多元复合函数的求导法则课件

1、第四节一元复合函数求导法则本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分微分法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数的求导法则 第九章 第四节一元复合函数求导法则本节内容:一、多元复合函数求导的链一、多元复合函数求导的链式法则定理. 若函数处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数证: 设 t 取增量t ,则相应中间变量且有链式法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量u ,v ,一、多元复合函数求导的链式法则定理. 若函数处偏导连续, ( 全导数公式 )(t0 时,根式前加“”号)机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 全导数公式 )(t0 时,根式前加“”

2、号)机动 若定理中 说明: 例如:易知:但复合函数偏导数连续减弱为偏导数存在, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定理结论不一定成立.若定理中 说明: 例如:易知:但复合函数偏导推广:1) 中间变量多于两个的情形. 例如,设下面所涉及的函数都可微 .2) 中间变量是多元函数的情形.例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 推广:1) 中间变量多于两个的情形. 例如,设下面所涉及的函又如,当它们都具有可微条件时, 有注意:这里是二元函数 z (x, y) 对 x 的偏导数；导数，且仅有第一个中间变量 x 在变；此时，不用与不同,机动 目录 上页 下页 返回 结束 是三元函数 f (x, u,

3、 v) 对第一个中间变量 x 的偏对 u (x, y) , v (x, y) 中的 x 求导又如,当它们都具有可微条件时, 有注意:这里是二元函数 z 例1. 设解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 设解:机动 目录 上页 下页 返回 例2.解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2.解:机动 目录 上页 下页 返回 例3. 设 求全导数解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 注1:等偏导数的中间变量与 f 完全相同；若题目条件中有“ f 有二阶连续偏导数”，则注2:一定合并否则不能合并；例3. 设 求全导数解:机动 目录 上页 下页为简便起见 , 引入记号例4. 设 f 具有二阶

4、连续偏导数,求解: 令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 为简便起见 , 引入记号例4. 设 f 具有二阶连续偏导数,例5. 设其中F, f, 有连续（偏）导数，求解： 例5. 设其中F, f, 有连续（偏）导数，求解： 例6.【研】 设 f 有二阶连续偏导数且例6.【研】 设 f 有二阶连续偏导数且例7. 设 f 有二阶连续偏导数，例7. 设 f 有二阶连续偏导数，例8. 设 f 有二阶连续偏导数，二阶可导，例8. 设 f 有二阶连续偏导数，二阶可导，二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 则复合函数都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质

5、叫做全微分形式不变性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论 u , v例1 .例9.利用全微分形式不变性再解例1. 解:所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1 .例9.利用全微分形式不变性再解例1. 解:所以机动 内容小结1. 复合函数求导的链式法则例如,2. 全微分形式不变性不论 u , v 是自变量还是因变量,机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结1. 复合函数求导的链式法则例如,2. 全微分形式不备用题1. 已知求解: 由两边对 x 求导, 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题1. 已知求解: 由两边对 x 求导, 得机动 目2.【研】求在点处可微 , 且设函数解: 由题设机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.【研】求在点处可微 , 且设函数解: 由题设机动 目3.【