随机变量的数字特征教案

1、 E(XYxyf(x,y)dxdy=J1dxf1xy-8xydy=f1-x2G-x3h=,ss0 x03利用协方差的计算公式，有Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(y)=4-15x4=例4-13设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为()3x0yx0,D(Y)0，则称Cov(X,Y)XYD(X为随机变量X与Y的相关系数(correlationcoefficent)。形式上可以把相关系数视为“标准尺度下的协方差”。协方差作为X-E(X)_Y-E(Y)_的均值，依赖于X,Y的度量单位，选择适当单位使X,Y的方差都为1，则协方差就是相关系数。这样就能更好地反映X，Y之间的关系，不受所用单位的影

2、响。例4-14设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为()8xy0 xy1f(X，y)=|0其他求PXY解根据例2可知，E(X)_8，E(Y)_4，Cov(X,Y)_-4-丄JJ厶厶Q再计算EG2)_f*f*x2-f(x,y)dxdy_J1dxf1x2-8xydy_，a-*0 x3E(Y2)_f*f*y2-f(x,y)dxdy_f1dxf1y2-8xydy_,-*-*0 x3D(X)D(X)=E(X2)-E2(X)=1-1(8丫3-l15丿D(y)_E(Y2)-E2(y)_-f475XYCov(XXYCov(X,Y)225_2殛IT:丁33225；75相关系数的性质定理4-4设二维随机变量(X

3、,Y)的两个分量X与Y的相关系数为P，则有XYp1XY|P輕|=1的充要条件是存在常数a(a丰0)与b，使得P(Y=aX+b)=1.证明(1)由协方差的性质柯西-施瓦茨不等式|Cov(X,Y)，:D(X.D(Y),得.Cov(X,Y)1|pxY=a(xi(y).(2)在柯西-施瓦茨不等式的证明过程中，注意到|P|=1的充分必要条件是不等式|XY|Cov(X,Y)|*D(X)JD(Y)的等号成立。又|Cov(X,Y)|=；D(X)QD(Y丿成立的充分必要条件是f(t)=0只有一个二重根(不妨用a表示)，即|p|=1的充分必要条件是1XYD(Y-aX)=0，亦即P(y=aX+b)=1.关于定理有几

4、点需注意：当P=0，称X，Y“不相关”若X，Y独立，则它们不相关，但反之不然，XY即由P=0不一定有X、Y独立。(如例4-1)XY相关系数也常称为“线性相关系数”这是因为，实际上相关系数并不是刻画了X，Y之间“一般”相关关系的程度，而只是“线性”相关关系的程度。这种说法的根据之一就在于，当且仅当X，Y有严格的线性关系时，才有|p|达到最大值1。XY即使X与Y有某种严格的函数关系但非线性关系，|pI不仅不必为1,还可以为1XY0。如果0|P|1，则称X与Y有“一定程度”的线性相关关系而非严格的线性相XY关关系。卜輕|越接近于1,则线性相关程度越高；卜輕|越接近于0,则线性相关程度越低。而协方差则

5、看不出这一点。总之，相关系数在某种意义上度量了两个随机变量X与Y之间的线性关系的程度，随着p|从0增加到1,这种线性关系的程度越来越高。XY例4-15设随机变量X与Y独立同服从参数为九的泊松分布，令U二2X+Y，V二2X-Y。求U和V的协方差及相关系数。解因为D（U）=D（2X+Y）=5九，D（V）=D（2XY）=5九所以Cov（U,V）=Cov（2X+Y,2XY）=Cov（2X,2X）+Cov（Y,2X）Cov（2X,Y）Cov（Y,Y）=4Cov（X,X）Cov（Y,Y）=4D（X）D（Y）=3由此得Cov(X,Y)3九3p=XY、D(XD(Y)5九5例4-16已知二维随机变量（X,Y）的

6、联合密度函数为f(x,y)=8一,0 xy0.5,0 x,y130,其他求X和Y的协方差及相关系数。解先计算两个边际密度函数，再分别计算E（X）、E（X2）、E（Y）、E（Y2）、Var(X)、Var(Y)及E(XY)。最后得协方差和相关系数为Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0.0471p=C：v、=0.8243XY：D(X人D(Y丿4.4随机变量的矩和n维随机向量一、随机变量的原点矩和中心矩矩是随机变量的重要数字特征之一，数学期望和方差都是矩的特例，即矩是数学期望和方差的自然补充。在数理统计中，将会看到矩的重要应用，下面给出矩的概念。定义4-6设X为随机变量，c为常数，k为正整

7、数。则称E(X-c)k为X关于c点的k阶矩。比较重要的有两种情况：当c=0时，a=E(Xk)称为X的k阶原点矩。k当c=E(X)时，b=E(X-E(X)称为X的k阶中心矩。kL显然，一阶原点矩就是数学期望。一阶中心矩b=0，二阶中心矩b就是X的方差12D(X)。*二、n维随机向量的概念定义4-7设(x,X，,X)为一n维向量，其每个分量X,X，,X都是一维随机TOC o 1-5 h z12n12n变量，则称(x,X，,X)是一个n维随机向量或n维随机变量。12n与一维随机变量一样，n维随机变量也分为离散型和连续型。如果每一个分量X都是i一维离散型随机变量，则称(X,X，,X)是离散的。如果(X

8、,X，,X)的取值可以视12n12n为n维欧式空间Rn中的一个点，且(X,X，,X)的全部取值能充满Rn中的某一区域，12n则称它是连续的。定义4-8设n维随机向量(X,X，,X)的联合密度函数为f(x,x,x)，而X12n12ni的(边缘)密度函数为f(x)，(i=1,2，,n)。如果iif(x,x,x)=f(x)f(x)f(x)12n1122nn就称随机变量X,X，,X相互独立。12n*三、n维随机向量的协方差矩阵F面介绍n维随机向量的协方差矩阵，先从二维随机向量介绍。二维随机向量(XX2有四个二阶中心矩(设它们都存在)，分别记为c=EX-E(Xy1111(X)-X-E(X?)-X-E(X

9、(X)-X-E(X?)-X-E(X)X-E(X)-2211c=EX-E12c=E2122c=EX-E(X)-22222将它们排成矩阵的形式：厂cc21称该矩阵为随机向量(X,X)的协方差矩阵。12设n维随机向量(X,X，,X)的协方差12n(X,Y)=EXijic、12C丿22c=Covij都存在，则称-E(X)-X-E(Xj-i,j=12，nC11c21c12c22c、Inc2nIcn1cn2c丿nn为n维随机向量(片亠，,Xn)的协方差矩阵。由于cj=C丰j，i，j=I,n)，故上述协方差矩阵为对称矩阵。例4-17设二维随机向量(X,Y)N(卩,Q2,Q2,p)，求X与Y协方差矩阵。121

10、2解因为c=D(X)=Q2,c=D(Y)=c2111222c=c=Cov(X,Y)=pcc122112所以X与Y协方差矩阵、C=ccc2pcc1112=112(c21c丿22(Pcc12c2丿2习题四(A)1、r个人在楼的底层进入电梯，楼上有n层，每个乘客在任一层下电梯的概率相同。如果某一层无乘客下电梯，电梯就不停车，求直到乘客都下完时电梯停车次数X的数学期望。2、设随机变量X的分布律为X1.601.651.701.751.771.80111331P545202020求D(X)3、一卡车装运水泥，设每袋水泥的重量为X，且设X服从正态分布，其数学期望为50kg,均方差为2.5kg，若一卡车装水泥

11、100袋，求这车水泥的总重量Y的方差。求这车水泥的总重量Y超过500kg的概率。4、已知连续型随机变量X4、已知连续型随机变量X的概率密度为f(x)二求随机变量X的数学期望和方差。(1997)2ke-25、已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，即PX=K=,k=0，1，2,，k!求随机变量Z=3X2的数学期望E(Z)。(1999)6、设X，Y是两个相互独立且均服从正态分布N(0,2)的随机变量，求随机变量|X-Y|的数学期望。(1996)7、设二维随机变量(X,Y)在区域D：0 x1,|y|x内服从均匀分布，求关于X的边缘概率密度及随机变量Z=2X+1的方差D(Z)。(1990)8、设两

12、个随机变量X和Y相互独立，且都服从均值为0,方差为2的正态分布，求随机变量|X-Y|的方差。(1998)9、假设一台机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利10万元，发生一次故障仍可获利5万元，发生二次故障获利0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？（1996）10、一台设备由三大部件构成，在设备运行中需要调整的概率相应为0.1，0.2，0.3.假设各部件状态相互独立，以X表示同时需调整部件数，试求X的概率分布，数学期望和方差。1992)设二维随机变量（X,Y）的概率密度为11f(x,y)=,x2+y21f(x

13、,y)=0,其他试验证X与Y是不相关的，但X与Y不是相互独立的。12.设二维随机变量（X,y）的分布律为7-Y-101-i1/81/81/801/801/811/81/81/8试验证X与Y是不相关的，但X与Y不是相互独立的。13.已知（X，Y）的联合分布律为X/Y-101-11/81/81/801/801/811/81/81/8试求（1）E（X），E（Y），D（X），D（Y）；（2）Cov（X,y），pxy；（3）判断X与Y是否相关？是否独立？14.设二维随机变量（X,Y）具有概率密度yx,0 x1其他求E（X），E（Y）,Cov（X,Y）。15.设二维随机变量(X,Y)具有概率密度1f(%y

14、)_8(X+y)，0Ux2,0y2,o,其他求E(X),E(Y),Cov(X,Y),p,D(X+Y)。XY16.已知D(X)=25,D(Y)=36,p二0.4，求D(X+Y)和D(XY)。XY17.设(X,17.设(X,y)的概率密度为f(x，y)=8xy,0,0 x1,0yx,其他，求E(X)，E(Y)Cov(X,Y)，p.XY18.(2004)设A和B是两个随机事件，且P(A)=4，P(BA)=3,P(A|B)=2，令随机变量f1,若A发生f1,若B发生0,若A不发生，0,若B不发生求：(1)二维随机变量X,Y的联合概率分布；(2)X与Y的相关系数p；XY(3)Z二X2+Y2的概率分布。(B)(2003)对于任意事件A和B，0P(A)1,0P(B)1,P(AB)P(A)P(B)XYV；P(A)P(b)P(a)p(B)称为事件A和B的相关系数。证明：事件A和B独立充分必要条件是其相关系数等于零。利用随机变量相关系数的基本性质，证明|p|1。XY(2010)箱中有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1,2,3.现从该箱