自动化车床管理的最优解决方案

1、自动化车床管理的最优解决方案摘要本文解决的是自动化车床管理中检查间隔和刀具更换策略的最优化问题，我们对题目中所给数据用Excel进行了统计分析，并通过卡方拟合检验法进一步验证出现故障时生产的零件数服从正态分布，为此我们分别对以下三个问题建立概率模型来求解。对于问题一：该该问题属于优优化问题中的的概率数理统统计问题，通通过Exceel对表格中中的数据进行行数据统计分分析，我们发发现故障发生生时所完成的的零件数符合合正态分布，因因此我们建立立连续型随机机事件模型并并用MATLLAB解出每每个零件损失失费用最小值值为 ，即换刀次数数为359件件，检查间隔隔为18件时时为最优策略略。对于问题二：分分析

2、得刀具故故障符合正态态分布概率密密度曲线，因因此可以建立立一个随机模模型。在一个个换刀周期内内要么每次抽抽到合格品，要要么换刀之前前抽到次品。每每次抽到合格格品又可以分分两种情况，即即工序正常时时抽到98%的合格品和和工序故障时时抽到40%的合格品；换刀前抽到到次品又可分分为两种情况况，即工序故故障时抽到660%不合格格品和工序正正常时抽到22%不合格品品。我们把工工序正常时抽抽到2%不合合格品整合到到前三种情况况中，最后通通过MATLLAB求得最最优解，即损损失费用 。当换刀次次数为2877件，检查间间隔为72件时获得得最好的效益益。对于问题三：在在第二问的基基础上，我们们将检查策略略改为：

3、若抽抽到正品则认认为机器正常常，抽到次品品则连续抽查查两次，可以以减小每个零零件损失的期期望值。最后，分别对模模型一，模型型二对样本均值与与样本方差以以及概率方面面进行灵敏度度分析，并比较了这些些量的改变对对每个零件损损失期望值的的影响。 关键词： 正态态分布 概率模模型 数理统计计 灵敏敏度分析1问题的重述述1.1自动化车车床管理的现现状 目前中中国机床产业业仅仅在规模模方面具有相相对比较优势势，与机床制制造强国相比比，在结构、水水平、研发和和服务能力等等方面都还存存在明显的差差距。但有些些行业如铁路路、航空、能能源等行业对对机床依然有有较大需求，尤尤其是汽车制制造行业开始始回升。随着着制造

4、业市场场需求的变化化、产品升级级需求的释放放、“振兴规划”和“重大专项”政策的出台台，产品结构构在不断优化化，机床行业业将出现结构构性复苏机会会。1.2本文需要要解决的问题题 一道工序用自自动化车床连连续加工某种种零件，由于于刀具损坏等等原因该工序序会出现故障障，其中刀具具损坏故障占占95%, 其它故障仅仅占5%。工工序出现故障障是完全随机机的, 假定定在生产任一一零件时出现现故障的机会会均相同。工工作人员通过过检查零件来来确定工序是是否出现故障障。现积累有有100次刀刀具故障记录录，故障出现现时该刀具完完成的零件数数如附表。现现计划在刀具具加工一定件件数后定期更更换新刀具。 已知生产工序的的

5、费用参数如如下： 故障时产出的零零件损失费用用 f=2000元/件； 进行检查的费用用 t=100元/次； 发现故障进行调调节使恢复正正常的平均费费用 d=33000元/次(包括刀刀具费)； 未发现故障时更更换一把新刀刀具的费用 k=10000元/次。 1)假定工序故故障时产出的的零件均为不不合格品，正正常时产出的的零件均为合合格品, 试试对该工序设设计效益最好好的检查间隔隔（生产多少少零件检查一一次）和刀具具更换策略。 2)如果该工序序正常时产出出的零件不全全是合格品，有有2%为不合合格品；而工工序故障时产产出的零件有有40%为合合格品，600%为不合格格品。工序正正常而误认有有故障停机产生

6、的损损失费用为11500元/次。对该工工序设计效益益最好的检查查间隔和刀具具更换策略。3）在2)的情情况, 可否否改进检查方方式获得更高高的效益。 附:100次刀刀具故障记录录(完成的零零件数)45936262454250958443374881550561245243498264074256570659368092665316448773460842811535938445275525137814743888245388626597758597556496975156289547716094029608856102928374736773586386996345555708441660610

7、624841204476545643392802466875397905816217245315125774964684995446457645583787656667632177153108512.模型的假设设与符号说明明2.2模型的假假设假设一：工序出出现故障是完完全随机的，假假定在生产任任何一零件时时出现故障的的机会均相等等。假设二：由于刀刀具损坏故障障比率较大，则则忽略其它故故障对计算结结果的影响。假设三：更换刀刀具和发现故故障进行调节节使恢复正常常使用，这两两者都看做一一个周期，之之后又是另外外一个周期的的开始。假设四：题中所所给的数据都都是通过实验验论证，正确确合理并且没没有错误。

8、假设五：对于某某一个刀具的的寿命可以近近似用该点的的概率密度表表示。假设六：因误判判而停机只有有误判停机损损失费，它的的一个周期没没有结束。 2.2符号说明明符号符号说明故障时产出的零零件损失费用用进行检查的费用用发现故障进行调调节使恢复正正常的平均费费用未发现故障时更更换一把新刀刀的费用工序正常而误认认有故障停机产生的损损失费用刀具损坏故障的的概率密度函函数第种情况该事件件发生的概率率每个零件损失费费用的期望值值一个周期内损失失费用的期望望总和第种情况损失费费用的期望和和一个周期内生产产合格零件的的期望值第种情况生产合合格零件的期期望值第种情况损失的的费用第种情况生产的的合格零件数数每生产个

9、零件换换一次刀具即即换刀周期每生产个零件检检查一次换刀前出现故障障时生产的合合格零件数一次换刀周期的的检查次数工序出现故障时时产出不合格格品的概率工序正常时产出出合格品的概概率3.数据的分析析与假设检验验通过对100次次刀具故障记记录的完成零零件数观察研研究及用Exxcel处理理验证，可以以估计刀具故故障分布函数数，其服从正正态分布，根根据记录数据据求出了，则则有发现这1100次刀具具故障时完成成的零件数近近似服从的正正态分布。 我们就大胆的假假设这1000次刀具故障障数据近似服服从正态分布布，再用卡方方拟合检验法法来进一步验验证。我们用用来作为检验验统计量。我们假设刀具使使用寿命近似似服从的

10、正态态分布，：表示总体的分分布函数是；：表示总体的分分布函数不是是；若，则成立，即即假设成立；若，则成立，即即假设不成立立；分析题中中所给数据可可以知道：的的最小值为884，最大值值为11533，我们可以以把这1100个数据从883.5到11153.55分成10组组，每组间隔隔，用Exccel画出频频数直方图如如上。数出落在每个小小区间的数据据频数，算出出，得到如下表表所示：卡方分布检验正正态分布表格格组限频数频率83.5-1990.530.030.01455.758.52190.5-2297.540.040.0430297.5-4404.570.070.09699.695.06404.5-5

11、511.5160.160.164116.4115.6511.5-6618.5250.250.213121.3129.33618.5-7725.5200.200.199819.9820.02725.5-8832.5130.130.143314.3311.79832.5-9939.570.070.07837.836.26939.5-11046.5530.030.03084.75.321046.5-1153.520.020.016210011100101. 9其中计算得：1. 9通常我们取，则则11.0771故有，因此在在水平0.005下我们接接受，即总体体X的正态分分布函数。由此我们得出刀刀具寿命

12、X服服从正态分布布。4.问题的分析析通过对车床故障障数据的数理理统计我们发发现车床出现现故障时所产产生的零件数数符合正态分分布函数，车车床的故障来来自于95%刀具故障和和来自于5%其它故障这这两方面因素素所致，此外外对于另外55%的其它故故障由于概率率较小，可以以当做小概率率事件，暂时时忽略。本文求解损失效效益最小情况况下，安排合合理的检查间间隔与换刀策策略。分析得得知车床出现现故障时所产产生的零件数数符合正态分分布函数，因因此可以建立立一个随机模模型来解决损损失最小的优优化问题。最最后使在一个个换刀周期内内，损失费用用的总期望值值与生产合格格产品的总期期望值比值最最小。在一个确定的换换刀周期

13、内，分分析易得这个个周期内只会会出现两种情情况：要么每每次抽到合格格产品要么在在换刀之前抽抽到次品。求求出两种情况况下损失的费费用再分别求求出两事件发发生的概率，即即为损失费用用的总期望值值。同理可以以求出一个周周期内生产合合格产品的总总期望值。对于问题一：分分析得刀具故故障符合正态态分布概率密密度曲线，因因此可以建立立一个随机模模型。在一个个刀具更换周周期内，题中中假定工序故故障时产出的的零件均为不不合格品，正正常时产出的的零件均为合合格品。那么么只有两种情情况换刀前机机器正常或换换刀之前机器器故障。易计计算这情况下下的每个零件件损失期望值值的表达式，最最后在MATTLAB中编编程求出符合合

14、题意的最优优解。对于问题二：分分析得刀具故故障符合正态态分布概率密密度曲线，因因此可以也建建立一个随机机模型。但题题中假设该工工序正常时产产出的零件不不全是合格品品，有2%为为不合格品，而工序故障障时产出的零零件有40%为合格品，660%为不合合格品。总体体求解思路不不变，在一个个换刀周期内内要么每次抽抽到合格品，要要么换刀之前前抽到次品。各各种情况方框框图表示为：由于单独考虑第第4种情况会会比较复杂，但但分析得前三三种情况包含含第4种情况况的一小部分分，因此可以以把第4种分分别放在前三三种情况中考考虑，最后在在MATLAAB中编程求求出符合题意意的解。对于问题三：同同理可以建立立一个随机模模

15、型，在问题二的情况况, 可否改改进检查方式式获得更高的的效益。在第第二问求解时时，我们抽查查零件时都是是等间距的。分分析得刀具故故障数据近似似服从正态分分布，也就是是说在开始的的一段时间内内零件出现故故障的概率较较小，随后加加大。因此等等间距检测就就出现弊端，所所以我们考虑虑不等间距检检测，依据刀具故故障数据正态态分布函数，开开始检测间距距大一些，之之后检测间距距小一些。或或每次检测连连续检查两次次，可以大大大减小抽到次次品和误判而而停机的概率率。5.问题一的解解答5.1随机模型型的建立 5.1.11确定目标函函数：通过对问题一的的分析我们确确立了目标函函数 每个零零件的损失费费用的期望值值为

16、一个周期期内损失费用用的期望总和和与生产合格格零件的期望望值之比，越小则获得的的效益越高，的最小值表达式为： 对于损损失费用的期期望总和为换换刀前不出现现故障的损失失费用期望和和和换刀前出出现故障的损损失费用期望望和之和。而而损失费用的的期望为损失失费用与此事事件发生概率率的乘积： 同理得得到换刀前生生产合格零件件的期望值的的表达式为： 第一种种情况即换刀刀之前没有出出现故障的损损失费用期望望值，为检查查费用和换刀刀费用之和再再乘以该事件件发生的概率率，表达式为为： 所以 第二种种情况即换刀刀之前出现故故障的损失费费用期望值，为检查费、故障维修费和零件损失费三者之和再乘以该事件发生的概率，其表

17、达式为： 事件概率为第个个零件恰好为为坏的概率为为： 所所以：同理，生产合格格零件的期望望值的表达式为： 5.1.2综综上所述得到到问题一的最最优化模型：5.2模型的求求解根据MATLAAB程序求得得：（见附录录问题一）每个零件损失费费用最小值为为即当检查间隔为为18件，刀刀具的额定寿寿命为3599件时可使损损失费用最小小。5.3结果的分分析 根据题题意，工序正正常时产出的的都为合格品品，故障时产产出的都为不不合格品，我我们考虑了换换刀前出现故故障和换刀前前不出现故障障这两种情况况，并分别用用MATLAAB编程求解解，最后我们们得到模型最最优解，即检检查间隔为118件，刀具具的额定寿命命为35

18、9件件时损失费用用最小。由于于刀具的额定定寿命为3559，通过66SQ分析得得出它的期望望值为6000,359/600=559.8%,有效的避免免后面刀具故故障发生的高高峰期，比较较符合实际情情况。6.问题二的解解答6.1随机模型型的建立 6.1.11确定目标函函数通过对问题二的的分析我们确确立了目标函函数： （1）第一种情情况下损失费费用的期望值值，为检查费费用、换刀费费、零件损失失费及误判损损失费之和再再与此事件发发生概率的乘乘积。 所以： （2）第二种情情况下损失费费的期望值，为检查费、故障维修费、零件损失费和误判停机费之和再与此事件发生概率的乘积。 所以（3）第三种情情况下损失费费用的

19、期望值值，为检查费、故故障维修费、误误判停机费及及零件损失费费之和再与此此事件发生概概率的乘积。损失费用 所以同理生产合格产产品的损失费费用期望和为为： 6.1.2综综上所述得到到问题二的最最优化模型： 6.2模型的求求解根据MATLAAB程序求得得：（见附录录问题二）每个零件损失费费用最小值为为即当检查间隔为为72件，刀具具的额定寿命命为287件时可可使损失费用用最小。6.3结果的分分析 根据题题意我们得知知要么每次都都抽到正品，要要么换刀前就就抽到了次品品，同时抽查查零件是不等等间距的，通通过对该问的的问题分析，我我们建立随机机模型并用MMATLABB求得最优解解，即检查间间隔为72件，刀

20、具具的额定寿命命为287件时损损失费用最小小。相比于第第一问换刀周周期缩短，检检测间隔加大大。主要由于于检查过程中中故障率加大大有关，若换换刀周期加大大则抽出次品品和误判停机机的概率将加加大，总的失失费用期望值值增大，合格格产品期望值值减小，所以以换刀周期减减小。检测间间隔价格增大大，则检测费费用减小，误误判而停机的的费用，零件件损失费用的的期望值都先先对减小，所所以加大检查查间隔。7.问题三的解解答7.1随机模型型的建立 7.1.11确定目标函函数通过对问题三的的分析我们确确立了目标函函数： （1）第一种情情况下损失费费用的期望值值，为检查费费用、换刀费费、零件损失失费及误判损损失费之和再再

21、与此事件发发生概率的乘乘积。 所以： （2）第二种情情况下损失费费的期望值，为检查费、故障维修费、零件损失费和误判停机费之和再与此事件发生概率的乘积。 所以（3）第三种情情况下损失费费用的期望值值，为检查费、故故障维修费、误误判停机费及及零件损失费费之和再与此此事件发生概概率的乘积。损失费用 所以同理生产合格产产品的损失费费用期望和为为： 7.1.2综综上所述得到到问题三的最最优化模型： 灵敏度的分析8.1样本均值值与样本方差差对结果的影影响 我们用用正态分布来来描述刀具出出现故障的分分布，其均值值方差的不确定定性，对结果会造造成误差。现现在用模型一一对结果进行行灵敏度分析析，得下表57059

22、0600600600600196.62991196.62991196.629911971992073393413593593593561719181818174.97584.72814.60964.61494.64384.75717.94%2.57%0.00%0.11%0.74%15.22%其中用代表相对对误差，其中。通过上表可以看看出，即使样样本均值与样样本方差与实实际的有一定定的差距，对对结果影响依依然不大。因因此我们采用用文中所给方方法是合理的的。8.2保持不变变，改变的值值从0.011到0.033变化，考察察其对结果的的影响 0.010.0120.0140.0160.0180.020.

23、0220.0240.0260.60.60.60.60.60.60.60.60.62992993052942942992992992995050515959606060607.2247.6938.1648.6349.0999.56510.03310.50310.975 由上表表可以看出，随随着的改变，最最优检查间隔隔变化不大，但但每个零件的的平均费用变变动较大，说说明工序正常常时生产不合合格品的概率率越小，其平平均费用越小小，且其对检检查间隔基本本没有影响。8.3保持不变变，改变的值值从0.1到到0.9变化化，考察其对对结果的影响响0.020.020.020.020.020.020.020.02

24、0.020.10.20.30.40.50.60.70.80.93303293243143042992942992996766656361605950508.5249.86611.46413.42115.9539.5659.6219.6439.6412 由此表表可以看出，随随着减少，每个零零件的损失期期望值基本维维持在一定范范围内保持不不变，而最佳佳检查间隔的的相对减小，说说明刀具发生生故障时，无无论其生产不不合格品的概概率有多小，对对每个零件的的平均费用影影响不大，但但会引起检查查间隔的减小小，由上述三三项分析可以以得出如下结结论：工序出现故障的的概率服从正正态分布，如如果要将每个个零件的平均

25、均费用控制在在尽量小，应应考虑改进加加工工序使其其提高在正常常情况下生产产合格品的概概率。9.模型的评价价、改进及推推广9.1模型的评评价 9.1.11模型的优点点 (1)本文文建模思想易易于理解，模模型操作性强强。 (2)将每每个零件的平平均损失费用用作为目标函函数，建立了了评估体系，既既有利于求出出模型的最优优解，又比较较符合实际生生产中企业取取舍方案的标标准。 （3）将所求求的目标函数数分解为几大大部分，条理理清晰。 （4）对某一一个刀具的寿寿命的概率近近似用概率密密度函数表示示，减小了计计算的复杂度度。 9.1.22模型的缺点点 (1)没有有对和的范围作估估计，导致和和将因范围的的扩大

26、而递增增。(2)数据处理理得不够精确确，未用泊松松分布而是利利用的正态分分布拟合已知知数据，存在在一定的误差差。(3)把其它原原因引起的55%的故障没没有考虑在内内，计算结果果的概率有误误差。(4)用概率密密度函数近似似代替概率也也存在一些误误差。9.2模型的改改进对于问题二，由由于工序正常常时产出的零零件仍有2%为不合格品品，而工序故故障时产生的的零件有400%为合格品品，这样工作作人员在通过过定期检查单单个零件来确确定工序是否否出现故障的的检查方式必必然会导致两两种误判：（11）正常工序序时因检查到到不合格品而而误认为出现现故障；（22）工序发生生故障后检查查到的仍是合合格品而认为为工序正

27、常。这这两种情况都都将造成很大大损失，我们们建议采取不不等间距的检检查方式，分分为以下几种种情况： (1)连连续两次检查查都为正品时时，我们认为为工序正常，继继续生产。 (2)连连续两次检查查都为次品时时，我们认为为工序发生故故障，进行维维修使其恢复复正常后再生生产。 (3)连连续两次检查查中，一次为为正品，另一一次为次品时时，继续第三三次检查，再再进行判断。 这样虽然然会相应的增增加检查费用用，但大大降降低了因误检检而造成的损损失，从而使使系统工序获获得更高的效效益。9.3模型的推推广 本文建建立的模型针针对的是单道道工序加工单单一零件的问问题，但可以以扩展到多道道工序和多个个零件的复杂杂车

28、床管理系系统。在多道道工序中，我我们可以通过过统计分析各各道工序发生生故障的概率率，有效的控控制故障发生生的次数，并并把多个零件件看做一个整整体，综合利利用以上模型型求出最优的的检查间隔和和换刀间隔。10.参考文献献1盛骤，概率率论与数理统统计( 第二版)，浙江大大学， 高等教育出出版社。2韩中庚，数数学建模方法法及其应用（第第二版），高高等教育出版版社，20009年。3曹弋，MMATLABB教程及实训训，机械工工业出版社，22008年。11.附录11.1对于问问题一用MAATLAB编编程：clear,cclcmin=100000for b=2200:4000 foor a=110:30; p2=00; i=1:b; p1=nnormcddf(b,6600,1996.62991); p3=ssum(noormpdff(i,6000,1966.62911).*(ii-1),22); m=11:b; p2=ssum( (200.*(a.*(floorr(m./aa)+1)-m)+30000+100*(flooor(m./a)+11).*nnormpddf(m,6600,1996.62991) ); minpp=(10000+flloor(bb/a)*110)*(11-p1)+p2)/(p3+(