2020届高考数学总复习妙用8个二级结论巧解高考题

1、2020届高考数学总复习：妙用8个二级结论巧解高考题2020届高考数学总复习：妙用8个二级结论巧解高考题12/122020届高考数学总复习：妙用8个二级结论巧解高考题结论1奇函数的最值性质已知函数fx是定义在区间D上的奇函数，则对任意的xD，都有fxfx0.特别地，若奇函数fx在D上有最值，则fxmaxfxmin0，且若0D，则f00.1【典例1】设函数f(x)x12sinx的最大值为M，最小值为m，则Mx21m_.显然函数f(x)的定义域为R，x12sinx2xsinxf(x)x211x21，2xsinx设g(x)21，则g(x)g(x)，xg(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)m

2、axg(x)min0，Mmg(x)1maxg(x)1min2g(x)maxg(x)min2.【链接高考1】(2018全国卷)已知函数f(x)ln(1x2x)1，f(a)4，则f(a)_.2由f(a)ln(1a2a)，得ln(2a)，所以f(a)141a3ln(1a2a)1ln11ln(1a2a)1312.1a2a结论2函数周期性问题已知定义在R上的函数fx，若对任意的xR，总存在非零常数T，使得fxTfx，则称fx是周期函数，T为其一个周期.,常有的与周期函数有关的结论以下：1若是fxafxa0，那么fx是周期函数，其一个周期T2a.112若是fxafxa0，那么fx是周期函数，其一个周期T2

3、a.3若是fxafxca0，那么fx是周期函数，其一个周期T2a.4若是fxfxafxaa0，那么fx是周期函数，其一个周期T6a.3【典例2】已知定义在R上的函数f(x)满足fx2f(x)，且f(2)f(1)1，f(0)2，则f(1)f(2)f(3)f(2014)f(2015)()A2B1C0D13由于fx2f(x)，3所以f(x3)fx2f(x)，则f(x)的周期T3.则有f(1)f(2)1，f(2)f(1)1，f(3)f(0)2，所以f(1)f(2)f(3)0，所以f(1)f(2)f(3)f(2014)f(2015)f(1)f(2)f(3)f(2014)f(2015)f(2016)f(2

4、016)672f(1)f(2)f(3)f(2016)f(03672)f(0)2，应选A.【链接高考2】一题多解(2018全国卷)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x)若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)()A50B0C2D50法一：由于f(1x)f(1x)，所以函数f(x)的图象关于直线x1对称由于f(x)是奇函数，所以函数f(x)的图象关于坐标原点(0,0)中心对称数形结合可知函数f(x)是以4为周期的周期函数由于f(x)是(，)上的奇函数，所以f(0)0.由于f(1x)f(1x)，所以当x1时，f(2)f(0)0；当x2时，f(3)f(1)f(1)2；

5、当x3时，f(4)f(2)f(2)0.综上，可得f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)1220(2)02202.应选C.x法二：取一个切合题意的函数f(x)2sin2，则结合该函数的图象易知数列f(n)(nN*)是以4为周期的周期数列故f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)1220(2)0202.应选C.结论3函数图象的对称性已知函数fx是定义在R上的函数.ab1若faxfbx恒成立，则yfx的图象关于直线x2对称，特别地，若faxfax恒成立，则yfx的图象关于直线xa对称.2若faxfbxc，则

6、yfx的图象关于点ab，c中心对称.特别地，22若faxfax2b恒成立，则yfx的图象关于点a，b中心对称.)【典例3】已知定义在R上的函数f(x)满足f(x1)f(1x)，且在1，)1上是增函数，不等式f(ax2)f(x1)对任意的x2，1恒成立，则实数a的取值范围是()A3，1B2,0C5，1D2,1由f(x1)f(1x)可知f(x)图象关于x1对称，当a0时，不等式f(ax2)f(x1)化为f(2)f(x1)，由函数f(x)的图象特色可得|21|x11|，解1得x3或x1，满足不等式f(ax2)f(x1)对任意x2，1恒成立，由此排除A，C两个选项当a1时，不等式f(ax2)f(x1)

7、化为f(x2)f(x1)，1由函数f(x)的图象特色可得|x21|x11|，解得x2，不满足不等式f(ax12)f(x1)对任意x2，1恒成立，由此除掉D选项综上可知，选B.3【链接高考3】(2017全国卷)已知函数f(x)lnxln(2x)，则()Af(x)在(0,2)单调递加Bf(x)在(0,2)单调递减Cyf(x)的图象关于直线x1对称Dyf(x)的图象关于点(1,0)对称f(x)的定义域为(0,2)f(x)lnxln(2x)lnx(2x)ln(x22x)设ux22x，x(0,2)，则ux22x在(0,1)上单调递加，在(1,2)上单调递减又ylnu在其定义域上单调递加，f(x)ln(x

8、22x)在(0,1)上单调递加，在(1,2)上单调递减选项A，B错误f(x)lnxln(2x)f(2x)，f(x)的图象关于直线x1对称，选项C正确f(2x)f(x)ln(2x)lnxlnxln(2x)2lnxln(2x)，不恒为0，f(x)的图象不关于点(1,0)对称，选项D错误应选C.结论4对数、指数形式的经典不等式11对数形式：1ln(x1)x(x1)，当且仅当x0时，等号成立2指数形式：exx1(xR)，当且仅当x0时，等号成立xx【典例4】设函数f(x)1e.证明：当x1时，f(x)x1.证明f(x)x(x1)?1exx(x1)?1xex(x1)x1x1x1411?x(x1)?x1e

9、x(x1)由经典不等式exx1(xR)恒成立可知x1ex1时，exx1.即x1时，f(x)x.x1【链接高考4】(2016全国卷)设函数f(x)lnxx1.(1)议论f(x)的单调性；(2)证明当x(1，)时，1x1lnxx；(3)设c1，证明当x(0,1)时，1(c1)xcx.1解(1)由题设，f(x)的定义域为(0，)，f(x)x1，令f(x)0，解得x1.当0 x1时，f(x)0，f(x)单调递加；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减(2)证明：由(1)知，f(x)在x1处获取最大值，最大值为f(1)0.所以当x1时，lnxx1.11故当x(1，)时，lnxx1，lnxx1，x1即1l

10、nxx.(3)证明：由题设c1，设g(x)1(c1)xcx，则g(x)c1cxlnc.c1lnlnc令g(x)0，解得x0lnc.当xx0时，g(x)0，g(x)单调递加；当xx0时，g(x)0，g(x)单调递减5c1由(2)知1lncc，故0 x01.又g(0)g(1)0，故当0 x1时，g(x)0.所以当x(0,1)时，1(c1)xcx.结论5等差数列的有关结论1若Sm，S2m.S3m分别为等差数列an的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列2若等差数列an的项数为2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2mm(amam

11、1)，S偶S奇md，S奇am.S偶am13若等差数列an的项数为2m1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数之和为S偶，则所有项之和S2m1(2m1)am，S奇mam，S偶(m1)am，S奇S偶S奇mam，.S偶m1【典例5】(1)等差数列an的前n项和为Sn，已知am1am1a2m0，S2m138，则m_.(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为3227，则数列的公差d_.(1)10(2)5(1)由aa20得20，解得a0或2.m1m1mmmm又S2m1a1a2m1(2m1)a38，2m12m显然可得am0，所以am2.代入上式可得2m119，解得m10.(2

12、)设等差数列的前12项中奇数项和为S奇，偶数项和为S偶，等差数列的公差为d.S奇S偶354，S偶192，由已知条件，得解得S偶S奇3227，S奇162.6192162又S偶S奇6d，所以d65.【链接高考5】(2015全国卷)设Sn是等差数列an的前n项和，若1aa3a53，则S5()A5B7C9D11法一：利用等差数列的性质进行求解a1a52a3，a1a3a53a33，a31，5a1a5S55a35，应选A.2法二：利用等差数列的通项公式和前n项和公式进行整体运算a1a3a5a1(a12d)(a14d)3a16d3，a12d1，54S55a12d5(a12d)5，应选A.结论6等比数列的有关

13、结论公比q1时，Sn，S2nSn，S3nS2n，成等比数列nN*.若等比数列的项数为2nnN*，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则S偶qS奇.已知等比数列an，公比为q，前n项和为Sn，则SmnSmqmSnm，nN*.【典例6】(1)设等比数列an的前n项和为n，若S63，则S9()SSS3678A2B.3C.3D3(2)已知等比数列an的前n项和为n，且满足S37，S663S22.求数列an的通项公式；求log2a1log2a2log2a3log2a25的值(1)B(1)由已知S63，得S63S3，由于S3，S6S3，S9S6也为等比数列，S37所以(S6S3)2S3(S9S6

14、)，则(2S3)2S3(S93S3)S7S7化简得S97S3，从而93.S63S33由37，S663，得S633333，(2)S22SqS(1q)Sq2.又Sa1(12，得121n1n2故通项公式an222.由(1)及题意可得log2ann2，所以log2a1log2a2log2a3log2a25101223251232275.【链接高考6】(2017江苏高考)等比数列an的各项均为实数，其前n项和为S已知7，S63，则a_.n.S34648a11q374，n1q1，公比为q，则32设a的首项为aa11q6634，1q1解得a14，q2，所以81275a4232.结论7多面体的外接球和内切球1

15、长方体的对角线长d与共点的三条棱a，b，c之间的关系为d2a2b2c2；若长方体外接球的半径为R，则有2R2a2b2c2.662棱长为a的正周围体内切球半径r12a，外接球半径R4a.8【典例7】(1)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线(实线和虚线)表示的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为()A24B29C48D58(2)已知一个三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的内切球的体积为_3(1)B(2)54(1)由三视图知，该几何体为三棱锥，如图，在324的长方体中构造切合题意的几何体(三棱锥A-BCD)，其外接球即为长方体的外接球2222表面积为4R(324)29.(2)由题意可知

16、，该三棱锥为正周围体，以以下列图6AEABsin602，6AO3AE3，223DOADAO3，三棱锥的体积VD-ABC1ABCDO1，3S3设内切球的半径为r，则1ACD)1，r3，VD-ABC3r(SABCSABDSBCDS369V内切球4r33.354【链接高考7】(2017全国卷)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其极点都在球O的球面上，则球O的表面积为_14长方体的极点都在球O的球面上，长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径设球的半径为R，则2R32221214.球O的表面积为S4R214214.42结论820)焦点的弦过抛物线y2px(p过抛物线y22pxp0焦点的弦AB有：p2xAxB4.yAyBp2.2p3|AB|xAxBpsin2是直线AB的倾斜角.【典例8】过抛物线y24x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|2|BF|，则|AB|等于()9A4B.2C5D6由对称性不如设点A在x轴的上方，如图，设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BEAD于E，设|BF|m，直线l的倾斜角为，则|AB|3m，由抛物线的定义知|AD|AF|