人教A版高中数学必修3《三章概率33几何概型332均匀随机数的产生》课教案12

1、对两道几何概型问题的进一步研究教案学习目标:【知识与技术】娴熟掌握几何概型的观点；能够选择适合的察看角度，成立相应的几何概型模型，利用公式求解概率；理解随机模拟过程，能够利用数学软件进行实践操作.【过程与方法】1.经过对基本观点的稳固，进一步加深对几何概型中“基本领件”、“等可能”的认识；从“会面问题”出发，指引自主研究，发现问题背后的数学模型，并试试用已有知识解决问题；联合随机数模拟介绍“面积估量问题”，借助数学软件解决较为复杂的概率问题.【感情、态度和价值观】经过对实质问题的研究，培育数学建模、直观想象、数据剖析等学科核心修养；2.3.借助多媒体设施与数学软件，感觉计算机技术对数学识题研究

2、的促使作用和宽泛的应用价值.要点难点教课要点：几何概型公式的应用教课难点：成立数学模型，将问题转变为几何概型问题.教课过程一、温故：几何概型的观点：假如每个事件发生的概率只与组成该事件地区的长度（面积或体积）成比率，则称这样的概率模型为几何概型.几何概型有哪些基本特点？（1）可能出现的结果有个；（2）每个结果发生的可能性.几何概型事件A的概率计算公式P(A)组成事件A的地区的试验的所有结果组成的地区注：从基本观点可知，在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某地区内的可能性大小仅与该地区的胸怀成正比，而与该地区的地点与形状没关应认真剖析问题中的条件，确立适合的几何胸怀.二

3、、几何概型实质问题研究：例1:甲、乙两人相约于下午1:002:00之间到某车站搭车出门，他们抵达车站的时间是随机的两人商定先到者等候另一个人15分钟，过时即可自行搭车离开，求两人一同搭车的概率.yOx例1变式1：甲、乙两人相约于下午1:002:00之间到某车站搭车出门，他们抵达车站的时间是随机的，而且在1:002:00之间有四班客车开出，开车时间分别是1:15，1:30，1:45，2:00，若两人商定先抵达的人见车便乘，求两人能乘同一班车的概率.yOx(猜想三人状况下，同乘一辆车的概率)例1变式2：在上一题的条件下，若两人商定最多等候一班车，求两人能乘同一班车的概率yOx小结：此题是几何概型中

4、的典型例题会面问题及其变式，数学知识之间互相浸透，联系密切，解决几何概型问题，一般先依据问题成立相应的数学模型，用数学语言表述条件，将事件在相应的一维、二维或三维空间中表示出来，从而获得所求概率.因此解决问题的要点，在于经过察看确立概率问题中的基本领件是什么，在古典概型中我们能够利用(整数值)随机数来模拟古典概型的问题，那么在几何概型中我们能不可以经过随机数来模拟试验呢？假如能，我们又怎样产生随机数呢？这是接下来要解决的问题三、利用均匀随机数实现随机模拟：基本思想：随机模拟的要点是把实质问题中事件A及基本领件整体对应的地区转变为随机数的范围重生成有限组均匀随机数，用于近似表示无穷个基本领件均匀

5、随机数的产生：我们常利用计算器或数学软件生成均匀随机数进行随机模拟.例2：利用随机模拟的方法近似计算抛物线yx2与直线y1及y轴围成关闭图形的面积S，能够用图形计算软件Geogebra生成随机数进行模拟思想以及程序框图如右图所示，利用Geogebra生成随机散点的步骤：生成地区设置变量a,控制随机数个数生成二维平面散点计算散点数目进行估值小组活动：请设计一个随机试验，联合相关面积的几何概型问题，利用均匀随机数估量圆周率，并试试用图形计算器Geogebra实现模拟.四、总结以及反省：1、理解几何概型的基本观点2、依据问题成立相应的数学模型，用数学语言表述条件3、利用计算机进行随机模拟可近似计算几

6、何概型问题，对概率进行预计附录：数学史上的经典实验，布丰投针实验(网络阅读资料)公元1777年的一天，法国科学家D?布丰(D.Buffon17071788)的家里来宾满堂，本来他们是应主人的邀请前来观看一次奇异试验的。试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地取出一张纸来，纸上早先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原来准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。然后布丰先生宣告：“请各位把这些小针一根一根往纸上扔吧!可是，大家务必把扔下的针能否与纸上的平行线订交告诉我。”客人们不知布丰先生要玩什么花招，只能客随想法，一个个加入了试验的队列。一把小针扔完了，把它捡起来又扔，而

7、布丰先生自己则不断地在一旁数着、记住，这样这般地繁忙了快要一个钟头。最后，布丰先生大声宣告：“先生们，我记录了各位方才的投针结果，共投针2212次，此中与平行线订交的704次。总数2212与订交数704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生成心停了停，并对大家报以神奇的一笑，接着存心提大腔调说：“先生们，这就是圆周率的近似值!”众客哗然，一时疑议纷繁，大家感觉无缘无故：“圆周率?这可与圆半点也不沾边的呀!”布丰先生仿佛猜透了大家的心思，沾沾自喜地解说道：“各位，这里用的是概率的原理，假如大家有耐心的话，再增添投针的次数，还可以获得的更精准的近似值。可是，要想弄清此间的道理，只能请大家去看敝人

8、的新作了。”随后布丰先生扬了扬自己手上的一本或然性算术试验的书。在这类纷纭凌乱的场合出现，实在是出乎人们的预料，但是它倒是确切不移的事实。因为投针试验的问题，是布丰先生最初提出的，所以数学史上就称它为布丰问题，布丰得出的一般结果是：假如纸上两平行线间相距为d，小针长为l，投针的次数为n，所以投的针中间与平行线订交的次数的m，那么当n相当大时有：2ln，在上边故事中，针长l恰等于平行线间距离d的一半，所md以代入上边公式简化得：n/m.值得一提的是，以后有许多人用相同的方法来计算值。此中最为奇异的要算意大利数学家拉兹瑞尼(Lazzerini)。他在1901年声称进行了多次的投针试验，每次投针数为

9、3408次，均匀订交数为2169次，代入布丰公式求得3.1415929。这与的精准值对比，向来到小数点后第七位才出现不一样!用这样轻盈的方法，求得这样高精度的值，这真是天工造物!若是祖冲之再世，也会为之惊讶得目瞪口呆!可是关于拉兹瑞尼的结果，人们一直非议甚多，究其原由，也不可以说都没有道理，因为在数学中能够证明，最靠近真值的，分母较小的几个分数是：(1)(22)/73疏.14(率)(2)(333)/(106)3.1415(3)(355)/(113)3.1415929(密率)(4)(103993)/(33102)3.141592653而拉兹瑞尼竟然投出了密率，关于万次以内的扔掷，不行能有更好的结

10、果了。难怪有许多人提出思疑。但多半人基于拉兹瑞尼一世勤恳慎重，以为他的确是“碰上了好运气”。事实终究怎样，现在也无从考察了!不如思虑一下布丰先生投针试验的原理，其实这也没什么神奇，下边是一种简单而奇妙的证明：找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰好等于平行线间的距离d。能够想象获得，关于这样的圆圈来说，不论怎么扔下，都将和平行线有两个交点。所以，假如圆圈扔下的次数为n次，那么相交的交点总数必为2n。此刻假想把圆圈拉直，变为一条长为d的铁丝。明显，这样的铁丝扔下时与平行线订交的情形要比圆圈复杂些，可能有4个交点，3个交点，2个交点，1个交点，甚至于都不订交。因为圆圈和直线的长度同为d，依据时机均等的原理，当它们扔掷次数许多，且相等时，二者与平行线组交点的总数的预计值也是相同的。这就是说，当长为d的铁丝扔下n次时，与平行线订交的交点总数应大概为2n。此刻转而议论铁丝长为l的情况。当扔掷次数n增大的时候，这类铁丝跟平行线订交的交点总数m应该与长度l成