在应用性问题教学中引导学生自主建模

1、在应用性问题教学中引导学生自主建模【摘 要】改善应用性问题的教学方式一直是大家关注的话题。 指导应用题教学改革最为倚重的就是 “问题解决”的理念。在问题解决过程中引导学生通过体验、 操作、迁移、探究等方式感悟、 同化、提炼、归纳出解决问题的数学模型，以期培养学生的应用意识和解决问题的能力。【关键词】应用性问题；建模；体验；操作；迁移；探究【基金项目】本文系江苏省“十二五”规划课题“用建模思想指导小学数学应用性问题教学的实践研究” （重点自筹 批准号 B-b/2013/02/281 ）的研究成果。中图分类号： G623.5 文献标识码： A 文章编号： 1671-0568 （2016） 13-0

2、068-03用问题解决的理念指导应用性问题教学，已经成为人们的共识。基于这样的认识，应用性问题教学方式的改善成了大家更为关注的话题。我们知道，问题解决中的“问题”是相对于学习者而言的。数学应用问题对于初学者来说都是新鲜的，都需要学习者综合地、创造性地运用数学知识和数学思想方法才能解决，因而表现出浓郁的探究性。应用题教学的本质是建模，我们对在应用性问题教学中如何引导学生自主建模进行了一些实践探索。一、体验归纳体验是一种重要的学习方式。在杜威看来，“教育即经验的改造或重组” ，教育应以儿童的经验为基础，并以儿童的经验增长为目的。 “做”是儿童的天性，教学中要创造让学生体验的机会，丰富学生个体活动经

3、验。应用性问题中数量关系是抽象的，要让建模在不断体验的历程中变得水到渠成。苏教版一年级数学教材中有这样一个问题：我们组织学生经历三次体验。第一次：尝试，经历运用运算意义解决问题过程。在这一过程中，学生原有的经验被调动，如果问题得到解决，经验也得以强化，如果遇到卡壳则激发探寻的欲望。 第二次：操作，经历算理的直观化过程。用 28 个圆圈代表28 个桃，请学生在图中圈出已经吃了的（如下图 1），并说出思考过程。在圈的过程中理解： 28 个桃分成了两个部分，从原来总个数里面去掉剩下的个数就得到吃掉的个数。第三次：积累，经历类似问题解决过程。学生自主解决两个问题（下图 2、图 3），体会：原来船的总只

4、数 - 剩下的只数 =划走的只数，原有足球的总个数 -剩下的个数 = 借走的个数。在体验的基础上通过比较进行归纳：这三个问题中告诉我们的条件分别是什么，有什么共同特点？问题分别是什么，有什么共同特点？（在学生交流的基础上，随机分步呈现如下表格）这三个问题分别是用什么方法计算解决的？有什么相同的特点？至此，解决这类问题的模型得以成功构建。最后进行拓展： 今天我们解决的问题有求 “吃掉几只桃”的，也有求 “划走几只船” 的，还有求 “借走几只球” 的都是用“原来的总数 -剩下的 =减少的”。想一想：在我们的生活中还有哪些情况也是这样求其中减少的一部分的呢？学生编题叙说。解决具体的问题不是目的，重要

5、的是通过解决问题理解数量关系，构建起解决问题的一般数学模型。在此过程中，体验是基础，突出学生的“悟” ；归纳是对问题共性的分析和把握，是学生认识上的一次飞跃；拓展则是数学模型的具体化，突出问题的结构特征及数量关系。二、操作感悟动手操作在促进知识理解、帮助数学思考、有效解决问题等方面起着不可低估的作用。应用性问题中的数量关系对于初学者来说是比较抽象的， 不易被发现， 如果采取直接 “告诉”的方式让学生接受，显然不能内化为学生的认知，因此有时需要将问题情境中的数量具体化，在操作中感悟，通过操作去发现。如“求两数相差多少的实际问题” ，解决这一问题的数学模型是： 大数 -小数。如何引导学生构建这一模

6、型，我们将动手操作引进学生的学习活动中，为数量关系的发现和抽象铺陈了一个学生可触及的缓冲带。操作一：老师这儿有两种颜色的糖， 请两位同学各抓一把放在实物投影仪上。你知道谁抓的块数多，多多少吗？怎样才能一眼看出谁多谁少？引导学生一一对应排列、数一数。（如图所示）：操作二：每组中哪种图形的个数多，多几个？你能通过画一画，然后排一排，找到答案吗？ 有 10个，有 7个有 12 个，有 8 个有 40 个，有 58 个。学生能顺利解决前两个问题，第三个问题由于数据比较大，学生不好操作，不能像刚才那样通过一一对应排一排数出结果，从而产生用其他方法解决问题的想法。感悟：当比较的两个数越来越大时，用排一排的

7、方法不能解决问题了，怎么办呢？进而引导学生对前面三组物体比较的情况进行分析：刚才我们是怎么比出橙色糖比蓝色糖多块的？又是怎么比出比、比多的块数的？从而感悟出：从较多的物体里面去掉与较少物体一样多的部分，就能得出它们相差多少。根据前面比的情况，你能想办法算出比多几个吗？学生思考后讨论交流。教师适时出示下图帮助学生理解，在此基础上揭示解决问题的方法：58-40=18 个动手操作活动应与数学思维结合，提升数学思考，努力把外显的动作活动与内隐的思维活动紧密联系起来。上述操作活动使学生积累了求两数相差多少的感性认识，丰富了形象思维，为抽象数量关系模型夯实了基础。三、迁移同化进行迁移性学习的前提是“学生原

8、有认知结构中已经具备同化新概念的适当概念” 。美国心理学家奥苏伯尔说：如果我不得不把全部教育心理学还原为一条原理的话，我将会说，影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么，根据学生原有的知识状况进行教学。布鲁纳在教育过程一书中这样说：领会基本原理和观念，看来是通向“训练迁移”的大道。义务教育数学课程标准也指出，教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，引导学生独立思考，合作探究。应用性问题教学中四则运算的意义就是基本概念和原理，可以利用它进行数量间的叠加组合，实现迁移学习。同样，学生已经习得的解决问题的经验也为学生学习方式的转变提供了很大的学习空间。苏教版数学教材二年级解决实际问题 （

9、如下图 4），教学前要分析基本学情：一是学生有乘车方面的生活经验，可以利用这一生活经验进行迁移学习；二是学生在一年级时就已经接触类似用连加、连减或加减混合计算解决问题的经验，可以利用这一学习经验进行迁移学习。学情的把握利于我们选择合理的学习方式，在自主解决问题的过程中建构数量关系模型：车上原有人数-下车人数 +上车人数 =离站时车上人数，或者车上原有人数+上车人数 -下车人数 =离站时车上人数。苏教版数学教材三年级（下）有这样一个问题（如下图5），学生学习前已经初步掌握“从条件想起”的解决问题策略，此时可以利用学生这一学习经验，通过迁移尝试建构数量关系的组合模型，即每只乒乓球的钱5=每袋乒乓球

10、的钱，每袋乒乓球的钱6=6 袋乒乓球的钱；或者每袋乒乓球的只数 6=乒乓球的总只数，每只乒乓球的钱乒乓球的总只数=6 袋乒乓球的钱。 接下来的交流活动是对学生解决问题经验的提取，将新问题的解决策略纳入到原有的认知结构中，实现知识和经验的同化。课的最后，笔者设计了一个开放性的问题，激活学生已有的建模经验（如下图6）。学生可以补充出下列条件：每个教室放几盘花、这栋教学楼有几层，每层有几间教室等。在这个教学设计中，学生的经验得到充分调动，根据条件建模或根据问题反向建模，都得到了很好的历练。迁移使得原有的建模经验得以激活、强化、重组和提升，这种学习方式充分尊重学生主体的认知状况，有利于学生解决问题能力

11、的培养。四、探究提炼应用性问题在沟通数学与生活间的联系等方面是很有价值的，学生在解决这样的问题时没有知识方面的障碍。这样的问题重在 “应用”， 应用所学的数学知识和方法来解决，学生的探究可以由此展开。我们可以依据学生已有的知识储备，让学生探究解决问题，在实践的基础上提炼出解决问题的基本模型。如下面是六年级教材中的一个问题：学生学习这一内容时已经了解百分数的意义，会解决一个数是另一个数的百分之几的问题，并且熟悉诸如“皮球的个数比足球多”中的数量关系：足球的个数 =皮球比足球多的个数。教学时无需亦步亦趋地通过发问分析引导学生解决问题，完全可以放手让学生尝试解决。再通过交流、分析，建构起解决问题的模

12、型，即：实际比原计划多的原计划的 =实际比原计划多百分之几，或者实际的原计划的-1=实际比原计划多百分之几。我们还可以将教材中的问题进行开发处理，使其更具有探究意味。如六年级比例尺的应用问题，我们将教材中告知的比例尺、明华小学到少年宫的图上距离及明华小学到医院的实际距离删去， 都变成未知信息，呈现给学生 （如下图）。改变后的问题是一个“真问题”，它非常贴近生活实际。学生在独立解决的过程中不断发现问题、提出问题，在此基础上相机出示补充的条件“比例尺是1 8000”、动手量出“少年宫到明华小学图上距离为 5 厘米”、告知“ 医院在明华小学正北方 240 米处”等。学生根据寻找到的条件独立解决问题，

13、并通过反思建构这样的模型：要求明华小学到少年宫的实际距离，需要知道这幅图的比例尺，量出图上距离，然后根据比例尺的意义解决问题；要在图中标出医院的位置，就要知道明华小学到医院的图上距离，而根据比例尺和实际距离就能求出图上距离。我们还可以在建模策略教学中激发认知冲突，引导学生探究。如三年级（下）解决问题策略单元例题，可以让学生根据已经掌握的 “从条件想起” 的策略尝试解决。 通过尝试，学生发现从条件进入思考不能很快进入解决问题的通道，于是激发起另辟蹊径的探究欲望。在学生探究的基础上组织交流活动：你是怎么解决这个问题的？为什么选择这几个条件？从而提炼出“从问题想起”的策略，进而理解从问题想起首先要对问题进行分析：买的运动服饰是什么，怎样才能使剩下的钱最多？进