt=1sint=1sin(t-1)ycos(t-1),Ttjt=1因此可以得到：S()=S()=yj2kT”ycostt=1(t-1)+ysin(t-1)tjt=16.3估计总本谱EstimatingthePopulationSpectrum上面我们介绍了母体谱的意义和性质，下面我们面对的问题是：获得了观测样本y,y,y以后，如何估计母体谱函数s()？12TY样本周期图的大样本性质一个显然的方法是利用样本周期图S()去估计母体谱函数s()。但是，这种方法具yY有显著的限制。假设对于无限移动平均过程而言：Y=中tjtjj=0这里系数中,

15、是绝对可加的,，是具有均值E()=0和方差var()=b2的独jj=0tt-,tt立同分布序列，假设s(o)是如上定义的母体谱函数，且对所有的，都有s(0)0。假YY设S(0)是如上定义的样本谱函数，Fuller(1976)证明了，对o工o和充分大的样本容量t，y样本周期图与母体谱函数之比的二倍具有下述渐近分布：2s(o)y心2(2)s(o)Y进一步，如果九工o，也有:2S(九)ys(九)Y并且上述两个渐近分布的随机变量是相互独立的。注意到2(n)的均值等于自由度，因此有：E2s(o)ys(o)LY=2因为s(o)是母体数量，不是一个随机变量，因此上式也可以表示成为:YE斤(o)=s(o)yY因此，对充分大的样本容量，样本周期函数为母体谱提供了一个渐近无偏估计。母体谱的参数化估计假设我们认为数据可以由ARMA(p,q)模型表示：Y=+-Y+-Y+-Y+t1t12t2ptpt1t12t2qtq这里是具有方差b2的白噪声。这时一个估计母体谱的出色方法是先利用前面介绍的t极大似然估计估计参数,-，-,，-,b2，具有