虚力原理在运动学速度分析中的应用

1、虚力原理在运动学速度分析中的应用摘要:通过用静力学理论和动力学理论联合求解运动学中的速度问题的实例，阐述了虚力原理在运动学速度 分析中的具体应用.借助虚力原理,可以在不掌握运动学理论的情况下求解速度问题，并用实例展示了滑动摩擦 力理论在运动学中速度分析方面的具体应用.虚力原理可以看作是虚位移原理的孪生对偶理论，可为求解运动 学中速度方面的问题提供新思路、新方法.关键词:虚力原理;运动学;速度分析;虚位移原理；虚功原理长期以来人们对虚位移原理进行了深入研 究，通过该原理可以用动力学理论求解静力学问 题1-21.既然如此，那虚位移原理是否也可以求解运 动学问题？虚位移原理是否存在孪生对偶理论？本文

2、提出的虚力原理可作为虚位移原理的孪 生对偶理论.通过虚力原理可以用静力学理论和 动力学理论联合求解运动学中的速度问题，还可 用滑动摩擦力理论求解相对速度.虚力原理为求 解运动学中速度问题提供了新思路、新方法.1虚力原理定常、理想、双面约束运动学系统在运动过程 中的任一时刻，假想系统在该时刻处于静止状态， 并假想施加一个力系让静止系统中各物体都受力 平衡，这个假想施加的力系称为系统的虚力系，则 此虚力系在该时刻系统无限小时间段内发生的实 际位移上对应的虚功之和必为零，即E /?dr；=O 或 E，（1）式中:F,表示第i个虚力，因为是假想施加的力，所 以称为虚力；dr,.表示虚力的作用点在系统无

3、限 小时间段dt内发生的实际位移；v.表示虚力&作用 点的实际速度.上述就是虚力原理，式（1）称为虚力原理方程. 虚力系可以随意选取，只要能让静止状态下系统 中各物体都受力平衡就可以了 .虚力与真实位移 的点乘积或真实力与虚位移的点乘积都是虚功， 所以虚力原理方程与虚位移原理方程都是虚功方 程.虚位移原理要求系统处于静止状态，因为该 原理证明过程中用到了静止状态初始条件31.但虚 力原理对应的系统一开始可能就处于运动状态. 对于一个力系，不论是假想添加到系统上的虚力 系，还是实际存在的真实力系，只要能让静止状态 下的系统受力平衡,该力系就有能力让静止状态 的系统继续保持静止状态，即受力平衡状态

4、，就可 以对该静止状态的受力平衡系统应用虚位移原理. 对于定常约束系统，虚力原理中的实际无限小位 移（简称实位移）属于系统虚位移范畴.因此，虚力 原理本质上是在虚位移原理中用虚力替代真实 力、用实位移替代虚位移，即虚力原理的本质是虚 位移原理必要性成立条件的另一种表述，所以无 须再证明.2虚力原理求速度的具体应用对于理论力学课程而言，运动学中速度分析 问题重难点在刚体平面运动和点的复合运动章 节,下面用虚力原理对不同问题分别予以讨论.2.1平面运动问题例1如图1a所示，该机构在力偶M和M、共 同作用下处于静止且受力平衡状态，即静力学平 衡状态.CU = 1 m，AB=1.5 m，BCrOC，各

5、杆重量不 计.已知OA杆上力偶M的大小，（1）求BC杆上的 力偶M；（2）如图1b所示，如果在AB杆上作用力 偶M2使系统受力平衡，求M2的大小.图1a图1b解（1） AB为二力杆（图1a），其他杆受力如 图1c所示.对OA杆平衡力系（图1c）：（F,） = On M = FAls-sin150-QA；（1）对BC杆平衡力系（图1c）：2Mc（F,） = On M1 = FAls-sin60-BC,（2）式中，|BC|=|OA|sin60+|AB|sin30 = 1.62 m.将式（1）（2）联立可求解得：M1=2.80 M.（2）BC为二力杆（图1b），其他杆受力如图 1d/1e所示.对AB

6、杆平衡力系（图1d）：M-Fbc-|AB|sin60=0 = M2=FBC-|AB|sin60；（3）对OA杆平衡力系（图1e）：M-Fbc-|OA|cos60=0 = M=Fbc|OA|cos60.（4） 将式（3）（4）联立可求解得:M2=2.60 M.图1c图1d图1e例2 在图2a中，OA杆匀速转动，=4 rad/s，带动系统运动，OA = 1 m，AB=1.5 m.图示位置时BCOC，求此时BC杆、AB杆各自的角速度.图2a图2b解（1）求BC杆角速度吐.分别在OA、BC杆 上添加能让系统受力平衡的虚力偶M和M”如图 1a所示.把图2a系统图示时刻无限小时间段内的 实际位移作为虚位移

7、添加到图1a所示平衡静止系 统上，对图1a系统列虚功方程，即虚力原理方程：Mrndt -M1 1 dt=0，即M/-M/=0，其中,M1=2.80见例1（1）问的计算结果）.将M1代入得：M一2.80M/=0 =一2.80刃=0，即 1=刃/2.80=1.43 rad/s.（2）求AB杆角速度饥.分别在OA、AB杆上添 加能让系统受力平衡的虚力偶M和M2,如图1b所 示，列虚力原理方程，即虚功方程：MdtM22dt =0，即MM必广0，其中,M2=2.60M（见例1 （2）问的计算结果）.将炫代入得：M-2.60M2 =0 = -2.602=0,即2=刃/2.60=1.54 rad/s.至此，

8、例2题求解完毕.借助虚力原理，我们在不用运动学理论情况 下单纯用静力学理论和动力学理论就可求解出杆 BC、AB各自的角速度.作为比照，下面用运动学理论再次求解例2问 题.如图2b所示，v=|OA|/=4 m/s.AB杆作平面运 动，以A为基点，则B点速度：VB = Va + Vab大小？ J ？方向J J J该矢量方程分别向水平、竖直方向投影得：-Vb = -Va sin 60 + vab sin 300 = Va cos 60 - vab cos 30Vb =2.31 m/s，Vab =2.31 m/s，n/i=V/|BC|=2.31/1.62 = 1.43 rad/s，（2=AB/|AB|

9、 =2.31/1.5 = 1.54 rad/s.可见用运动学理论与虚力原理理论，两者求 解结果相同.这也间接检验了虚力原理的正确性.2.2 点的复合运动问题例3如图3a所示，偏心轮半径为r,绕轴O 转动角速度m =2 rad/s.图示位置时COAO,求此 时AB杆角速度吐的值.图3a图3b图3 c解 如图3b所示，设系统在虚力偶M和Mi共 同作用下静止平衡,忽略弹簧弹力（虚力系可以任 意选取，只要能让静止系统受力平衡即可）.把图 3a系统在图示位置处无限小时间段内的实际位移 作为虚位移添加到图3b所示系统中，对图3b系统 列虚功方程，即虚力原理方程：M/dt-M/dt =0，即M- M/ =0

10、.（5）图3b中AB杆对应的平衡力系如图3c所示， 2M（F；）=0 = M1=FD - |AD|, |AD| =tan30。；图3b中圆轮对应的平衡力系如图3d所示， EMO（F;）=0 = M =Fd sin60-r.把M和Mi表达式同时代入式（5）并整理得：sin60,r/-r/tan30=0 = rnt= 0.5 = 1 rad/s.图3d图3e至此，例3题求解完毕.作为比照，下面用运动学理论再次求解例3问 题.如图3e所示，动点取圆轮轮心点C、动系建立 在AB杆上，有Va= Ve + Vr .（6）大小J ？ ？方向J J J在式（6）中,v“=rco（ J）;Ve=|ACi，vAC

11、,|AC| =2r；Vr平行于AB杆轴线.式（6）分别向水平、竖直方向投影得：（-va = -ve cos 60 - vr cos 60?= ve sin 60 - vr sin 60,=Ve =冲vr =AB杆角速度：刃=vAC|=0.5用=1 rad/s.可见用运动学理论和虚力原理的求解结果相 同.但是用虚力原理求解时只用到了静力学力系 平衡理论和动力学理论，不涉及运动学理论；而用 运动学理论求解时牵扯到一系两点三运动等相对 抽象的点的复合运动理论.2.3 平面运动与点的复合运动综合问题例4如图4a所示，系统静止平衡.O1A杆水 平，长度为r，b=4r，3=30，O2BLDB .不计各构件

12、自 重,求力偶M与力F之间的平衡关系.图4a图4b解 O1A杆所受平衡力系如图4b所示，且 TOC o 1-5 h z E MO1（F）=0 = M=Fa - sin30-r；（7）DB为二力杆,OB杆所受平衡力系如图4c所 示，且2Mo2（F）=0 = FA -| OA -FBd-I O2B | =0 =Fa=V3FBd；（8）D C杆所受平衡力系如图4d所示，且 EFx=0 = F=Fbd-cos30.（9）将式（8）（9）同时代入式（7）得:M=F-r.这就是力偶M与力F之间的力学平衡关系.图4c图4d例5如图5a所示，OA杆长度为r,匀速定轴 转动，角速度为刃，带动系统运动.b=4r,

13、图示时刻3 =30,求此时CD杆速度v的大小.解分别在O1A杆、CD杆上添加虚力偶M及 虚力F使系统受力平衡,如图4a所示.把图5a所示 系统在图示时刻无限小时间段内的实际位移作为 虚位移添加到图4a所示平衡静止系统上，对图4a 系统列虚功方程，即虚力原理方程：MmdtFvdt=0,即Mm -Fv=0,其中,M=Fr（见例4计算结果）.将M代入上式整理得：v=rm .至此，例5题求解完毕.图5a图至此，例5题求解完毕.作为比照,下面用运动学理论再次求解例5问 题.如图5b所示，以O1A杆A端点为动点、OB杆 为动系，va = Ve + vr，VaOtA，Ve,O2B，Vr沿 O2B杆轴 线；V

14、a =vA=rm，v= v“.sin30=0.5 的，OB 杆角速度 mo2B=ve/1 O2A | =0.25，vB = O2B -= 0.5VT rs.BQ杆作平面运动，由速度投影定理得：vB = vD cos 30 = vD = vB sec 30 = rs ；CD杆平行移动，该杆速度:v = vD = rs.可见用运动学理论求解结果与上述虚力原理法 求解结果相同，这也相互检验了两套理论各自的正确 性.点的复合运动与刚体平面运动一直都是理论 力学课程教学的重难点，是很多初学者的薄弱环 节.在例5中，虚力原理解题法比运动学理论求解 方法有明显优势：完全避开了点的复合运动理论 中动点、动系的

15、选择问题，也避开了速度投影定理 等平面运动理论.在理论力学教材中，物体的运动包含平行移 动、定轴转动、平面运动和相对运动（即点的复合 运动）等，不同形式的运动对应着不同的速度求解 理论及方法.但是在利用虚力原理求解速度时候， 不同运动形式刚体却有着相同的求解理论，即在 静力学力系平衡理论和动力学理论运用中，我们 可以在完全不懂运动学理论的情况下求解出速度 问题.3 滑动摩擦力理论在速度求解中的应用在利用虚力原理时候，引入摩擦力理论可以 简化相对速度问题的分析求解难度.例6 如图6a所示，凸轮向右运动，推动AB 杆向上运动.图示时刻凸轮速度v=3m/s，a=60，求 此时AB杆速度va及AB杆B

16、端点在凸轮上的相对 滑动速度vr的值.解如图6b所示,设系统在虚力F和Fa共同 作用下静止平衡，并且凸轮与AB杆之间有摩擦 力，设滑动摩擦系数为f.把图6a所示系统在图示 时刻无限小时间段内的实际位移以虚位移形式添 加到图6b所示系统上,摩擦力做负功，列虚力原理 方程：F - vdt- Fa - vAdt- fFB vr dt=0，即F-v-Fa-va - fFB - vr=0，（10）其中Fb表示AB杆B端对凸轮的正压力.图6a图6b对于图6b所示静止平衡即静力学平衡系统， 凸轮、AB杆所受平衡力系依次如图6c、图6a图6b图6 c图6d图6e对凸轮平衡力系（图6c）：Fix=0 = F=F

17、b - cosa+fFB - sina ；（ 11）对AB杆平衡力系（图6d）：Fiy=0 n FA=FB.sina - fFB-cosa.（ 12）将式（11）（12）同时代入式（10）并整理得: v-cosa+fv-sina-vA-sina+fvA cosa-f-v,=0, （13） 其中摩擦系数f可以取任何值，例如当f=0.1，f=02 和f=0.3时，式（13）都应该成立.这说明式（13）中 所有含f项的和等于零，即fv-sina+fvA cosa-f vr=0n v-sina+ vA-cosa- vr =0.（14）将式（14）代入式（13）并整理得：vcosa - vA sina

18、=0，（15）式（15）是滑动摩擦系数f=0 （即不存在摩擦力）时候 系统虚力方程的化简结果.实际上不论是否存在摩擦力，凸轮与AB杆之间的速度关系都相同.将 式（14）（15）联立求解得：vA =V3 m/s，vr =1V3 m/s.至此，例6题已求解完毕.作为比照，下面用运动学理论再次求解例6问 题.如图6e所示，动点取AB杆B端点，动系建立 在凸轮上，v。=v =3 m/s，va = ve + vr，该式分别向水 平、竖直方向投影得：vr = 2T3 m/s va = a/3 m/s0 = ve - 0 = ve - vr sin 60 Jva = 0 + vr cos 60 习例7如图7

19、a所示，套环Q同时套在水平杆 DE和直角弯杆ABC上.弯杆ABC绕A轴左右摆 动,AB=0.2m，A点到水平杆DE的垂直距离也为 0.2 m.图示时刻m=5 rad/s，求此时套环Q的绝对速 度v和沿ABC杆滑动的相对速度vr的值.解 如图7b所示，在套环Q上添加虚力尸，在 弯杆ABC上添加虚力偶设系统在F和M共同 作用下静止平衡，并且套环Q与弯杆ABC杆之间 存在摩擦力，设滑动摩擦系数为f.把图7a所示系 统在图示时刻无限小时间段内的实际位移以虚位 移形式添加到图7b所示静止平衡系统上，滑动摩 擦力做负功，列虚力原理方程得：Mmdt- Fvdt - fFN-vrd=0，即Mm-Fv-fFN-

20、vr =0，（16）式中Fn表示弯杆ABC对套环Q的正压力.图7b所示系统静止且受力平衡，套环Q、弯杆 ABC所受平衡力系依次如图7c、7d所示.对套环Q平衡力系（图7c）：ZF,x=0 = F=FNcos20+fFNsin20； （17） 对弯杆ABC平衡力系（图7d）：ZMa（F,.）=0 n M=Fn -|BQ |+fFN |AB|；（18）由图 7e可知，|BQ|=|AB|tan35=0.140 m.图7a图7b图7c式（16）（17）同时代入式（18）并整理得： |BQ|m+fAB|m- cos20 v-fsin20 v-f vr=0，（19） 其中摩擦系数f可以取任何值，例如f=0.1, f=02 和户0.3等时，式（19）都应该成立.这说明式（19） 中所有含f项的和为零，即fABa - fsin20 v -/ vr = 0=|AB|m-vsin20-vr = 0.（20）式（20）代入式（19）并整理得：|BQ|mv,cos20=0，（21）上式实际上是摩擦系数f=0 （即不存在摩擦力）时 系统虚力方程的化简结果.实际上不论是否存在 摩擦力，套环Q与弯杆ABC之间的速度关系都相 同.将式（20）（21）联立求解得：v=0.745 m/s，vr =0.745 m/s.至此，例7题已求解完毕.图7d图7e作为比照，下面用运动学理论再次求解例7问 题.取套环Q为动