数学文化七课件

1、从勾股定理1开篇： 我们感到有可能和比我们水平高许多的数学接触，这种数学的力量和美尽管只能简单地一瞥，也构成了丰富我们思想的基础，并在我们作为数学使用者和数学教师的朴素活动中给了我们长期反省的机会。LFelix22引言： 本章涉及问题：二元一次不定方程，勾股定理及有关问题和费马大定理。我们从初中就开始了方程的学习,如一元二次方程二元一次方程35.1一次不定方程： 确定性方程： 不定方程的特点是变量个数多于方程的个数，并且解有某些限制，如限制为正整数或有理数等。不定方程的解比较复杂。不定方程的研究起源于大约公元3世纪的丢番图（Diophantus，活动于公元250年前后）。55.1一次不定方程：

2、 我国古代的商高定理”勾三股四玄五”就属于此类,商高定理远在丢番图之前。 是公元前1世纪的著作，是一部讲盖天学说的天文学著作，书中有较复杂的开方和分数运算。而其中的商高是大约活动在公元前1000年左右。 对不定方程研究的内容： 1) 解的存在性问题 2) 解的个数问题 3) 确定解的完全组 4) 解的界的估计。65.1一次不定方程： 公元五世纪我国古代数学家张丘建在他的算经提出了二元一次不定方程问题。其中最后一题是世界著名的百鸡问题： “鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。百钱买百鸡。问鸡翁母雏各几何？”785.1.1通解公式 105.1.2整数的模 定义一个整数集合构成一个模，如

3、果它对加减是自封闭的。定理21）任何模中必含有0；2）若a,b在模中，则ma+nb也在模中，其中m,n为任意整数。定理3对任何两个整数a和b,所有形如am+bn的全体整数形成一个模。定理4任何一个非0的模都是某正整数倍数所组成的集合。 从以上几个定理，特别是定理4，可以大体上看出模的结构，它是某个整数的倍数的集合，这个整数是这个集合的最小数。125.1.3可解的充要条件定理6二元一次方程 ax+by=c 有解的充要条件是（a,b）|c. 例：判断下列二元一次不定方程是否有解： 1.10 x-7y=17 2.117x+21y=38 3.18x-24y=9 4.107x+37y=2514 5.1.

4、4求二元一次方程的解求解的过程一般分为三步：判断方程是否有解,先求出最大公约数(a,b),并判断是否有(a,b) |c,若(a,b)不能整除c,则其方程无解。若（a,b）|c，则方程有解，设法求出一组特解，然后利用公式求出通解。如果特解不易用视察法求，则用辗转相除法求解。 例:求107x+37y=25的一切整数解. 例:求117x+21y=38的解.155.1.5二元一次方程的非负解 有些问题只要求非负解或正解,如百鸡问题,我们这一节只讨论非负解的问题.当a,b异号时,不定方程有无穷多组非负解,所以我们只考虑a,b为正数的情况，而且可以只考虑（a,b)=1的情况。 165.2勾股定理： 5.2

5、.1问题A.设x,y分别是直角三角形的两直角边的长度,而z是斜边的长度,求x,y,z皆为整数的直角三角形,或求方程的所有整数解。设x,y,z是任意三角形的三条边的长度,当x,y,z是整数时,求面积是整数的全体三角形。17c.求18定理1（勾股定理）若直角三角形的三条边的长度分别为a,b,c，其中c为斜边，则反过来，若三角形的三条边a,b,c满足则该三角形是直角三角形。5.2.2第一个重要定理勾股定理 20欧几里德的证明：正定理的证明： 图5-15.2.2第一个重要定理勾股定理 ABCGFHKEDLI21勾股定理包括几何和数论两个方面。几何方面指，直角三角形斜边的平方等两直角边的平方和。边的平方

6、的几何意义就是以该边为边的正方形的面积。因而勾股定理的几何方面就表现为面积。5.2.3勾股定理的几何方面23中国古代数学家赵爽（公元三世纪）的证明。5.2.3勾股定理的几何方面abc图5-324引理2定理25.2.4勾股定理的数论方面 26定理2的三种证明方法：初等方法、几何方法、高斯整数法已知x边求本原三解形已知y边求本原三解形已知z边求本原三解形5.2.4勾股定理的数论方面 5.3与勾股定理有关的问题 27234513,4,515,8,1725,12,1321,20,2937,24,2549,40,4128费马在读算术时，在有不定方程的那页边上，写出了具有历史意义的一段文字：“但一个立方数

7、不能分拆为两个立方数，一个四次方数不能分拆为两个四次方数。一般说来，除平方之外，任何次幂都不能分拆为两个同次幂。我发现了一个真正奇妙的证明，但书上的空白太小，写不下。”5. 4.1费马大定理 30费马已声称他证明了这一事实：不存在正整数x,y,z,使这个命题以前称为费马猜想，95以来称为费马大定理或费马最后定理。费马是否证明了这一定理呢？然而很可能的是，他像成千上万的后人一样，自以为证了出来实际上却是证错了。5. 4.1费马大定理 31问题的解决：1995年，世界权威的学术刊物数学年刊以满满一整期的篇幅发表了英国数学家安德鲁怀尔斯（A.Wiles,1953.4.11）的108页的论文模曲线与费

8、马大定理，解决了这一提出时间长达358年的猜想。1996年他因此获得沃尔夫奖，1998年又荣获菲尔兹特别奖。他的工作被誉为“20世纪最伟大的数学成就”！5. 4.1费马大定理 32费马大定理的意义：费马大定理不仅是数论中的一个著名难题，更重要的是，正如著名数学家希尔伯特指出的，它是一只“会下金蛋的鹅”，它给整个数学带来了巨大财富，促进了代数数论和代数几何的建立，还发展了一系列先进的数学技术，形成了现代数学无尽的前沿。5. 4.1费马大定理 33费马发明了无穷递降法并以此自豪。他肯定的说,他的所有证明都使用这一方法。这一方法往往用来证明整数的某些性质或关系式不可能成立。证明的方法是，如果这些性质

9、对任何正整数成立就会对某些更小的正整数成立。而且还有更小的正整数，所以这是不可能的。5. 4.2无穷递降法： 34下面我们用费马的无穷递降法来证明下面这个比较简单的定理。定理1定理2定理是定理的推论5. 4.2无穷递降法： 35只要把无穷递降法与勾股定理的证明结合起来就可以证明n=4的费马定理。系对任何正整数m,方程 无解。5. 4.3 n=4的费马定理： 36欧拉证明了n=3的情况。在1753年8月4日给哥德巴赫的信中,他声称证明了n=3时的费马大定理,但没有给出证明。直到1770年，他才在代数学入门中给出了证明，成为费马大定理特例中首先公开发表的证明，但遗憾的是，他的证明有严重的缺陷。幸好

10、在n=3时这个缺陷是可以弥补的。欧拉的证明方法：在无穷下降法的基础上，用到了 一类的数，可惜这一方法不能推广到证明其它指数的情形。5. 4.4 n=3的情形： 371816年，法国科学院首次宣布为费马大定理设奖，奖励由奖章和奖金组成，但该奖项一直无人领取；1850年，又二次设奖，同样无人领取，可见证明的难度。1825年，法国数学家勒让德证明了P=5的情形，同时证明的还有德国数学家狄利克雷；1832年，狄利克雷证明了n=14的情形；1839年，法国数学家拉梅证明了n=7的情形。5. 4.5 初等方法的结束 38拉梅利用n次单位复根，由此得出分圆整数，提出了新的证明方法， 1847年3月1日，拉梅

11、向巴黎科学院的部分院士作报告，宣布他证明了费马猜想，但这方法中有一个致命的错误，并被刘维尔当场指出，初等方法至此告一段落。5. 4.5 初等方法的结束 39到1993年，数学家证明了当n不超过400万时费马定理成立。欧拉猜想：一个平方数可以分解为两个平方数之和，一个立方数至少要分解为三个立方数之和，一个四次方数不能分解为少于四个四次方数之和但在欧拉后200年，兰德和帕金用计算机算出5. 4.6 热尔曼的贡献： 40诺.埃尔基斯在哈佛证明，存在无穷多个情况，一个四次方数可以分解为三个四次方数之和，最小的情况是：这说明欧拉的猜想是不对的。5. 4.6 热尔曼的贡献： 质疑无罪，权威也有犯错的时候！

12、415. 4.6 热尔曼的贡献： 热尔曼（1776.4.1-1831.6.27）法国数学家,她是一位富商的女儿。常常设法从当地的图书馆里借书籍，并且在家自学拉丁文、希腊文和数学。热尔曼进不了巴黎综合工科学校，只能借阅其他学生的笔记。后来她冒用男子之名寄出了一篇文章。拉格朗日对这份报告的价值惊叹不已。当他发现作者是名妇女以后，便做了她的保护人，这也是很值得赞扬的。热尔曼甚至使自负的高斯也注意到了她的成就，高斯保举她获得格廷根大学名誉博士学位。但是热尔曼在接受这个学位之前就离开了人世。42热尔曼费马定理上的贡献：热尔曼首先对指数n进行划分。分成第一种从属情况和第二种从属情况，第一种从属情况是指p除

13、不尽x,y,z中的任何一个，第二种从属情况是指p至少能除尽x,y,z中的一个。定理 如果p是奇素数，2p+1也是奇素数，则对指数p，费马大定理的第一种情形成立。定理 设n是一个奇素数，若存在一个辅助素数p，具有下述性质：5. 4.6 热尔曼的贡献： 43利用这个定理，热尔曼证明了，对小于100的素数，费马定理的第一种情形成立，勒让德把这一结果推广到所有小于197的素数，热尔曼的定理还适合于许多其它素数的情况。5. 4.6 热尔曼的贡献： 科学道路，巾帼不让须眉！4418441847年，德国数学家库默尔做出新的突破。利用分圆数域库默尔证明了正则素数时的费马大定理，他找到了正则素数的判别法。因为只解决了部分问题，因而法国科学院只授与他奖章而没有授与他奖金。库默尔创立的理想数论开辟了代数数论研究，成为费马大定理证明史上的一个里程碑。5. 4.7 库默尔的工作和理想数： 45 从丢番图的关于不定方程的研究，可以看到不定方程的解是一条曲线，后来人们重点研究各种曲线的特点。从这种方法入手，1983年法尔廷斯证明了蒙德尔猜想，这是费马大定理的第二次突破。法尔廷斯定理5. 4.8 从丢番图到维尔斯： 461955年，日本数学家谷山一志村猜想：有理数域上的每一条椭圆曲线都是模曲线。1986年，维尔斯声称他将证明费马大定理。1993年6月23日，维尔