北航教学课件材料力学第二章

1、本次课程作业:2-1, 2-2, 2-5, 2-7, 2-8返回 2-1 引 言 第2章 轴向拉伸与压缩返回总目录 承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的应用非常广泛。 一些机器和结构中所用的各种紧固螺栓，在紧固时，要对螺栓施加预紧力，螺栓承受轴向拉力，将发生伸长变形。 承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的应用非常广泛。 由汽缸、活塞、连杆所组成的机构中，不仅连接汽缸缸体和汽缸盖的螺栓承受轴向拉力，带动活塞运动的连杆由于两端都是铰链约束，因而也是承受轴向载荷的杆件。房屋支承结构斜拉桥承受拉力的钢缆 拉、压的特点：1.两端受力沿轴线，大小相等， 方向相反 2. 变形 沿轴线拉压杆：以轴向拉压为主要变形

2、的杆件 本章主要介绍杆件承受拉伸和压缩的基本问题，包括：内力、应力、变形；材料在拉伸和压缩时的力学性能以及刚度与强度问题。 2.2 轴力与轴力图杆件的内力图 :轴力图与扭矩图 剪力图与弯矩图 弹性杆件在外力作用下若保持平衡，则从其上截取的任意部分也必须保持平衡。前者称为整体平衡或总体平衡（overall equilibrium）；后者称为局部平衡（loca1equilibrium）。 整体平衡与局部平衡的概念 基本概念与基本方法 整体是指杆件所代表的某一构件；局部是指：可以是用一截面将杆截成的两部分中的任一部分；也可以是无限接近的两个截面所截出的一微段；还可以是围绕某一点截取的微元或微元的局部

3、；等等。 整体平衡与局部平衡的概念 基本概念与基本方法 内力与外力的相依关系 基本概念与基本方法 应用截面法可以证明，当杆件上的外力（包括载荷与约束力）沿杆的轴线方向发生突变时，内力的变化规律也将发生变化。 内力与外力的相依关系 基本概念与基本方法 所谓外力突变，是指有集中力、集中力偶作用的情形；分布载荷间断或分布载荷集度发生突变的情形。 内力与外力的相依关系 基本概念与基本方法 所谓内力变化规律是指表示内力变化的函数或变化的图线。这表明，如果在两个外力作用点之间的杆件上没有其他外力作用，则这一段杆件所有横截面上的内力可以用同一个数学方程或者同一图线描述。 根据以上分析，在一段杆上，内力按某一

4、种函数规律变化，这一段杆的两个端截面称为控制面（control cross-section）。据此，下列截面均可为控制面： 集中力作用点的两侧截面； 集中力偶作用点的两侧截面； 均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。 基本概念与基本方法 控制面 注意: 截面不能刚好截在外力作用点处 外力规律发生变化截面集中力、集中力偶作用点、分布荷载的起点和终点处的横截面。 基本概念与基本方法 控制面 同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号。 基本概念与基本方法 杆件内力分量的正负号规则 拉为正,压为负CAB 轴力图 轴力图与扭矩图 直杆，A端固定，在B、C两处作用有集中载荷F1和F2，其中F

5、15 kN，F210 kN。F1F2llCABllF1F2FA试画出：杆件的轴力图。 例题1解：1. 确定A处的约束力 A处虽然是固定端约束，但由于杆件只有轴向载荷作用，所以只有一个轴向的约束力FA。由平衡方程 求得 FA5 kN 轴力图与扭矩图 轴力图例题 2 解：2. 确定控制面 3. 应用截面法求控制面上的轴力 用假想截面分别从控制面A、 B 、B、 C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡。 CABF1F2llCABllF1F2FA 在集中载荷F2、约束力FA作用处的A、C截面，以及集中载荷F1作用点B处的上、下两侧横截面都是控制面。 BB 轴力图

6、与扭矩图 轴力图例题 2 3.应用截面法求控制面上的轴力 用假想截面分别从控制面A、 B 、B、 C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡，求得各截面上的轴力： CABllF1F2FABBCABllF1F2FNA 轴力图与扭矩图 轴力图例题 2 3. 应用截面法应用截面法求控制面上的轴力用假想截面分别从控制面A、 B 、B、C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡，求得各截面上的轴力： CABllF1F2FABBCBlF1F2BFN B 轴力图与扭矩图 轴力图例题 2 3. 应用截面法应用截面法求控制面上的轴力 用假想

7、截面分别从控制面A、 B 、B、C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡，求得各截面上的轴力： CABllF1F2FABBFN BClF2B 轴力图 轴力图例题 2 3. 应用截面法应用截面法求控制面上的轴力 用假想截面分别从控制面A、 B 、B、C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡，求得各截面上的轴力： CABllF1F2FABBFN CClF2FN/kNOx 轴力图例题 2 CABF1F2llCABllF1F2FNAFN B CBlF1F2BFN BClF2BFN CClF2 轴力图 b5b10c105a根据以

8、上分析，绘制轴力图的方法 轴力图 轴力图 确定约束力； 根据杆件上作用的载荷以及约束力，确定控制面，也就是轴力图的分段点； 应用截面法，用假想截面从控制面处将杆件截开，在截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开的部分杆件建立平衡方程，确定控制面上的轴力 建立FNx坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系中，画出轴力图。 Page27 观察拉压杆受力时的变形特点：假设： 1. 纵线与横线仍为直线，横线仍垂直于纵线； 2. 横线沿轴线方向平移。观察结果：平面假设横截面仍保持为平面，且仍垂直于杆件轴线；FF2-3拉压杆的应力与圣维南原理Page28平面假设正应变沿横截面均匀分布横截面上没有切应变

9、 当外力沿着杆件的轴线作用时，其横截面上只有轴力一个内力分量。与轴力相对应，杆件横截面上将只有正应力。 应力计算 拉伸与压缩杆件的应力与变形 很多情形下，杆件在轴力作用下产生均匀的伸长或缩短变形，因此，根据材料均匀性的假定，杆件横截面上的应力均匀分布，这时横截面上的正应力为 其中FNx横截面上的轴力，由截面法求得；A横截面面积。 应力计算 拉伸与压缩杆件的应力 结论与讨论 拉伸与压缩杆件斜截面上的应力 考察一橡皮拉杆模型，其表面画有一正置小方格和一斜置小方格 受力后，正置小方块的直角并未发生改变，而斜置小方格变成了菱形，直角发生变化。这种现象表明，在拉、压杆件中，虽然横截面上只有正应力，但在斜

10、截面方向却产生剪切变形，这种剪切变形必然与斜截面上的切应力有关。 拉伸与压缩杆件斜截面上的应力 为确定拉(压)杆斜截面上的应力，可以用假想截面沿斜截面方向将杆截开，斜截面法线与杆轴线的夹角设为。考察截开后任意部分的平衡，求得该斜截面上的总内力 结论与讨论 拉伸与压缩杆件斜截面上的应力 力FR对斜截面而言，既非轴力又非剪力，故需将其分解为沿斜截面法线和切线方向上的分量： FNx和FQ 结论与讨论 拉伸与压缩杆件斜截面上的应力 FN和FQ分别由整个斜截面上的正应力和切应力所组成。 结论与讨论 拉伸与压缩杆件斜截面上的应力 在轴向均匀拉伸或压缩的情形下，两个相互平行的相邻斜截面之间的变形也是均匀的，

11、因此，可以认为斜截面上的正应力和切应力都是均匀分布的。于是斜截面上正应力和切应力分别为 其中，x为杆横截面上的正应力;A 为斜截面面积 结论与讨论 拉伸与压缩杆件斜截面上的应力 拉压杆斜截面上的应力公式也可以通过考察杆件上的微元而求得。 以相距很近的两横截面和两纵截面从杆内截取微小单元体，简称微元。所取微元只有左、右面上受有正应力x 。 结论与讨论 拉伸与压缩杆件斜截面上的应力 将微元沿指定斜截面（）截开，令斜截面上的正应力和切应力分别为和 。并令微元斜截面的面积为dA。根据平衡方程有 据此可以得到与前面完全相同的结果。 结论与讨论 拉伸与压缩杆件斜截面上的应力 上述结果表明，杆件承受拉伸或压

12、缩时，横截面上只有正应力；斜截面上则既有正应力又有切应力。而且，对于不同倾角的斜截面，其上的正应力和切应力各不相同。 结论与讨论 拉伸与压缩杆件斜截面上的应力 在0的截面（即横截面）上， 取最大值，即 在45的斜截面上， 取最大值，即 在这一斜截面上，除切应力外，还存在正应力，其值为 结论与讨论 拉伸与压缩杆件斜截面上的应力 由于微元取得很小，上述微元斜面上的应力，实际上就是过一点处不同方向面的应力。因此，当论及应力时，必须指明是哪一点处、哪一个方向面上的应力。 结论与讨论 拉伸与压缩杆件斜截面上的应力 当杆端承受集中载荷或其它非均匀分布载荷时，杆件并非所有横截面都能保持平面，从而产生均匀的轴

13、向变形。这种情形下，上述正应力公式不是对杆件上的所有横截面都适用。 结论与讨论 关于加力点附近区域的应力分布 三、圣维南原理（Saint -Venant principle) 由来应力均匀分布的范围多大？ (拉压公式适用范围） 法国科学家Saint-Venant指出： 距外力作用部位相当远处，应力分布同外力作用方式无关，只同等效力有关 实验表明，当用静力等效的外力相互取代时，如用集中力取代静力等效的分布力系，除在外力作用区域内有明显差别外，在距外力作用区域略远处，上述替代所造成的影响就非常微小，可以忽略不计。这就是圣维南原理。 圣维南像 力作用于杆端的分布方式，只影响杆端局部范围的应力分布，影

14、响区的轴向范围约离杆端1-2个杆的横向尺寸。返回 拉伸与压缩时材料的力学性能 返回总目录 材料拉伸时的应力一应变曲线 韧性材料拉伸时的力学性能 脆性材料拉伸时的力学性能 拉伸与压缩时材料的力学性能 压缩时材料的力学性能 进行拉伸实验，首先需要将被试验的材料按国家标准制成标准试样(standard specimen);然后将试样安装在试验机上，使试样承受轴向拉伸载荷。通过缓慢的加载过程，试验机自动记录下试样所受的载荷和变形，得到应力与应变的关系曲线，称为应力一应变曲线(stress-strain curve)。 不同的材料，其应力一应变曲线有很大的差异。 材料拉伸时的应力一应变曲线 拉伸与压缩时

15、材料的力学性能 为了得到应力一应变曲线，需要将给定的材料作成标准试样（specimen）,在材料试验机上，进行拉伸或压缩实验（tensile test,compression test）。 试验时，试样通过卡具或夹具安装在试验机上。试验机通过上下夹头的相对移动将轴向载荷加在试样上。 材料拉伸时的应力一应变曲线 拉伸与压缩时材料的力学性能 脆性材料拉伸时的应力应变曲线 材料拉伸时的应力一应变曲线 拉伸与压缩时材料的力学性能 材料拉伸时的应力一应变曲线 拉伸与压缩时材料的力学性能 韧性金属材料材料拉伸时的应力应变曲线 韧性材料拉伸时的力学性能 拉伸与压缩时材料的力学性能 韧性材料拉伸时的力学性能

16、拉伸与压缩时材料的力学性能 弹性模量 应力一应变曲线中的直线段称为线弹性阶段。弹性阶段中的应力与应变成正比，比例常数即为材料的弹性模量E。对于大多数脆性材料，其应力应变曲线上没有明显的直线段，铸铁的应力应变曲线即属此例。因为没有明显的直线部分，常用割线的斜率作为这类材料的弹性模量，称为割线模量。 比例极限与弹性极限 应力一应变曲线上线弹性阶段的应力最高限称为比例极限(proportional limit)，用表示。线弹性阶段之后，应力应变曲线上有一小段微弯的曲线，这表示应力超过比例极限以后，应力与应变不再成正比关系，但是，如果在这一阶段，卸去试样上的载荷，试样的变形将随之消失。这表明这一阶段内

17、的变形都是弹性变形，因而包括线弹性阶段在内，统称为弹性阶段。弹性阶段的应力最高限称为弹性极限(elastic limit)，用表示。大部分韧性材料比例极限与弹性极限极为接近，只有通过精密测量才能加以区分。 韧性材料拉伸时的力学性能 拉伸与压缩时材料的力学性能 p 比例极限e 弹性极限 韧性材料拉伸时的力学性能 拉伸与压缩时材料的力学性能 屈服应力 许多韧性材料的应力一应变曲线中，在弹性阶段之后，出现近似的水平段，这一阶段中应力几乎不变，而变形急剧增加，这种现象称为屈服(yield)，例如图610中所示曲线的BC段。这一阶段曲线的最低点的应力值称为屈服应力或屈服强度(yield stress)，

18、用表示。 对于没有明显屈服阶段的韧性材料，工程上则规定产生0.2塑性应变时的应力值为其屈服应力，称为材料的条件屈服应力(offset yield stress)，用表示。 韧性材料拉伸时的力学性能 拉伸与压缩时材料的力学性能 s 屈服强度 韧性材料拉伸时的力学性能 拉伸与压缩时材料的力学性能 0.2条件屈服应力塑性应变等于0.2时的应力值 韧性材料拉伸时的力学性能 拉伸与压缩时材料的力学性能 韧性材料拉伸时的力学性能 拉伸与压缩时材料的力学性能 强度极限 应力超过屈服应力或条件屈服应力后，要使试样继续变形，必须再继续增加载荷。这一阶段称为强化(strengthening)阶段。这一阶段应力的最高限称为强度极限(strength limit)，用表示。 应变硬化 韧性材料拉伸时的力学性能 拉伸与压缩时材料的力学性能 韧性材料拉伸时的力学性能 拉伸与压缩时材料的力学性能 颈缩与断裂 某些韧性材料(例如低碳钢和铜)，应力超过强度极限以后，试样开始发生局部变形，局部变形区域内横截面尺寸急剧缩小，这种现象称为颈缩(neck)。出现颈缩之后，试样变形所需拉力相应减小，应力一应变曲线出现下降阶段，直至试样被拉断。 韧性材料拉伸时的力学性能 拉伸与压缩时材料的力学性能 韧性材料拉伸时的力学性能