《概率论》考试知识点解析汇总

1、概率论考试知识点解析汇总585支已校准过,3支未校准。一名射手用校准过的枪射击时，中靶概率为0.8；0.38求：所用的枪是校准过的概率。（课堂练习）解：设”谢击时中靶, 5=枪校准过,2=枪未校准,则】力 2 是 Q个划分，由贝叶斯公式，得P(BJP(Ai瓦)P(BJP(A0.8x(5/8)_400.8x(5/8) + 0.3x(3/8) 49 1.10 计算下列各题：(1)设P(A)=0.5,P(B)=03,P(AuB)=0.6,求P(AB); (2)设P(A)=0.&P(AuB)=04求P(AB);(3)设 P(AB)P(AB);P(A)0.3,求 P(B)解：(1)经过作图，可以知道，P

2、(AB) = P(AB)-P(B) = 0.3(2PAB)1-P(AB) 1 一(P(A)P(A B) 0.6(3) 由 fP(AB) = P(AB) = 1-P(AB) = 1-(P(A) + P(B)- P(AB)= l-P(A)-P(B) +P(AB)P(B)=l-P(A)=0.71.15已知P(A)=O7,P(B)=04,P(AB)=0.5求P(AuP)0)1P(B)P(B)鳥P(BB)0,P(A)|B)=P3AB) 0 5 1.18有两批相同的产品，第一批产品共1410件，其中有一件是次品，装在第二箱中取到的是次品的概率。4（j02）B表示事件“从第 PAGE PAGE 6iC：91

3、2则 P（斫蛍,旳）=咨丄,毗）=$=丄,C：91 J C；913P(B|A,)=-, |A)= -, P 恥)花,根据全概率公式，有：3P(B) = P(AQ)P(BAQ)+P(A)P(BA)+P(A2)P(BA2)=2oX（单位：小时）的概率密度函数为:fM = 0000, XY1000求 5 个元件在使用 1500 小时后，恰有 2 个元件失效的概率。解：一个元件使用 1500 小时失效的概率为(1500100010001500100010005 1500 Y,Y 5（5,-）。所求的概率为1 2p（r = 2）= （-）380 243设某地区每天的用电量X（单位：百万千瓦时）是一连续型

4、随机变量，概率密度函数为:fM=12x(1-x)2, 0Y XY 1,0,其他假设该地区每天的供电量仅有80万千瓦时，求该地区每天供电量不足的概率.若每天的供电量上升到90万千瓦时，每天供电量不足的概率是多少？解：求每天的供电量仅有80万千时，该地区每天供电蜀不足的概率，只需要求出该地区用电量X超过80万千瓦时（亦即X0.8百万千瓦时）的槪率：（）1.0-8心.（）P（ X 0.8）=l-P（X O.9)=1-P(X3JK-时，方程疋+2心+2K+3=0有实根：又由于K”(一2,4),所 求概率为：-1-(-2) + 4-3 丄4-(-2)3202204 X4X解：Xft 勺可能取值为 0 丄

5、 2。因为吩“)埸篇需曙;P(X=2)=久_3 a95.P(X=1) = 1199595所以 X 的分布律为XP0XP01219132952395F(x)=0120 xl19921 x 2x0512345.3X3只中的最小号码，求随机变量 X 的槪率分布和分布函数.P(XI)=1=P(XI)=1=0-6:P(X=3) = -t =C510P(X =2) = 1-0.6-0.1 = 03X的分布律为XP1XP10.620.330.10.61x20 xF(x)=0.92x33.5 设二维随机向虽：(X#)的概率密度函数为：/2严中0,x0,y0,其他Fgy);PY0,y0.F(x,y)=匸匸/(川

6、M皿=V r 2evuv=2严则;=(_严)(_八)e vJ(lr亠)(J(lr亠)(1_严),g)%x0,y0,其他(2)求 PYXPXjx 47ieyyxx3.8 设二维随机向疑(X,Y)的概率密度函数为尹,3,0 xZ0yl,尹,其他求边缘概率密度 fx (x)Jy (y)其他解：因为，当0K2时，/x(X)=Lfa、yiy= -xy2y=-xyy =二其他情形,-8 2 2 2fx M0.所以,x的边缘分布密度为fxM=X?0 xix=|x= 3yr其他情形，显然/ (y)= o.所以.丫的边缘分布密度为rBy0y E(Y),即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好

7、。4.5440115 23035541000.6,此人期望能得到多少分？4K4O6)因为 p(x =0) = C：06 X 0.44 = 0.0256P(X =1)= c0.6*x0.43 =0.1536P(X=2)=C；0.62X0.42 =0.3456P(X =3)= C0.63X0.41 =0.3456 P(X=4)C0.64X0.40Y的分布律为Y0153()55100P0.02560.15360.34560.345601296故期望得分为E(r)= 0 x 0.0256 +15x0536 + 30 x 0.3456 + 55x 0.3456 +100 x0296=44.64X的概率密

8、度函数为f(x)2x,x2f求 E(X).解：E(X)=xf(x).x=x2x+fx(2-x)Jx=y|*+(x2-|x3)|=1.X0 x2,ax.f(x)bxc,2x4、0,其他3E(X)ZP1X/x=1=jaxx+(bx+clx得2a+6b+2c=1因为E(X)=jV(x)x=xaxx+x(bx+clx=a+-h+6c所以，由E(X)=2,+/?+6c=33又 P(1 v X v 3) = (axx + (bx + cLx = = a + b + c 223353由 P(1 X 3) = - , -a + -b + c = -4224解联立方程，得 a = -. b = - c = l4

9、4 PAGE PAGE 91：14,4 100件。求.14.5的概率；每箱产品的平均强度超过期望14的概率。/=100,X i E (X)=14, Vn r (&)=4, i =1,2,-JOO.每箱产品的平均强度为1 “_fiyx记为XX“N(14,nf4100(-ul4(25)(-=0.0062 ；= 0.55.3100.1S1009901010千克之间的概率f 袋大米的重量为几(212,100),100 E(XJ10, Var(Xi0，E(X)100 x101000,Vr(X)100 x0.110Y_I(Y)A由中心极限泄理知，-近似服从N(OJ)A/10故 P(990 X 1010)

10、= P(l X-1000lio5)的近似值匚“1解：E(%) = 5,化 )=100/12 伙=12,20),由定理 1,得p(y io5)=(10/ 712)0 二)二)(10/ 5/12)V20= p(- V 0.387) (10/尼)后心 1 一(0.387)= 0.348即有 P(V105)心 0.3485.5 100 0.1.85 个部件正常工作.求整个系统起作用的概率解：设正常工作的部件数为 X,因为部件正常工作的概率为/? = 1 0=0.9,所以 X3(100,0.9),有(%) =100 x0.9 = 90, V/85) = 1-P(X 85) = 1-P(X79()-|)a

11、 1 一(一沪(=(1.67) = 0.95256.6 假设某种设备每天停机时间服从均值“=4 小时、标准差 cr=0.8 小时的分布.(1)求一个月(30 1 5 小时之间的概率；求一个月(30 天)中，总的停机时间不超过 115 小时的槪率.解：(1) P(1 X 5)- 0)(C/yjH1-“a/yfn5-4)(O.8/3O1 4)一(0.8/V30= 0(6.85)-0(-20.54) 1P(30X 115) = P(X甥)115/30-4Q 1.6) = 1 - P(X 1.6) 1 -( 0.5/V100=1-(2) = 1-0.9772 = 0.02281 3-1 5P(乂 v

12、1.3) u (， 二)=(-4) = 1-(4)心 1 1 = 0 0.5/V100P(1.2X1.6)(L6-l)- 0;o.其它求参数久的矩估量和极大似然估讥解设X】，X,X为X的一个样本。求;I的矩估量。因为总体为指数分布，因此总体的一阶原点矩为按矩法估量有因此久的矩估量 V（2）求;I 的极大似然估量。参数入的极大似然函数为nlnL= n In 2 -兄工叫 r=l似然方程为6?ln L（2） n = 八 - =一 一为兀=0解得nIXr=l设总体为0,80的矩估量和极大似然估量。解 设 XXp,为 X 的一个样本（1）求 0 的矩估量。总体的一阶原点矩为按矩法估量有因此&的矩估 i 0 = 2X .（2）求参数&的极大似然估汁。由总体 X 的密度函数知 0 的似然函数为r0,0X C12 r其它尹& 2maxX,X 0,其它10 PAGE PAGE 12由此可以看岀，要使似然函数达到最大，必需0 =nnx X,，X”所以&的极大似然估量为6 =maxX,X”设总体为020上的均匀分布求参数 0 的