一个收敛级数的cauchy乘积收敛性有趣问题

1、一个收敛Cauchy 乘积收敛性的有级数经提供11与问题：若0 0，n1 (kk kn 收敛的条件是什n1 n1n1记Cn ，则 (1)n1一个收敛Cauchy 乘积收敛性的有级数经提供11与问题：若0 0，n1 (kk kn 收敛的条件是什n1 n1n1记Cn ，则 (1)n1 (n 1 k)k1 n 1kk1 当1时，考虑函x(n1x)在1,n上的最大值，由x(n 1 x) x1(n1 x)x(n1 x1(n1x)(n1)( max x(n1 x) (n 所n1nkC ，n(nk(n k n1 n1从而limCn 0k (nkk当1时，再nSn (1)k1Ckkn1 n1lim存在，从nk

2、 (n kk先证limCn0事实上，注意k1k(2n 1 k2n1kkn1k(2n1knk1k (2n1，k1n11kk(2n1 kk kk (2n12n k(2n 1k)k (2n1kkkknn(n(nk1 kk n 1 1 nkk11 (nx(nkkkk11dx11dx nn11(n1) (n1)1111111n11kk(2n1 kk kk (2n12n k(2n 1k)k (2n1kkkknn(n(nk1 kk n 1 1 nkk11 (nx(nkkkk11dx11dx nn11(n1) (n1)111111nxd lnn 01(n1)(n当1时 1 dx 1 1 ( 1 1)n1(n1

3、)(n1)1 111n1111) 1 0(n1nn所以，对任意 0 lim 1dx 0nn (n1同理，对任意 0 lim 1dx 0nn (n1 同理，注意2n1 nk(2n2kk k (2n2k)(nk (2n2k) kn 2k(nk (2n2kknn(n(n2) k1(n2)k1 knn1kkdx dx 11 (n(n(nkkkk11dx11xdx1nn11.(n2)(n2)(n11 再证lim Sn存在注意到lim Cn 0 以n(1)k1Ck C 2k C2k1，S2n2 S2n1 C，1kkn只须证明lim C2k C2k11dx11xdx1nn11.(n2)(n2)(n11 再证

4、lim Sn存在注意到lim Cn 0 以n(1)k1Ck C 2k C2k1，S2n2 S2n1 C，1kkn只须证明lim C2k C2k 1 存在，即级数C2n C2n1 收敛即要证limSn n k事实上，注意k1k(2n 1 kn1k(2n1 knk11k，k(2n1 k)kkn1k(2n2k 2k1k(2n2knk1，k(2n2k)kC2n C2n2n1 k (2n1kk (2n2k)knk1 (2n 1 k)(2n2kkk2nkkn1k(2n1kk(2n2k(nn1 1 nk(2n 1 k(2n2k(n， (2n 1 k(2n2kkn111n111kP ，Q ， n(2n 1 k)(2n2k(2n 1k(2n2kkkk则1(nP Q C，2n1(nP Q 1在2n1 k2n 2k （k 12,n ）上运用微分中值公式得对n (2n1 k,2n2使得 n111n1P (2n1k)(2n2kkkkkn1在2n1 k2n 2k （k 12,n ）上运用微分中值公式得对n (2n1 k,2n2使得 n111n1P (2n1k)(2n2kkkkkn 1 nk ndxk (2n1k)(n1)k1k当1时 lnn 1 dxnPn1所以Pn收敛当 1 时，注意 1 1 n1，dx ，1 n1所以Pn也收