协方差和相关系数公式

1、协方差和相关系数公式一相关系数与协方差的关系1协方差、相关系数的定义及性质设(X , Y)是一个二维随机变量，若EX-E(X) Y-E(Y)存 在，则称此数学期望为X与丫的协方差，并记为Cov(X,Y)=EX-E(X) Y-E(Y) ,特别有 Cov(X,X)=Var(X)o从协方差的定义可以看出，它是X的偏差“XE(X) ”与Y的偏差“Y E(Y)”的乘积的数学期望。由于偏差可正可负，故协方差也可正可负, 也可为零，其具体表现如下：当Cov(X,Y)0时，称X与丫正相关，这时两个偏差X-E(X)与 Y-E(Y)同时增加或同时减少，由于E(X)与E(Y)都是常数，故等价于 X与丫同时增加或同时

2、减少，这就是正相关的含义。当 Cov(X,Y)当Cov(X,Y)=0时，称X与丫不相关。也就是说，协方差就是用来描述二维随机变量X与丫相互关联 程度的一个特征数。协方差Cov(X,Y)是有量纲的量，譬如X表示人的 身高，单位是米(m), Y表示人的体重，单位是公斤(kg),则Cov(X,Y) 带有量纲(m kg)o为了消除量纲的影响，对协方差除以相同量纲的量, 就得到一个新的概念一相关系数，它的定义如下：设(X , Y)是一个二维随机变量，且Var(X)0,Var(Y)0.则称Cov(X,Y)(X)(Y)Cov(X,Y) Corr(X,Y)=axa y为X与丫的(线性)相关系数。利用施瓦茨不等

3、式我们不难得到-lCorr(X,Y)l.也就是说相关 系数是介于到1之间的，并且可以对它作以下几点说明：若Corr(X,Y)=0,则称X与丫不相关。不相关是指X与Y没有线 性关系，但也有可能有其他关系，比如平方关系、立方关系等。若Corr(X,Y)=l,则称X与Y完全正相关；若Corr(X,Y)=-l,则 称X与丫完全，负相关。若02协方差与相关系数的一致性从协方差与相关系数的定义和性质我们不难发现，协方差与相关 系数都是反映X与丫相关程度的量。也就是说，他们有异曲同工之 效。在刻画二维随机变量两个分量间相互关联程度时，他们保持了一 致性。这一点我可以给出以下两个例子来说明。例一设随机变量X和

4、丫独立同服从参数为入的泊松分布，令U二2X+Y, V=2X-Yo求U和V的协方差及相关系数。解：因为Var(U)=Var(2X+Y)=5X, Var(V)=Var(2X-Y)=5X.所以Cov(U,V)=Cov(2X+Y,2X-Y)=Cov(2X,2X)+Cov(Y,2X)-Cov(2X,Y)-Cov(Y,Y)二3入由此得Corr(U,V)=Cov(U,V)(U)(V)=3 入5入二35服从参数为入的泊松分布中得入0,由协方差Cov(U,V)=3X是恒 大于0的，再由相关3系数Corr(U,V)=,就很好的说明协方差与相关系数均可以反映 二维随机变量关联程度。5我们再看下一个例题，看能否能出这

5、个结论呢？例二将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反 面向上的次数，试求X和丫的协方差和相关系数。解：因为X+丫二n,且Xb (n, 1/2), 丫b (n, 1/2),所以n Var(X) =Var(Y)=,4n Cov(X,Y)=Cov(X 门一X)二一Cov(X,X)二一4Corr(X,Y)= Cov(X,Y)(X)(Y)二n 二一14我们假定Cov(X,Y)=-l4我们可以得出，随着n的增大，协方差Cov(X,Y)就越来越小，随 之 X 与 Y 的负相关性就表；n=100,Cov(X,Y)=-25； n=*, Cov(X,Y)= 2500,现得越来越强烈。就有limCov(

6、X,Y)=-oo, X与Y间是完全负 相关的。n-8又由于Corr(X,Y)=-l,表明X与丫间是完全负相关的。其实， 这个结论早就蕴含在线性关系式x+Y二n之中了。综上，就说明：在某种情况下，协方差和相关系数在反映X与Y 间的关联程度时保持一致性。若是这样的话，研究相关系数似乎有点多余了。因为, 我们已经有一个可以反映X与Y间的关联程度的量了(即协方差)， 那我们能否找出相关系数更的地方呢？ 3协方差与相关系数的“矛 盾性”Corr(X,Y)越接近1,则线性相关程度越高；Corr(X,Y)越接近0,则 线性相关程度越低。而协方差看不出这一点。若协方差很小，而其两 个标准差oX和oY也很小，则其比值就不一定小，下面我们来看实例。例三已知随机向量(X,Y)的联合密度函数为83,0求X,丫的协方差及相关系数。解：先计算两个边际密度函数，再分别计算E(X)、E(X2)、E(Y)、E(Y2)、Var(X) Var(Y)及 E(XY)。最后得协方差和相关系数为Cov(X,Y)二 E(XY)-E(X)E(Y)二0.0471Corr(X,Y)=Cov(X,Y)p(x,y)=oxo二0.8243 y这个协方差很小，但其相关系数并不小。从相关系数 Cor(X,Y)二0.8243看，X与Y有相当程度的正相关；但从相应的协方 差Cov(X,Y)二0.0471看，X与丫的相关