质量专业基础理论与实务(初级)（DOC374）

1、第一章概率统计基础知识第一节质量特性性数据的统计计规律一、总体、个个体与样本产品的质量量可以用一个个或多个质量量特性来表示示。这里的特特性可以是定定量的，也可可以是定性的的。例如灯泡泡的寿命，钢钢的成分等都都是定量特性性；而按规范范判定产品为为“合格”或“不合格”，则是一种种定性特征。在质量管理理中，通常研研究一个过程程中生产的全全体产品。在在统计中，将将研究、考察察对象的全体体称为总体。例例如某个工厂厂在一个月内内按照一定材材料及一定工工艺生产的一一批灯泡。总总体是由个体体组成的。在在上例中，这这批灯泡中的的每个特定的的灯泡都是一一个个体。如如果总体中包包含的个体数数不大，而对对产品质量特特

2、性的观测(例如测量)手段不是破破坏性的，工工作量也不大大，那么有可可能对总体中中的每个个体体都进行观测测，以得到每每个个体的质质量特性值。但但是如果总体体中的个体数数N很大，甚甚至是无限的的，或者观测测是破坏性的的或观测的费费用很大，那那么不可能对对总体中的每每个个体都进进行观测。通通常的做法是是从总体中抽抽取一个或多多个个体来进进行观测。抽抽出来的这一一部分个体组组成一个样本本，样本中所所包含的个体体数目称为样样本量。通过过对样本的观观测来对总体体特性进行研研究，是统计计的核心。上述总体、个个体和样本的的概念是统计计的基本概念念，从上面的的叙述中，这这些概念都可可以是具体的的产品。但有有时为

3、了表达达的方便，当当研究产品某某个特定的质质量特性X时时，也常把全全体产品的特特性看做为总总体，而把一一个具体产品品的特性值xx视为个体，把把从总体中抽抽出的由n个个产品的特性性值x1，x2，xn看做为一个个样本。例1.11-1从一一个工厂一个个月内生产的的一批灯泡中中抽取n=88个灯泡，进进行寿命试验验，得到这88个灯泡的使使用寿命为(单位为小时时):325，884，12444，8700，645，11423，11071，9992这这8个灯泡或或相应的使用用寿命即为一一个样本，样样本量n=88。从总体中抽抽取样本的方方法称为抽样样。为使抽取取的样本对总总体有代表性性，样本不能能是有选择的的，最

4、好应是是随机抽取的的，关于这一一点，以后我我们还要详细细解释。二、频数(频率)直方方图及累积频频数(频率)直方图为研究一批批产品的质量量情况，需要要研究它的某某个质量特性性(这里为了了叙述简单起起见，仅讨论论一个质量特特性，有必要要时也可以同同时讨论多个个质量特性)X的变化规规律。为此，从从这批产品(总体)中抽抽取一个样本本(设样本量量为n)，对对每个样本产产品进行该特特性的测量(观测)后得得到一组样本本观测值，记记为x1，x2，xn，这便是我我们通常说的的数据。为了研究数数据的变化规规律，需要对对数据进行一一定的加工整整理。直方图图是为研究数数据变化规律律而对数据进进行加工整理理的一种基本本

5、方法。下面面用一个例子子来说明直方方图的概念及及其作法。例1.11-2食品品厂用自动装装罐机生产罐罐头食品，从从一批罐头中中随机抽取1100个进行行称量，获得得罐头的净重重数据如下:为了解这组组数据的分布布规律，对数数据作如下整整理:(1)找出出这组数据中中的最大值xxmax及最小小值xminn，计算它们们的差R=xxmax-xmin，R称称为极值，也也就是这组数数据的取值范范围。在本例例中xmaxx=356，xxmin=3332，从而RR=356-332=224。(2)根据据数据个数，即即样本量n，决决定分组数kk及组距h。一批数据究究竟分多少组组，通常根据据n的多少而而定，不过这这也不是绝

6、对对的，表1.1-1是可可以参考的分分组数。选择k的原原则是要能显显示出数据中中所隐藏的规规律，组数不不能过多，但但也不能太少少。每一组的区区间长度，称称为组距。组组距可以相等等，也可以不不相等。组距距相等的情况况用得比较多多，不过也有有不少情形在在对应于数据据最大及最小小的一个或两两个组，使用用与其他组不不相等的组距距。对于完全全相等的组距距，通常取组组距h为接近近R/k的某某个整数值。在本例中，=100，取取k=9，RR/k=244/9=2.7，故取组组距h=3。(3)确定定组限，即每每个区间的端端点及组中值值。为了避免免一个数据可可能同时属于于两个组，因因此通常将各各组的区间确确定为左开

7、右右闭的:(a0，aa1，(a1，a2，(ak-11，ak通通常要求a00 xmax。在等等距分组时，aa1=a0+h，a2=a1+h，ak=ak-1+h，而而每一组的组组中值在本例中取取a0=331.5，则每组组的组限及组组中值见表11.1-2。(4)计算算落在每组的的数据的频数数及频率确定分组后后，统计每组组的频数，即即落在组中的的数据个数nni以及频率ffi=ni/n，列出出每组的频数数、频率表，见见表1.1-2。(5)作频频数频率直方方图在横轴上标标上每个组的的组限，以每每一组的区间间为底，以频频数(频率)为高画一个个矩形，所得得的图形称为为频数(频率率)直方图，如如图1.1-1。到在

8、本本例中频数直直方图及频率率直方图的形形状是完全一一致的。这是是因为分组是是等距的。在分组不完完全等距的情情形，在作频频率直方图时时，应当用每每个组的频率率与组距的比比值fi/hi为高作矩形形。此时以每每个矩形的面面积表示频率率。(6)累积积频数和累积积频率直方图图还有另一种种直方图使用用的是累积频频数和累积频频率。以累积积频率直方图图为例，首先先要计算累积积频率Fi，Fi是将这一组组的频率与前前面所有组的的频率累加，也也即第1组的的F1=f1，第2组的的F2=f1+f2，一般的，FFi=fj。本例中的的各组Fi值也见表11.1-2。如果以每组组的累积频率率Fi为高作矩形形，所得的直直方图称为

9、累累积频率直方方图，本例中中的累积频率率直方图如图图1.1-22所示。可以从直方方图获得数据据的分布规律律，其中包含含数据取值的的范围，以及及它们的集中中位置和分散散程度等信息息。应当引起注注意的是，如如果我们观测测的数据量(即样本量)n很大，而而分组又很细细，那么从频频率直方图及及累积频率直直方图可以分分别得到一根根光滑曲线，关关于这一点我我们将在本章章第三节详细细讨论。三、数据集集中位置的度度量对一组样本本数据，可以以用一些量表表示它们的集集中位置。这这些量中，常常用的有样本本均值、样本本中位数和样样本众数。(一)样本本均值样本均值也也称样本平均均数，记为，它它是样本数据据x1，x2，xn

10、的算术平均均数:例1.11-3轴直直径的一个nn=5的样本本观测值(单单位:cm)为:15.09，155.29，115.15，115.07，115.21，则则样本均值为为:=15.009+15.29+155.15+115.07+15.211)=15.162 对对于n较大的的分组数据，可可利用将每组组的组中组xxi用频率fi加权计算近近似的样本均均值:例1.1-44在例111.2中，1100个罐头头的净量的均均值按分组计计算为:=3330.01十33360.04十十3390.11+3570.01 =345008/1000=345.08样本均值是是使用最为广广泛的反映数数据集中位置置的度量。它它的

11、计算比较较简单，但缺缺点是它受极极端值的影响响比较大。(二)样本本中位数样本中位数数是表示数据据集中位置的的另一种重要要的度量，用用符号Me或或表示。在确确定样本中位位数时，需要要将所有样本本数据按其数数值大小从小小到大重新排排列成以下的的有序样本:x(1)，xx(2)，x(n)其中xx(1)=xmin，x(n)=xmax分别是是数据的最小小值与最大值值。样本中位数数定义为有序序样本中位置置居于中间的的数值，具体体地说:例1.11-5对例例1.1-33中的5个轴轴直径数据进进行按从小到到大的重新排排序，得到如如下有序样本本:15.077，15.009，15.15，155.21，115.29 这

12、里n=55为奇数，(n+1)/2=3，因因而样本中位位数Me=xx(3)=155.15。注意，在此此例中，中位位数15.115与均值115.1622很接近。与均值相比比，中位数不不受极端值的的影响。因此此在某些场合合，中位数比比均值更能代代表一组数据据的中心位置置。(三)样本本众数样本众数是是样本数据中中出现频率最最高的值，常常记为Modd。例如对例例1.1-22中的罐头净净量，1000个数据中，3344出现的的次数最多，为为12次，因因此Mod=344。样样本众数的主主要缺点是受受数据的随机机性影响比较较大，而且对对大的n，也也很难确定，有有时也不惟一一，此时较多多地采用分组组数据。在本本例

13、中第5组组(343.5，3466.5的频频率为0.330，是所有有组中最高的的，因而该组组的组中值3345可以作作为众数的估估计。注意到到该数与前面面定的3444相差不大。四、数据分分散程度的度度量一组数据总总是有差别的的，对一组质质量特性数据据，大小的差差异反映质量量的波动。也也有一些用来来表示数据内内部差异或分分散程度的量量，其中常用用的有样本极极差、样本方方差、样本标标准差和样本本变异系数。(一)样本本极差样本极差即即是样本数据据中最大值与与最小值之差差，用R表示示。对于有序序样本，极差差R为: R=x(nn)-x(1)(1.1-4)例如在例11.1-3，55个轴直径数数据的极差RR=1

14、5.221-15.09=0.12。样本极差只只利用了数据据中两个极端端值，因此它它对数据信息息的利用不够够充分，极差差常用于n不不大的情况。(二)样本本方差与标准准差数据的分散散程度可以用用每个数据xxi离其均值的差差xi-来表示，xxi-称为xi的离差。对对离差不能直直接取平均，因因为离差有正正有负，取平平均会正负相相抵，无法反反映分散的真真实情况。当当然可以先将将其取绝对值值，再进行平平均，这就是是平均绝对差差:但是由于对对绝对值的微微分性质较差差，理论研究究较为困难，因因此平均绝对对差使用并不不广泛。使用用最为广泛的的是用离差平平方来代替离离差的绝对值值，因而数据据的总波动用用离差平方和

15、和来表示，样本方方差定义为离离差平方和除除以n-1，用用s2表示:因为n个离离差的总和为为0，所以对对于n个独立立数据，独立立的离差个数数只有n-11个，称n-1为离差(或离差平方方和)的自由由度，因此样样本方差是用用n-1而不不是用n除离离差平方和。样本方差正正的算术平方方根称为样本本标准差，即即:注意标准差差的量纲与数数据的量纲一一致。在具体计算算时，离差平平方和也可用用以下两个简简便的公式:因此样本方方差计算可用用以下公式:对例1.11-3的轴直直径数据，离离差平方和、样样本方差及样样本标准差的的计算可列表表进行。为计算方便便，可以将数数据减去一个个适当的常数数，这样不影影响样本方差差及

16、标准差的的计算结果。例例如，在本例例中，将每个个数据减去115，即可大大大减少计算算量。在实际际使用中还可可以利用计算算器来计算，特特别是许多科科学计算用的的计算器，都都具有平均数数、方差与标标准差的计算算功能。(三三)样本变异异系数样本标准差差与样本均值值之比称为样样本变异系数数，有时也称称之为相对标标准差，记为为cv:例如对例1.11-2的轴直直径数据，样样本变异系数数cv=0.0901/15.1662=0.00059。第二节概率基础础知识一、事件与与概率(一)随机机现象在一定条件件下，并不总总是出现相同同结果的现象象称为随机现现象。从这个个定义中可看看出，随机现现象有两个特特点:(1)随

17、机机现象的结果果至少有两个个；(2)至于于哪一个出现现，人们事先先并不知道。抛硬币、掷掷骰子是两个个最简单的随随机现象。抛抛一枚硬币，可可能出现正面面，也可能出出现反面，至至于哪一面出出现，事先并并不知道。又又如掷一颗骰骰子，可能出出现1点到66点中某一个个，至于哪一一点出现，事事先也并不知知道。例1.22-1随机机现象的例子子:(1)一天天内进入某超超市的顾客数数；(2)一顾顾客在超市中中购买的商品品数；(3)一顾顾客在超市排排队等候付款款的时间；(4)一颗颗麦穗上长着着的麦粒个数数；(5)新产产品在未来市市场的占有率率；(6)一台台电视机从开开始使用到发发生第一次故故障的时间；(7)加工工

18、机械轴的直直径尺寸；(8)一罐罐午餐肉的重重量。随机现象在在质量管理中中到处可见。认识一个随随机现象首要要的是能罗列列出它的一切切可能发生的的基本结果。这这里的基本结结果是指今后后的抽样单元元，故又称样样本点，随机机现象一切可可能样本点的的全体称为这这个随机现象象的样本空间间，常记为。“抛一枚硬硬币”的样本空间间=正面，反反面；“掷一颗骰骰子”的样本空间间=1，22，3，4，55，6；“一顾客在在超市中购买买商品件数”的样本空间间=0，11，2，；“一台电视视机从开始使使用到发生第第一次故障的的时间”的样本空间间=t:tt0；“测量某物物理量的误差差”的样本空间间=x:-xB，则则:P(A-B

19、B)=P(AA)-P(BB)性质4:事事件A与B的的并的概率为为:P(ABB)=P(AA)+P(BB)-P(AAB)这个性质称称为概率的加加法法则，可可以从图1.1-5中看看出。特别当当A与B不相相容时，由于于P(AB)=P()=0，则则:P(A UU B)=PP(A)+PP(B)性质5:对对于多个互不不相容事件AA1，A2，A3，也有类似似的性质:P(A1A2A3)=P(A1)+P(AA2)+P(AA3)+下面的例子子可帮助我们们理解这些性性质。例1.22-7抛三三枚硬币，至至少一个正面面出现(记为为事件A3)的概率是是多少?解:在抛三三枚硬币的随随机试验中，诸诸如(正，反反，正)这样样的样

20、本点共共有8个。AA3中所含这样样的样本点较较多，但其对对立事件=“抛三枚硬币币，全是反面面”=(反，反反，反)，只只含一个样本本点，从等可可能性可知PP()=1/8。再由性性质1，立即即可得:P(A3)=1-P()=1-11/8=7/8=0.8875例1.22-8一批批产品共1000件，其中中5件不合格格品，现从中中随机抽出110件，其中中最多有2件件不合格品的的概率是多少少?解:设A表表示事件“抽出10件件中恰好有ii件不合格品品”，于是所求求事件A=“最多有2件件不合格品”可表示为:A=A0A1 U A2并且A0，A1，A2为三个互不不相容事件，由由性质(5)P(A)=P(A0)+P(A

21、A1)+P(AA2)。余下就就是用古典方方法算得:AAi的概率。据据A0的定义，从从100件产产品随机抽出出10件的所所有样本点共共有)个。要要使抽出的110件产品中中有0件不合合格品，即全全是合格品，则则10件必须须从95件合合格品中抽取取，所以:类似地可算算得:于是所求的概率率是:P(A)=0.58337+0.33394+00.07022=0.99933 可见见事件A发生生的概率很接接近于1，发发生的可能性性很大；而它它的对立事件件=“抽10件产产品中至少33件不合格品品”的概率P()=1-PP(A)=11-0.99933=0.0067，发发生的可能性性很小。例1.22-9某足足球队在未来

22、来一周中有两两场比赛，在在第一场比赛赛中获胜概率率为1/2，在在第二场比赛赛中获胜概率率是1/3，如如果在两场比比赛中都获胜胜概率是1/6，那么该该队在这两场场比赛中至少少有一场获胜胜的概率是多多少?解:设事件件Ai=“第i场比赛赛获胜”，i=1，22。于是有:P(A1)=1/2，PP(A2)=1/33，P(A11 A2)=1/66由于事件“两场比赛中中至少有一场场获胜”可用事件AA1A2表示，所求求概率为P(A1A2)。另外由由于事件A11与A2是可能同时时发生的，故故A1与A2不是互不相相容事件，应应用性质(44)来求，即即:这表明在未来两两场比赛中至至少有一场获获胜的概率为为2/3。(二

23、)条件件概率、概率率的乘法法则则及事件的独独立性(1)条件件概率与概率率的乘法法则则条件概率要要涉及两个事事件A与B，在在事件B已发发生的条件下下，事件A再再发生的概率率称为条件概概率，记为PP(A|B)。条件概率率的计算公式式为:这表明:条件概概率可用两个个特定的(无无条件)概率率之商来计算算，在举例说说明之前，先先导出概率的的乘法公式。性质6:对对任意两个事事件A与B，有有:P(AB)=P(A|B)P(BB)=P(BB|A)P(A)(1.2-4)其中第一个个等式成立要要求P(B)0，第二二个等式成立立要求P(AA)0。例1.22-10设设某样本空间间含有25个个等可能的样样本点，又设设事件

24、A含有有其中15个个样本点，事事件B含有77个样本点，交交事件AB含含有5个样本本点，详见图图1.2-111。由古典典定义可知:于是在事件件B发生的条条件下，事件件A的条件概概率为:这个条件概概率也可以这这样来认识:当已知事件件B发生，就就意味着其对对立事件是不不会发生了。即即中18个样样本点可不予予考虑，可能能的情况是事事件B中的77个样本点之之一。可见事事件B的发生生把原来的样样本空间缩减为新的的样本空间B=B。这时时事件A所含含样本点在B中所占比率率为5/7。这这与公式计算算结果一致，这这不是偶然的的，任一条件件概率都可这这样解释。类似地，利利用这个解释释，可得P(B|A)=5/15=1

25、/3。例1.22-11表表1.2-33给出乌龟的的寿命表，记记事件AX=“乌龟活到XX岁”，从表中可可以读出P(A20)=0.92，P(A80)=0.87等。现要寻求下下列事件的条条件概率:20岁的的乌龟能活到到80岁的概概率是多少?要求的概率率是条件概率率P(A800|A20)，按公公式应为:由于活到880岁的乌龟龟一定要先活活到20岁，这这意味着A880A20，从而交交事件A200 A80=A80，故上述述条件概率为为:即100只活到到20岁的乌乌龟中大约有有95只能活活到80岁。120岁岁的乌龟能活活到200岁岁的概率是多多少?类似有有:即活到120岁岁的乌龟中大大约有一半还还能活到20

26、00岁。这里谈论的的是乌龟的寿寿命，假如我我们能获得弹弹药的贮存寿寿命表，那么么就可计算，存存放10年的的弹药再放55年仍完好的的概率是多少少?假如有一一个国家或地地区的人的寿寿命表，就可可算得30岁岁的人能活到到60岁的概概率是多少?保险公司正正是利用这个个条件概率对对30岁的投投保人计算人人身保险费率率的。(2)独立立性和独立事事件的概率设有两个事事件A与B，假假如其中一个个事件的发生生不依赖另一一个事件发生生与否，则称称事件A与BB相互独立。性质7:假假如两个事件件A与B相互互独立，则AA与B同时发发生的概率为为:P(AB)=P(A)P(B)(1.2-55)性质8:假假如两个事件件A与B

27、相互互独立，则在在事件B发生生的条件下，事事件A的条件件概率P(AA|B)等于于事件A的(无条件)概概率P(A)。这是因为为:例1.22-12设设实验室标本本沾有污染的的概率为0.15，如今今有三个标本本独立地在实实验室制作，问问三个标本都都被污染的概概率是多少?解:设Aii=“第i个实验验室标本被污污染”，i=1，22，3。要求求的概率为PP(A1 A2 A3)，由于三三个标本相互互独立，所以以:P(A1 A2A3)=P(AA1)P(A2)P(A3)=(0.15)3=0.0003375 这个概率是是很小的。第三节随机变量量及其分布一、随机变变量用来表示随随机现象结果果的变量称为为随机变量。常

28、常用大写字母母X，Y，ZZ等表示随机机变量，而它它们的取值用用相应的小写写字母x，yy，z等表示示。假如一个随随机变量仅取取数轴上有限限个点或可列列个点(见图图1.3-11)，则称此此随机变量为为离散随机变变量，或离散散型随机变量量。假如一个随随机变量的所所有可能取值值充满数轴上上一个区间(a，b)(见图1.33-2)，则则称此随机变变量为连续随随机变量，或或连续型随机机变量，其中中a可以是-，b可以是是+。例1.33-11产品品的质量特性性是表征产品品性能的指标标，产品的性性能一般都具具有随机性，所所以每个质量量特性就是一一个随机变量量。例如:(1)设XX是一只铸件件上的瑕疵数数，则X是一一

29、个离散随机机变量，它可可以取0，11，2，等值。可用用随机变量XX的取值来表表示事件:“X=0”表示事件“铸件上无瑕瑕疵”，“X=2”表示事件“铸件上有两两个瑕疵”，“X2”表示事件“铸件上的瑕瑕疵超过两个个”等等。这些些事件有可能能发生，也可可能不发生。因因为X取0，11，2，等值是随机机的。类似地地，一平方米米玻璃上的气气泡数、一匹匹布上的疵点点数、一台车车床在一天内内发生的故障障数都是取非非负整数00，1，2，33，的离散随随机变量。(2)一台台电视机的寿寿命X(单位位:小时)是是在0，)上取值的的连续随机变变量:“X=0”表示事件“一台电视机机在开箱时就就发生故障”，“X100000”

30、表示事件“电视机寿命命不超过100000小时时”，“X400000”表示事件“电视机寿命命超过400000小时”。(3)检验验一个产品，结结果可能是合合格品，也可可能是不合格格品。设X表表示检验一个个产品的不合合格品数，则则X是只能取取0或1两个个值的随机变变量。“X=0”表示合格品品，“X=11”表示不合格格品。类似地地，检验100个产品，其其中不合格品品数X是仅可可能取0，11，10等111个值的离离散随机变量量。更一般的的，在n个产产品中的不合合格品数X是是可能取0，11，2，n等n+1个值的离离散随机变量量。二、随机变变量的分布随机变量的的取值是随机机的，但内在在还是有规律律性的，这个

31、个规律性可以以用分布来描描述。认识一一个随机变量量X的关键就就是要知道它它的分布，分分布包含如下下两方面内容容:(1)X可可能取哪些值值，或在哪个个区间上取值值。(2)X取取这些值的概概率各是多少少，或X在任任一区间上取取值的概率是是多少?下面分离散散随机变量和和连续随机变变量来叙述它它们的分布，因因为这两类随随机变量是最最重要的两类类随机变量，而而它们的分布布形式是有差差别的。(一)离散散随机变量的的分布离散随机变变量的分布可可用分布列表表示，譬如，随随机变量X仅仅取n个值:x1，x2，xn，X取x1的概率为pp1，取x2的概率为pp2，取xn的概率为ppn。这些可列列在一张表上上，清楚地表

32、表示出来:或用一个简明的的数学式子表表示出来:P(X=xxi)=pi，i=1，22，n要求这这些pi满足以下两两个条件:ppi0，p1+p2+pn=1。满足足这两个条件件的分布称为为离散分布，这这一组pi也称为分布布的概率函数数。例1.33-2掷两两颗骰子，其其样本空间为为:考察与这个个随机现象有有关的一些随随机变量:(1)设XX表示“掷两颗骰子子，6点出现现的个数”，它的分布布列为:(2)设YY表示“掷两颗骰子子，点数之和和”:这些随机变变量X，Y都都是各从一个个侧面表示随随机现象的一一种结果，每每个随机变量量的值是随机机的，但其分分布告诉我们们每个随机变变量取值概率率，使人们不不仅对全局做

33、做到心中有数数，而且还看看到X取哪些些值的可能性性大，X取哪哪些值的可能能性小，譬如如:X取0可能能性最大，XX取2的可能能性最小；Y取7的可可能性最大，YY取2，122的可能性最最小；这些分布中中的概率都可可用古典方法法获得，每个个概率都是非非负的，其和和均为1。例1.33-3设在在10个产品品中有2个不不合格品，若若从中随机取取出4个，则则其中不合格格品数X是离离散随机变量量，它仅可取取0，1，22等三个值。XX取这些值的的概率为(详详见例1.22-5):具体计算可得如如下的分布列列:从表中可见，事事件“X=1”出现的机会会最大，超过过0.5。对同样问题题，若用放回回抽样，则从从10个产品

34、品(其中有22个不合格品品)中随机取取出4个，其其中不合格品品数Y是另一一个随机变量量，它可取00，1，2，33，4等五个个值。Y取这这些值的概率率为(详见例例1.2-66):具体计算可得如如下分布列:这个分布显示了了Y取哪些值值概率大，哪哪些值概率小小。还可计算算有关事件的的概率，譬如如:P(Y11)=P(YY=0)+PP(Y=1)=0.40096+0.4096=0.81992例1.33-4某厂厂生产的三极极管，每1000支装一盒盒。记X为一一盒中不合格格品数，厂方方经多次抽查查，根据近千千次抽查的记记录，用统计计方法整理出出如下分布:从这个分布可以以看出，最可可能发生的不不合格品数在在1到

35、3之间间，而超过55个不合格品品的概率很小小，这两个事事件的概率分分别为:P(1XX3)=P(X=1)+P(X=22)+P(XX=3)=0.2778十0.2260十0.180=0.7118P(X55)=P(XX=6)+PP(X=7)+P(X=8)=0.0110+0.0002十0.002=0.0114(二)连续续随机变量的的分布连续随机变变量X的分布布可用概率密密度函数p(x)表示，许许多书上也记记为f(x)。在第一节节中，已经详详细介绍过根根据一批样本本数据绘制频频率直方图的的方法。当数数据个数很多多，分组很细细时，连接直直方图中每个个矩形上边中中点的折线就就接近一条光光滑的曲线，这这条曲线的

36、函函数即为p(x)。下面面再将上述过过程用另一种种形式来进行行表述。假定我们一一个接一个地地测量产品的的某个质量特特性值X，把把测量得到的的x值一个接接一个地放在在数轴上。当当累积到很多多x值时，就就形成一定的的图形，为了了使这个图形形得以稳定，把把纵轴改为单单位长度上的的频率，由于于频率的稳定定性，随着被被测质量特性性值x愈多，这这个图形愈稳稳定，其外形形显现出一条条光滑曲线。这这条曲线就是是概率密度曲曲线，相应的的函数表达式式p(x)称称为概率密度度函数，它就就是表示质量量特性X随机机取值内在的的统计规律性性。概率密度函函数p(x)有多种形式式，有的位置置不同，有的的散布不同，有有的形状不

37、同同。这些不同同的分布形式式反映了质量量特性总体上上的差别，这这种差别正是是管理层特别别关注之处。这里应强调调的是:图上上的纵轴原是是“单位长度上上的频率”，由于频率率的稳定性，可可用概率代替替频率，从而而纵轴就成为为“单位长度上上的概率”，这是概率率密度的概念念，故最后形形成的曲线称称为概率密度度曲线，它一一定位于x轴轴上方(即pp(x)0)，并且且与x轴所夹夹面积恰好为为1。而X在在区间(a，bb)上取值的的概率P(aaX0。实际际中不少产品品发生失效(故障)的时时间，或发生生故障后需要要维修的时间间都服从指数数分布，例如如某厂生产的的推土机发生生故障后的维维修时间T(单位:分)服从指数分

38、分布Exp(002)。其其概率密度函函数(图5.2-5)为为:现转入寻求求一些事件的的概率，在上上述假定下，该该推土机在1100分钟内内完成维修的的概率是图11.3-5上上左侧的一块块阴影面积，这这块面积可用用积分计算:顺便指出，在计计算面积时，一一条直线的面面积为零，譬譬如在这个例例子中P(TT=100)=0，即该该推土机完成成维修时间不不早不迟恰好好在100分分钟的概率为为零，由于这这个原因，事事件“T100”与事件“T1000”的概率是相相等的，即PP(T100)=P(TVbVcVd图1.3-7四个密度度函数的方差差VeVfVgVhE(X1+X2)=E(XX1)+E(XX2)这个性质可可

39、以推广到三三个或更多个个随机变量场场合。(3)设随随机变量X11与X2独立(即XX1取什么值不不影响另一个个随机变量XX2的取值，这这相当于两个个试验的独立立性)，则有有:Vaar(X1X2)=Varr(X1)+Varr(X2) 这个性质也也可推广到三三个或更多个个相互独立随随机变量合。注意:方差差的这个性质质不能推到标标准差场合，即即对任意两个个相互独立的的随机变量XX1与X2，(X1+X2)(X1)+(X2)，而应该该是或者说，对相互互独立随机变变量来说，其其方差具有可可加性，而标标准差不具有有可加性四、常用分分布(一)常用用的离散分布布这里将给出出三个常用的的离散分布，它它们是二项分分布

40、、泊松分分布与超几何何分布。1.二项分分布我们来考察察由n次随机机试验组成的的随机现象，它它满足如下条条件:(1)重复复进行n次随随机试验。例例如，把一枚枚硬币连抛nn次，检验nn个产品的质质量，对一个个目标连续射射击n次等。(2)n次次试验间相互互独立，即一一次试验结果果不对其他次次试验结果产产生影响。(3)每次次试验仅有两两个可能结果果，例如，正正面与反面、合合格与不合格格、命中与不不命中、具有有某特性与不不具有某特性性，以下统称称为“成功”与“失败”。(4)每次次试验成功的的概率均为pp，失败的概概率均为1-p。在上述四个个条件下，设设X表示n次次独立重复试试验中成功出出现的次数，显显然

41、X是可以以取0，1，n等n+1个值的离散随机变量，且它的概率函数为:二项分布的的均值、方差差与标准差分分别为:E(X)=npVar(XX)=np(1-p)例1.33-9在一一个制造过程程中，不合格格品率为0.1，如今从从成品中随机机取出6个，记记X为6个成成品中的不合合格品数，则则X服从二项项分布b(66，0.1)，简记为XXb(6，00.1)。现现研究如下几几个问题:(1)恰有有1个不合格格品的概率是是多少?这里里规定抽到不不合格品为“成功”，则事件XX=1的概率率为:这表明，6个成成品中恰有一一个不合格品品的概率为00.35433。类似可计计算X=0，XX=1，X=6的的概率，计算算结果可

42、列出出一张分布列列，具体如下下:这里0.00000表示X=6的概率取取前4位小数数的有效数字字为零，实际际它的概率为为P(X=66)=0.00000011，并不恰为为零。还可以画出出一张线条图图(图1.33-7(a)来表示这这个分布(77个概率)。图图上的横坐标标为X的取值值，纵轴为其其相应概率。从从此图上可以以看出分布的的形态，哪些些x上的概率率大，哪些xx上的概率小小。假如改变变成功概率pp，其线条图图亦会改变。譬譬如连抛六次次硬币，其中中正面出现次次数Xb(6，0.55)。通过计计算可画出其其线条图(见见图1.3-7(b)，此图是对对称的，如PP(X=2)=P(X=4)=0.2343。(

43、2)不超超过1个不合合格品的概率率为:P(X11)=P(XX=0)+PP(X=1)=0.53314+0.3543=0.88557这表明，66个成品中不不超过1个不不合格品的概概率为0.88857。在实际中经经常要求形如如“Xx”的概率，在在概率论中把把事件“Xx”的概率称为为X的分布函函数，记为FF(x)，即即:F(x)=P(Xx)二项分布的的分布函数已已编制了数表表，详见附表表1-1，此此表可帮助我我们计算，例例如从附表11-1中可查查得:P(X11)=0.88857，PP(X4)=0.9999于是可算得得:P(1XX4)=P(X4)-P(X1)=0.9999-0.88557=0.11142

44、(3)二项项分布b(66，0.1)的均值、方方差与标准差差分别为:E(X)=np=60.1=00.6Var(XX)=np(1-p)=60.10.9=00.542.泊松分分布泊松分布可可用来描述不不少随机变量量的概率分布布。例如:(1)在一一定时间内，电电话总站接错错电话的次数数；(2)在一一定时间内，某某操作系统发发生的故障数数；(3)一个个铸件上的缺缺陷数；(4)一平平方米玻璃上上气泡的个数数；(5)一件件产品被擦伤伤留下的痕迹迹个数；(6)一页页书上的错字字个数。从这些例子子可以看出，泊泊松分布总与与计点过程相相关联，并且且计点是在一一定时间内、或或一定区域内内、或一特定定单位内的前前提下

45、进行的的，若表示某特定定单位内的平平均点数(0)，又又令X表示某某特定单位内内出现的点数数，则X取xx值的概率为为:这个分布就就称为泊松分分布，记为PP()，其中ee=2.711828泊松分布的的均值与方差差相等，且均均为，于是有:E(X)=，Var(X)=，(X)=(1.3-6)例1.33-10某某大公司一个个月内发生重重大事故数XX是服从泊松松分布的随机机变量，根据据过去事故的的记录，该大大公司在一个个月内平均发发生1.2起起重大事故，这这表明:X服服从=1.2的的泊松分布，现现考察如下事事件的概率。(1)在一一个月内发生生1起重大事事故的概率为为:类似地也可计算算X取其他值值的概率，现现

46、罗列于如下下分布列中:对泊松分布布来说，X可可以取8，99，等值。由于于取这些值的的概率的前三三位小数皆为为零，甚至更更小，已无多多大实际意义义，故可不列列出，当作不不可能事件处处理。也可把把此8个概率率画一张线条条图，如图11.3-8。(2)在一一个月内发生生重大事故超超过2起的概概率为:P(X22)=P(XX=3)+PP(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=77)=1-PP(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1-(00.301+0.3622+0.2116)=0.121 这这表明，该公公司在一个月月内发生重大大事故超过22起的概率为为0.1211。(3)泊松松分布P(11.2)

47、的均均值、方差与与标准差分别别为:E(X)=Var(XX)=1.22，(X)=11.13.超几何何分布从一个有限限总体中进行行不放回抽样样常会遇到超超几何分布。设有N个产产品组成的总总体，其中含含有M个不合合格品。若从从中随机不放放回地抽取nn个产品，则则其中不合格格品的个数XX是一个离散散随机变量，假假如nM，则X可可能取0，11，n；若nnM，则XX可能取0，11，M，由古古典方法(参参见例1.22-5)可以以求得X=xx的概率是:其中r=minn(n，M)，这个分布布称为超几何何分布，记为为h(n，NN，M)。超几何分布布h(n，NN，M)的均均值、方差分分别为:例1.33-11一一货船

48、的甲板板上放着200个装有化学学原料的圆桶桶，现发现有有5桶被海水水污染了，若若从中随机抽抽出8桶，并并记X为其中中被污染的桶桶数，现要求求X的分布。解:按题意意知，X服从从超几何分布布h(n，NN，M)，其其中N=200，M=5，nn=8，r=min(nn，M)=55，所求的分分布为:当X=0时，可可算得:X=1时，可算算得:类似可算得X=2，3，44，5的概率率。现把结果果列表如下:这就是X的的分布，其线线条图见图11.3-9由由此还可算得得各种事件的的概率。例如如，取出的88桶中有不多多于3桶被污污染的概率为为:P(X33)=P(XX=0)+PP(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0

49、.05511+0.2554+0.39773+0.22384=00.94244最后，还可可算得此超几几何分布h(8，20，55)的均值、方方差与标准差差。具体如下下:(二)正态态分布正态分布是是在质量管理理中使用最为为频繁的分布布，它能描述述很多质量特特性X随机取取值的统计规规律性。1.正态分分布的概率密密度函数正态分布的的概率密度函函数有如下形形式:它的图形是对称称的钟形曲线线，常称为正正态曲线。见见图1.3-10。正态分布含含有两个参数数与，常记为NN(，2)。其中为正态分布布的均值，它它是正态分布布的中心。质质量特性X在在附近取值的的机会最大，2是正态分布的方差，0是正态分布的标准差，愈大

50、，分布愈分散；愈小，分布愈集中。固定标准差差时，不同的的均值，如12，对应的正正态曲线的形形状完全相同同，仅位置不不同，见图11.3-111(a)。固固定均值时，不同的的标准差，如如12，对应的正正态曲线的位位置相同，但但形状(高低低与胖瘦)不不同，见图11.3-111(b)。2.标准正正态分布=0且=1的正态态分布称为标标准正态分布布，记为N(0，1)。它它是特殊的正正态分布，服服从标准正态态分布的随机机变量也记为为U，它的概概率密度函数数记为(u)，它它的图形见图图1.3-112。实际中很少少有一个质量量特性(随机机变量)的均均值恰好为00，方差与标标准差恰好为为1。一些质质量特性的不不合

51、格品率均均要通过标准准正态分布才才能算得。这这里将先介绍绍标准正态分分布表及其应应用，分以下下几点叙述。(1)标准准正态分布表表，它可用来来计算形如“Uu”的随机事件件发生的概率率。根据u的的值可在标准准正态分布表表(附表1-1)上查得得，例如事件件“U1.52”的概率可从从附表1-22上查得P(U11.52)=(1.522)=0.99357它表示随机机变量U取值值不超过1.52的概率率，在数量上上它恰好为11.52左侧侧的一块阴影影面积(见图图1.3-113)。由于直线是是没有面积的的，即直线的的面积为零，故故:P(U11.52)=P(U11.52)=(1.522)=0.99357综合上述，

52、可可得如下计算算公式:P(Uaa)=P(UUa)=1-(a)，(见图1.33-14)。(3)(-a)=11-(a)(见见图1.3-15)。(4)P(aUb)=(b)-(a)(见见图1.3-16)。(5)P(|U|a)=2(a)-11(见图1.3-17)。3.标准正正态分布N(0，1)的的分位数分位位数是一个基基本概念，这这里结合标准准正态分布NN(0，1)来叙述分位位数概念。对对概率等式PP(U1.2822)=0.99，有两种不不同说法:(1)0.9是随机变变量U不超过过1.2822的概率。(2)1.282是标标准正态分布布N(0，11)的0.99分位数，也也称为90%分位数或990百分位数数

53、，记为u00.9。后一种说法法有新意，00.9分位数数u0.9把标准准正态分布密密度函数(u)下的的面积分为左左右两块，左左侧一块面积积恰好为0.9，右侧一一块面积恰好好为0.1，见见图1.3-18。一般说来，对对任意介于00与1之间的的实数，标准正态态分布N(00，1)的分位数是这这样一个数，它它的左侧面积积恰好为，它的右侧侧面积恰好为为1-(详见图11.3-199)。用概率率的语言表示示，U的分位数u是满足下列列等式的实数数:P(Uuu)=分位数u亦可用标准准正态分布表表从里向外查查得，尾数可可用内插法得得到，譬如00.95的分分位数u0.95可先查查得:u0.94495=1.64 u00

54、.95055=1.655由于概率00.95恰好好介于0.99495与00.95055中间，故uu0.95=1.6455。0.5分位位数，即500%分位数，也也称为中位数数，在标准正正态分布N(0，1)场场合，u0.5=0。当0.5时，譬如如=0.255，则由对称称性可知u00.25=-u0.755。u0.775=0.6675，对它它加上负号即即得u0.225=-0.675，类类似地有u00.1=-uu0.9=-11.282(见图1.33-20)。标准正态分分布的分位数u表见附表11-3。4.有关正正态分布的计计算现在转入正正态分布的计计算。正态分分布计算是基基于下面的重重要性质。性质1:此性质

55、表明明，任一个正正态变量X(服从正态分分布的随机变变量)经过标标准化变换(X-)/后都归一到到标准正态变变量U。这里里标准化变换换是指正态变变量减去其均均值后再除以以相应的标准准差。譬如:若XN(10，222)，通过标标准化变换若YN(2，0.332)，通过标标准化变换两个正态变变量及其标准准化变换后的的分布的示意意图见图1.3-21。性质2:设设XN(，2)，则对任任意实数a，bb有:其中()为标准正正态累积分布布函数，其函函数值可从附附表1-2中中查得。例1.33-12设设XN(110，22)和YNN(2，0.32)，概率PP(8X14)和PP(1.7Y2.66)各为多少少?首先对每个个正

56、态变量经经过各自的标标准化变换得得到标准正态态变量，这个个过程见图11.3-222。根据性质22中(3)，让让区间端点随随着标准化变变换而变化，最最后可得:从这个例子子可以看到标标准化变换在在正态分布计计算中的作用用，数不清的的各种正态分分布计算都可可通过一张标标准正态分布布表来实现，关关键在于标准准化变换。你你记住了吗?例1.33-13产产品某个质量量特性X的不不合格品率的的计算要知道道下列两件事事:(1)质量量特性X的分分布，在过程程受控情况下下，X的分布布常为正态分分布N(，2)，这是稳稳定过程的概概括。(2)产品品的规范限，常常包括上规范范限TU和下规范限限TL，这些都是是用文件形式式

57、对产品特性性所作的要求求，这些要求求可能是顾客客要求、可能能是公认的标标准、也可能能是企业下达达的生产任务务书。明确了这两两点后，产品品质量特性XX的不合格品品率为:p=pL+pU其中pL为为X低于下规规范限的概率率，pU为X高于上上规范限的概概率(见图11.3-233)，即:其中()为标准正正态分布函数数，其函数值值可从附表11-2中查得得。为了具体说说明不合格品品率的计算，可可看下面的例例子。(1)某厂厂生产的电阻阻器的规范限限为804k。现从现场场得知该厂电电阻器的阻值值X服从正态态分布，其均均值=80.88k，标准差=1.3kk。则其低于于下规范限TTL=76k的概率和超超过上规范限限

58、TU=84k的概率分别别为:故该电阻器的不不合格品率pp=pL+pU=0.00070。(2)某部部件的清洁度度X(单位:毫克)服从从正态分布NN(48，1122)。清洁度度是望小特性性(愈小愈好好的特性)，故故只需规定其其上规范限，现现规定TU=85毫克克，故其不合合格品率为:故在清洁度指标标上，该部件件的不合格品品率为9688ppm。(3)某金金属材料的抗抗拉强度(单单位:kg/cm2)服从正态态分布N(338，1.882)。抗拉强强度是望大特特性(愈大愈愈好的特性)，故只需规规定其下规范范限，如今TTL=33kgg/cm2。故其不合合格品率为:p=pL=P(Xk)=211-(k)；对k=1

59、，22，3，4，55，6，可通通过查附表11-2算得上上述各种概率率，具体计算算结果见图11.3-244，其中不合合格品率用pppm(100-6)单位表表示，特别过过小的不合格格品率更是如如此。(三)其他他连续分布正态分布是是实际中最常常用的分布，在在质量管理中中也使用最频频繁，但在实实际中还有很很多非正态的的连续分布也也很有用，在在质量管理中中最常用的是是均匀分布、对对数正态分布布和指数分布布等三个分布布，其中指数数分布已在例例1.3-66中作了介介绍，其他两两个分布将在在下面介绍。1.均匀分分布均匀分布在在两端点a与与b之间有一一个平坦的概概率密度函数数，见图1.3-25bb，它的全称称是

60、“在区间(aa，b)上的的均匀分布”，常记为UU(a，b)。这里“均匀”是指随机点点落在区间(a，b)内内任一点的机机会是均等的的，从而在相相等的小区间间上的概率相相等。例如，一个个随机变量XX服从均匀分分布U(100，15)(见图1.33-25(aa)，则XX在小区间(11，122)与小区间间(12.55，13.55)上的面积积相等，即:P(11X12)=P(122.5X13.5)=10.=0.2均匀分布布U(a，bb)的均值、方方差与标准差差分别为:如图1.33-25(aa)上所示的的均匀分布UU(10，115)，它的的均值、方差差与标准差分分别为:2.对数正正态分布对数正态分分布可用来描