2021-2022学年陕西省汉中市第八中学高三数学理月考试题含解析

1、2021-2022学年陕西省汉中市第八中学高三数学理月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx），则下列说法正确的是( )Af（x）的最小正周期为2Bf（x）的图象关于点对称Cf（x）的图象关于直线对称Df（x）的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数图象参考答案：C【考点】二倍角的余弦 【专题】三角函数的图像与性质【分析】利用二倍角公式化简可得f（x）=sin（2x+）+1，由正弦函数的图象和性质逐选项判断即可【解答】解：f（x）=2cosx（sinx+cosx）

2、=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+1，f（x）的最小正周期为，A错误；由f（）=sin0+1=1，B错误；由f（）=sin+1=1，C正确；f（x）的图象向左平移个单位长度后得到y=cos（2x+）+1，不为偶函数，故D错误故选：C【点评】本题主要考查了二倍角公式，正弦函数的图象和性质的应用，属于基础题2. 已知不等式ax25x+b0的解集为x|x或x，则不等式bx25x+a0的解集为（）Ax|xBx|x或xCx|3x2Dx|x3或x2参考答案：C【考点】一元二次不等式的解法 【专题】不等式的解法及应用【分析】根据所给的一元二次不等式的解集，写出

3、对应的一元二次方程的解，根据根与系数的关系得到不等式的系数的值，解出一元二次不等式得到解集【解答】解：因为ax25x+b0的解集为x|x或x，ax25x+b=0的解是x=，x=，=解得a=30，b=5则不等式bx25x+a0变为5x25x+300，x2+x60，解得|3x2故选C【点评】考查学生理解一元二次不等式解集求法的能力，会解一元二次不等式的能力3. 定义域为的偶函数满足对，有，且当 时， ，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是 （ ）A B C D参考答案：B4. 已知函数，若，有，则（是虚数单位）的取值范围为（ ）A（1,+） B1,+） C（2,+） D 2,+）参考答案：C由

4、，有，所以。所以。【考点】对数函数的性质，基本不等式。5. 已知向量满足：且则向量与的夹角是 参考答案：C略6. 已知椭圆的左右焦点分别为F1, F2,P是椭圆上一点，为以F2P为底边的等腰三角形,当,则该椭圆的离心率的取值范围是( )A. B. C. D. 参考答案：B7. 设an是公差不为零的等差数列，满足，则该数列的前10项和等于（）A10B5C0D5参考答案：C【考点】85：等差数列的前n项和【分析】设出等差数列的首项和公差，把已知等式用首项和公差表示，得到a1+a10=0，则可求得数列的前10项和等于0【解答】解：设等差数列an的首项为a1，公差为d（d0），由，得，整理得：2a1+

5、9d=0，即a1+a10=0，故选：C8. 一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列，则公比的平方为（）A BC D参考答案：答案:C 9. 已知函数f（x）=ln，若f（）+f（）+f（）=503（a+b），则a2+b2的最小值为（）A6B8C9D12参考答案：B【考点】对数的运算性质【分析】利用f（x）+f（ex）=lne2=2，可得a+b=4，再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：f（x）+f（ex）=lne2=2，503（a+b）=f（）+f（）+f（）=+=2012，a+b=4，a2+b2=8，当且仅当a=b=2时取等号故选：B【点评】本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考

6、查了推理能力与计算能力，属于难题10. iz=1-i（i为虚数单位），则z=A-1+i B-1-iC1+i D1-i参考答案：B【知识点】复数代数形式的乘除运算由iz=1-i，得，故选B.【思路点拨】由iz=1-i，两边除以i，按照复数除法运算法则化简计算二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 巳知函数分别是二次函数和三次函数的导函数，它们在同一坐标系内的图象如图所示.（1）若，则_；（2）设函数，则的大小关系为_(用“”连接）.参考答案：(1) 1; (2) h(0)h(1)b0)的上顶点为A，左，右焦点分别为F1，F2,且椭圆C过点P(，)，以AP为直径的圆恰好过右焦点F

7、2.(1)求椭圆C的方程；(2)若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，试问：在轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：(1)因为椭圆过点,解得a2=2, 又以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.所以AF2?F2P,即, b2=c(4?3c).6分而b2=a2?c2=2?c2,所以c2?2c+1=0,解得c2=1,故椭圆C的方程是. 4分(2)当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx+p，代入椭圆方程得(1+2k2)x2+4kpx+2p22=0. 因为直线l与椭圆C有只有一个公共点，所以=16k2p24(1+2k2)(2p22)=8

8、(1+2k2p2)=0，即 1+2k2=p2. 7分设在x轴上存在两点(s,0),(t,0),使其到直线l的距离之积为1,则而(*)不恒成立. 10分当直线l斜率不存在时，直线方程为x=?时，定点(1，0)、F2(1，0)到直线l的距离之积d1? d2=(1)( +1)=1. 综上,存在两个定点(1,0),(?1,0),使其到直线l 的距离之积为定值1. 12分19. 已知点F为抛物线E：x2=4y的焦点，直线l为准线，C为抛物线上的一点（C在第一象限），以点C为圆心，|CF|为半径的圆与y轴交于D，F两点，且CDF为正三角形（）求圆C的方程；（）设P为l上任意一点，过P作抛物线x2=4y的切

9、线，切点为A，B，判断直线AB与圆C的位置关系参考答案：【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】（）求出点C的坐标，再代入到抛物线的解析式中求出半径，问题得以解决；（）设P（t，1），A（x1，y1），B（x2，y2），根据导数和几何意义，求出A，B为切点的切线方程，即可得到直线AB的方程，再利用点到直线的距离，和半径的关系判断直线和圆的位置关系【解答】解：（I）由已知F（0，1），设圆C的半径为r，因为CDF为正三角形，C（r，|r1|），因为点C在抛物线x2=4y上，得r2=4r4 即3r216r+16=0，解得r=4或r=所以圆C的方程为C1：（x2）2+（y3）2=16，或C2：（x）2

10、+（y）2= （II）（方法一）因为准线l为y=1，设P（t，1），A（x1，y1），B（x2，y2），因为y=，所以y=，A（x1，y1）为切点的切线方程为：yy1=（xx1），y1=，即y=xy1，因为切线过P（t，1），得1=ty1，同理可得1=ty2，所以直线AB方程为1=xty，即tx2y+2=0，圆心C1（2，3），r1=4，C1到直线距离d1=可得d1216=0所以t=2时，d1=4，直线AB与圆C1相切t2时，d14直线AB与圆C1相交所以直线AB与圆C2相交或相切同理可证，直线AB与圆C2相交或相切所以直线AB与圆C1，C2相交或相切（注：因为直线AB过定点f（0，1），且斜

11、率R因为F（0，1）在圆C1，C2相上，所以直线AB与圆C1，C2相交或相切这样答扣1分）（方法二）设设P（t，1），A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+b，代入抛物线E的方程得x24kx4b=0 所以x1+x2=4k，x1x2=4b，因为y=，所以y=，A（x1，y1）为切点的切线方程为：yy1=（xx1），y1=，即y=x，B（x2，y2）为切点的切线方程为y=x联立得 所以 所以，所以直线AB方程为y=xt+1，以下与（方法一）相同20. 已知椭圆C 上点到两焦点的距离和为，短轴长为，直线l与椭圆C交于M、 N两点.（）求椭圆C方程；（）若直线MN与圆O 相切，

12、证明：为定值；（）在（）的条件下，求的取值范围参考答案：解：（）由椭圆C 上点到两焦点的距离和为，得2a=，即 ；由短轴长为，得2b=，即所以椭圆C方程：（）当直线MN轴时，因为直线MN与圆O相切，所以直线MN方程：x=或x=-，当直线方程为x=，得两点分别为（，）和（，-），故=0，可证=；同理可证当x=-，=； 当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN：y=kx+b，直线MN与圆O的交点M，N由直线MN与圆O相切得：d=，即25 ;联立y=kx+b，得，因此，=-，=；由=+=+=（1+k）+kb（）+b= ；由得=0，即=；综上=（定值）.（）不妨设，则，由三角函数定义可知M（cos，sin

13、），N（sin，cos）因为点M、N都在上，所以=， =（）（）=916+（9-16）2=916+（9-16），又0，1，故（）916，（） 因此 .略21. （本小题14分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=，AC= AA1=2（）求证：AC平面BEF；（）求二面角B-CD-C1的余弦值；（）证明：直线FG与平面BCD相交参考答案：解：（）在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1平面ABC，四边形A1ACC1为矩形又E，F分别为AC，A1C1的中点，ACEFAB=BCACBE，AC平面BEF（）由（I）

14、知ACEF，ACBE，EFCC1又CC1平面ABC，EF平面ABCBE平面ABC，EFBE如图建立空间直角坐称系E-xyz由题意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1），设平面BCD的法向量为，令a=2，则b=-1，c=-4，平面BCD的法向量，又平面CDC1的法向量为，由图可得二面角B-CD-C1为钝角，所以二面角B-CD-C1的余弦值为（）平面BCD的法向量为，G（0，2，1），F（0，0，2），与不垂直，GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，GF与平面BCD相交22. （本小题满分13分）如图，已知点M在圆O：上运动，MNy轴（垂足为N），点Q在NM的延长线上，且（）求动点Q的轨迹方程；（）直线与（）中动点Q的轨迹交于两个不同的点A和B，圆O上存在两点C、D，满足，（）求m的取值范围；（）求当取得最小值时直线l的方程参考答案：解析：（）设动点，点，因为点在圆