2020-2021学年新教材高中数学空间向量与立体几何1第2课时空间向量与垂

1、课时分层作业(七)(建议用时:40分钟)6组基础巩固练一一、选择题u = (2,2,2)是平面a的一个法向量，v = (1,2,1)是平面B的一个法向量， 则下列命题正确的是()A. a, 0平行B. a, 0垂直C. a, 0重合D. a, 0不垂直B u- v = (2，- 2,2)-(1,2,1) = 2X1 - 2X2+ 2X1 = 0 , Auv ,，平面 a，平面0. TOC o 1-5 h z 2.已知直线11的一个方向向量a=(2,4, x)，直线12的一个方向向量b=(2, %2),若 I a 1 = 6,且 11 12，则 x+y 的值是()A.3 或 1B. 3 或一1C

2、.3D. 1x = 4 xA 由条件可知 I a I = A /4 + 16 + x2 = 6，且 ab = 4 + 4 y + 2x = 0，解得y =-3x =- 4或, Ax + y = 1 或_ 3.、y =13.3.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB = (2,一一一 f一一一 f= (4,2,0), AP=(1,2,1)则PA与底面ABCD的关系是(A.相交CA.相交C.不垂直D.成60角所以ABAP ；因为B 因为AB- AP = 2X( - 1) + ( - 1)X2 +( - 4)X所以ABAP ；因为f ff ff fAD - AP = 4X( - 1)

3、 + 2X2 + 0X( - 1) = 0，所以 AD AP，又 AB n AD = A，所以AP ABCD.4.已知 A( 1,1,2), B(1,0,1)，设 D在直线AB上，且 AD = 2 DB,设A4.已知 A( 1,1,2), B(1,0,1)，设 D在直线AB上，且 AD = 2 DB,设A.1161+ A J,若 CD LAB,则大的值为（11B石，则 AD = (x+1 ,-1 ,- 3)-y ,-1VAD-2DB(2,3,1) =- 2 + 6 - 4 = 0 ,aLb ,根据平面a与向量a = (-1,2 ,-4)垂直 平面B与向量b = (2,3,1)垂直:aLB. 故

4、答案为垂直.8.已知AB = (1,5,2), BC =(3,1, z)，若ABLBC, BP = (x1, y,3),f(33 I,且BP，平面ABC,(33 I,15 A .一1一 . f f _. _八. .一,一3 I VABLBC , AB- BC = 0 ,，3 + 5 - 2z = 0 ,，z = 4. VBP =(x- 1 , y,-3),且 BP，平面 ABC ,【BP-BC = 040 x =,1540 x =,1533故 BP = lv15 Q ，-万,-3 I.1y =1三、解答题9.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=回，AF=1, M是线

5、段EF的中点.求证：AM,平面=1, M是线段EF的中点.求证：AM,平面BDF.证明以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(-,.12 , -,.12 ,0) , B (0，也,0),2 -.；22 ，2,D(-12,0,0) , F(-,;12 , ,” , 1),所以AM =1-孚，-孚，1 , DDF = (0, V2 , 1) , bD =(3，-娘，0) .设n = (x , y , z)是平面BDF的法向量，一一， .一 .一则 n BD , n DF ,所以x = y ,z = 2 y取 y = 1，得 x =1 , z =- .则 n = (1,1，一.因为 AM

6、 =f-W，-坐，11I 227所以n =-y2 AM，得n与AM共线.所以AM，平面BDF.10.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1clD1中，底面边长为2、，侧棱长为4, E, F分别是棱AB, BC的中点.求证：平面B1EF，平面BDD1B1.证明以D为坐标原点，DA , DC , DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系如图，由题意，知 D(0,0,0) , A(2.；2 , 0,0) , C(0,212 , 0) , B 1(2X12 , 2於,4) , E(2班,2, , 0) , F(.,2,2n , 0),则 BE =(0,-於，-4), TOC o 1-5

7、h z .,EF =(-;2、；2 , 0).设平面B 1 EF的法向量为n = （x , y , z）.贝U n - B 1 E =- ,2y - 4z = 0 , n - EF =- -2Xx + 2y = 0 ,，考 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document ,、 一 7 I-J-又平面BDD 1 B 1的一个法向量为AC =( - 2-,! 2 , 2-.： 2 , 0),而n- AC =1X( - 2理)+ 1义2理 + 1-孝X0 = 0 ,- 即 nLAC，平面 B 1 EF，平面 BDD 1 B 1.B组素养提升练一11.（多选题）已知

8、点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果凝= （2,1,4), AD = (4,2,0), AP=(1, 2,1).对于下列结论正确的有()APABAPAD一AP是平面ABCD的法向量一.一 ABC由于AP- AB =- 1X2 + ( - 1)X2 + ( - 4)X( -1) = 0, AP- AD = 4X( - 1)一 一 一+ 2X2 + 0X( - 1) = 0 ,所以 A、B、C 正确，又BD = AD - AB = (2,3,4)._ 一一 一VAP = ( - 1,2 ,- 1),不满足AP =况D ,D不正确，故选ABC.12.（多选题）在如图所示的空间直角坐标系中，

9、ABCD-A 1 B 1C 1 D 1是棱长为1的 正方体，给出下列结论中，正确的是（）-1 -1 -A.平面 ABB 1A 1的一个法向量为(0,1,0)B.平面B 1 CD的一个法向量为(1,1,1)仁平面B1CD 1的一个法向量为(1,1,1)D.平面 ABC 1 D 1的一个法向量为(0,1,1)一 一一 .一AC : AD = (0,1,0) , ABAD , AA 1AD，又 AB n AA 1 = A，.二AD 平面一一ABB 1 A 1 , AA 正确；：CD = (- 1 , 0,0)，而(1,1,1CD =- 1=0 ,，(1,1,1)不是平，一 - ，一一面B 1 CD的

10、法向量，AB不正确；C中易证AC1，面B 1 CD 1 AC 1 = （1,1,1） , AC正确，D 中，因 AB = (1,0,0) , A AB -(0,1,1) = 0，又 AD 1 = (0,1,1)，且(0,1,1(0,1,1)10 ,AD不正确.(一题两空)已知空间三点 A(-1,1,1), B(0,0,1), C(1,2,3),若直线 AB上存在一点M上存在一点M，满足CMAB，则点M的坐标为，若n = （x, y,乙）为平面ABC的法向量12122, 1一一一z) , : AB = (1 ,- 1,0)x - 1 - (y -2) = 0-1)一CM-1)一CM=(x-1得1

11、x =- yz -1=0z =1 z =1 , A点M的坐标为（-12,1一又AC =(2,1 ,- 4).31 31 ： 4 = 4 ： 4 ： 3.底面是以NABC为直角的等腰三角n- AB = x - y = 0 且 n- AC = 2x + y - 4z = 0 ,3令 x= 1，则 y= 1 ,z = 4 , ax：y：z=1 ：.如图所示，在直三棱柱ABC -A 1 B1cl中, 形，AC=2a, BB 1 = 3a, D是A 1 C 1的中点，点E在棱AA 1上，要使CE，面B 1 DE, 则 AE=.a或2a 建立如图所示的空间直角坐标系，则 B 1(0,0,3a) , C(0

12、 , 2a, 0),/吏a V2 a2 )D， , , 3 a .I 227设 E(-J2a,0 , z)(0Wz3a),则 & = (x,2a ,- v12a , z),BE = (v2a,0 , z - 3a),又 CE - B 1 D = a 2 - a 2 + 0 = 0 ,CE - B 1 E = 2 a 2 + z 2-3 az = 0 ,解得z = a或2a.故AE = a或2a.思维提升练.如图，在三棱锥尸-ABC中，AB = AC, D为BC的中点，PO,平面ABC, 垂足O落在线段AD上，已知BC =8, PO=4, AO = 3, OD=2.-1 -(1)证明:APJLB

13、C；在线段AP上是否存在点M,使得二面角A - MC-1 -(1)证明:APJLBC；解(1)证明：如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，则O(0,0,0),; AP = (0,3,4) , BC = ; AP = (0,3,4) , BC = ( - 8,0,0)，由此可得 AP- BC = 0A(0 ,- 3,0) , B(4,2,0) , C( - 4,2,0) , P(0,0,4) 所以AP BC，所以AP BC. 、一_ 一假设存在满足题意的点M ,设PM = yPA , 0Wy 1_BM = BP + PM = BP + yPA = ( - 4 ,- 2,4) + y(0 ,- 3_则 PM = y(0 , - 3 , - 4) -4) = ( _则 PM = y(0 , - 3 , - 4) -4) = ( - 4 ,- 2 - 3 r,4 -设平面BMC的法向量为n 1 = (x 1 , y 1 ,z 1)，平面APC的法向量为n2 = (x2 , y2 ,由1-4x 1-(2 + 3