练习掌握线性回归分析

1、练习掌握线性回归分析、曲线拟合及参数估计等数学建模问题原理：数学模型的建立过程中，从数据分析、参数估计直至模型的检验，数据计 算的工作量十分巨大，没有计算机的帮助要完成这些工作是很难想象的。Microsoft Exce l就是完成该项工作的一种简便有效的工具。三、实验内容：1、污水处理的线性回归分析:表2-4某污水处理厂3、4月份的日常监测台帐序号3月份记录(mg/L)4月份记录(mg/L)入水COD出水COD入水出水计算值出水COD1678123695138.481522631118654132.861563942216777149.7119041022173856160.532025940

2、184824156.1520269481501054187.662267802197885164.511968992156932170.9420891010197833157.3815810728128885164.5116511800136933171.0813812826154788151.2211913691156973176.561521454398715141.22134157711861028184.116216690175871162.5913817743108807153.8212018712102900166.5615819584134771148.8912320841118

3、755146.713921870182855160.4127221120186682136.6912123654144757146.9717524695152743145.05138例2-2某污水处理厂提供的3、4月份的日常监测台帐如表2-4所示，试根 据3月份的数据建立其出水COD对应入水COD的线性回归模型，然后用4月 份的数据进行验证。解:首先建立Excel的工作表，输入污水处理厂监测的原始数据。在2.2中 已介绍了 Microsoft Excel的“分析工具库”。线性回归也是属于该工具库的内容。 在“工具”菜单中，单击“数据分析”命令。如果“数据分析”命令没有出现在 “工具”菜单中，则

4、需要通过加载宏安装“分析工具库”，与此同时也将“规划 求解”安装备用。如图2-5所示。完成了加载宏的安装过程，在“工具”菜单中，单击“数据分析”命令， 选择线性回归操作。按照对话框要求在Y值输入区域输入对因变量数据区域的 引用，该区域必须由单列数据组成。这里选择输入3月份的出水COD的数据区 域；在X值输入区域输入对应入水COD数据。回归统计的一些主要结果如表2-5。图2-5加载宏安装“分析工具库”和“规划求解”表2-5出水COD对应入水CO D回归统计结果Multiple R0.630237Intercept43.25682X Variable 10.136996标准误差26.22009观测

5、值24因此，出水COD对应入水COD的线性回归的模型形式是:Y = 0.137X + 43.257相关系数R=0.63，观测值24个。查阅相关关系检验表，R0.01(22)=0.515； 由于这里IRIR0.01(n-2)，说明3月份数据的出水COD与入水COD两者之间，存 在高度显著的线性相关关系。使用模型Y = 0.137X + 43.257，根据4月份入水 COD数据求出出水COD的计算值；选择Y值输入区域为4月份的出水COD数 据，在X值输入区域输入对应出水COD的计算值，再次进行线性回归操作： 观测值仍为24个，相关系数R=0.45,查阅相关关系检验表，Ro05(22)=0.404；

6、 由于这里R0.05(n-2)IRKR0.01(n-2)，说明根据3月份数据归纳出的数学模型与新 的数据观测组(4月份数据)之间的相关关系显著。这里需要注意的是前后两个 相关系数所具有的不同含意，前者表示模型中两个变量间的线性关系，后者表示 的是数学模型估算值与观测值之间的相关关系。4月份出水COD对应入水COD 数据与模型估算值的比较如图2-6所示0500100015002结构分析和曲线拟合从建立数学模型的过程中，对于两个变量x和y的试验或观测数据，我们需 要确定模型的结构，然后使用最小二乘法进行参数估值来获得数学模型。半机理 模型结构的建立，在于对事物运动或反应机理的认识。对于用初等函数表

7、示的模 型结构，使用Excel能够帮助我们迅速获得模型的完整形式，并能分析结构的合 理性。这就是曲线拟合；即寻求能够代表x和y函数关系的数学模型。使用Excel工作表进行曲线拟合的操作，是在图表菜单下，选定数据系列， 使用趋势线命令，获得对话框，如图2-7所示。Excel趋势线所提供的模型结构形 式，如表2-6所示。表2-6 Excel趋势线所提供的模型结构名称趋势线计算方程备注线性y = mx + b(2-11)代表斜率b代表截距m对数y = c In x + b(2-12)c和b代表常数，函数ln代表 自然对数多项式y = b + c x + c x2 + . + c x5(2-13)12

8、5可选择多项式阶数，b和q代表 常数乘幕y = cxb(2-14)其中c的b为常数指数y = cebx(2-15)c和b为常数，e代表自然对数 的底数移动平均f =七 + 七-1 士士 七一 +1(2-16)tnn是“周期”选项，设置移动平均 使用数据点数目，用来消除数据的 波动图2-7 Excel图表菜单下，添加趋势线命令对话框例2-3十二胺降解实验数据如表2-7所示，使用Excel工作表进行曲线拟合。表2-7十二胺降解实验数据时间(h)013579232731浓度(mg/L)2.3 2.221.921.61.521.07 0.730.5 0.45解：在趋势线命令中分别选择模型结构形式为线性

9、和指数模型，拟合结果 如图2-8所示。指数模型又分别指定和不指定是否必须通过初始浓度2.3 mg/L。 注意在图2-7中有个选项页，如果需要在图中显示出模型的表达式、R2，或者需 要限制趋势线必须通过初始浓度标记的函数点，均在选项页进行操作。从获得的三个数学模型来看，指数模型y = 2.16e -0.0519 t与实验数据拟合的相关系数高达98.6% （R2=0.9726），应是较好的选择。图2-8用线性和指数模型拟合十二胺降解实验3用Excel进行参数估计例2-4根据对某一种反应的分析，获得灰箱模型为：y = c +叭X +b ln x2 试根据表2-8所示的一组实验观测值，进行灰箱模型的参

10、数估值，并讨论其是否 可信。解：首先建立Excel的工作表，输入已知的实验数据，在新的两列中分别通 过输入计算式，用复制命令或拖动鼠标求得对应的X10.5和ln%），该反应测定的 原始实验数据和两列中间计算结果均列入表2-8。在“工具”菜单中，单击“数据分 析”命令，选择回归操作。按照对话框要求在Y值输入区域输入因变量y数据区 域的引用（第3列）；在X值输入区域输入第4 ,5两列。回归分析的一些主要结 果如表2-9。因此经确定参数后模型的形式是：Iy = 13.51 + 6.72dx 1 - 4.3ln x2其相关系数夫=0.94；查阅表2-3, n-2=11时的5%和1%置信度的R分别为0.553 和0.684,说明该模型与观测值之间相关关系高度显著。表2-8原始实验数据和两列中间计算结果x1X2yX0.5ln(x2)0.21.514.80.38070.405512.516.610.91631.43.315.61.22371.19391.83.516.91.42291.25282.24.5717.41.60491.519534.8218.41.93321.57283.45.519.92.0841.70473.8618.42.22781.79184.6718.42.49841.945957.520.22.62652.01495.48.1720.42.750