人教版高中数学微练（四十四） 空间向量及其运算

1、微练（四十四） 空间向量及其运算基础过关组一、单项选择题1. 2022河北鹿泉一中月考如图，在四面体OABC 中，OA= ,OB= ,OC=A. 23B. 23C. 2D. 12解析连接ON （图略），因为BN=NC ，所以ON=12OB2. 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ,E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则A. a2B. 12C. 14D. 34解析AE3. 如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1 中，AM=12MC ，A1A. 34B. 14C. 23D. 13解析MN=MA+AA1+A14. 如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB=2

2、，E 为PB 的中点，cos=33 ，若以DA A. 1,B. 1,C. 1,D. 1,解析设PD=a ，则A2,0,0 ，B2,2,0 ，P0,0,a ，E1,1,a5. 在四面体ABCD 中，CA=CB=CD=BDA. 23B. 24C. 144D. 2解析取BD 的中点O ，连接AO ，OC ，由CA=CB=CD=BD=2 ，AB=AD=2 ，得AOBD ，COBD ，且OC=3 ，AO=1 。在AOC 中，AC2=AO2+OC2 ，故AOOC ，又BDOC=O ，因此AO 平面6. 如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，以CD ，CB ，CE 所在直线分别为x ,y

3、,z 轴建立空间直角坐标系，AB=2 ，AF=1 ，M A. 1,B. 23C. 22D. 24解析由已知得A2,2,0 ,B0,2,0 ,D2,0,0 ,E0,0,1 ,设Mx,x,1 ，则AM=x2,x2,1 ,BD=2,2,0 ,BE=0二、多项选择题7. 有下列四个命题，其中不正确的命题有( CD )A. 已知A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则ABB. 若两个非零向量AB 与CD 满足AB+C. 分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量D. 对于空间的任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP=xOA+yOB+zOCx解析对于A，已知A ，

4、B ，C ，D 是空间任意四点，则AB+BC+CD+DA=0 ，正确；对于B，若两个非零向量AB 与CD 满足AB+CD=0 ，则AB/CD ，正确；对于C，分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量，不正确；对于D，对于空间的任意一点O 和不共线的三点A 8. 已知空间中三点A0,1,0 ，B2,A. AB 与ACB. AB 的单位向量是1C. AB 与BC 夹角的余弦值是D. 平面ABC 的一个法向量是解析由题意，对于A，AB=2,1,0 ，AC=1,2,1 ，所以ABAC ，则AB 与AC 不是共线向量，所以不正确；对于B，因为AB=2,1,0 ，所以AB

5、 的单位向量为255,55三、填空题9. 已知向量=2,0,1 ,=1,2,x ，若解析若 ，则 =2+x=0 ，解得x=2 。若2+=310. 已知在长方体ABCDA1B1C1D1 中，DA=DD1=1解析在长方体ABCDA1B1C1D1 中，DA=DD1=1 ，DC11. 2022甘肃顶级名校联考已知长方体ABCDA1B1C1D1 的体积为32，AB=2BC=4 ，E解析因为VABCDA1B1C1D1=32 ,AB=2BC=4 ,所以AA1=4 。以D 为原点，DA ，DC ，DD1 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设E2,四、解答题12. 如图所示，已知空间

6、四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1 ，E ，F ，G 分别是AB ,AD答案解 设AB= ，AC= ，AD=（1） EF答案解 EF=12BEF（2） EG 答案解 EG=EB+BC+CG=12AB+A故EG 的长为22（3） 异面直线AG 与CE答案解 AG=12所以cos因为异面直线所成角的范围是(0,所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为213. 如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，C（1） 求证：E ，F ，G ，H 四点共面；答案证明 连接BG ，则EG=EB+BG=EB+12（2） 求证：BD/ 平面答案证明 因为EH=AH又E

7、H 平面EFGH ，B所以BD/ 平面素养提升组14. 2022高三八省（市）学业质量评价联考（多选）在矩形ABCD 中，AB=2 ，AD=23 ，沿对角线AC 将矩形折成一个大小为A. 四面体ABCD B. 点B 与点D 之间的距离为23C. 四面体ABCD D. 异面直线AC 与BD 所成的角为解析如图，因为ABC 和ADC 都是以AC 为斜边的直角三角形，则AC 为四面体ABCD 外接球的直径。因为AB=2 ，BC=AD=23 ，则2R=AC=4 ，所以四面体ABCD 外接球的表面积为S=4R2=16 ,A项正确；分别作BEAC ，DFAC ，垂足为E ，F ，则= 。由已知可得，EB=FD=3 ,15. 如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD 中，AD/BC ，ABC=90 答案解 如图，在平面ABCD 内过点D 作直线DF/AB ，交BC 于点F ，以D 为坐标原点，DA ，DF ，DP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则设PD=a ，则（1） 求证：BD答案解 证