新必修二 8.5空间直线、平面的平行(教案+练习)

1、 .5空间直线、平面的平行【学习目标】1.掌握直线与平面平行的判定定理；2.掌握两平面平行的判定定理；3能熟练应用直线与平面、平面与平面平行的判定定理解决相关问题【要点梳理】要点一、直线与直线平行基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：a/b,b/cnac.基本事实4说明平行具有传递性，在平面、空间都适用.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.要点二、直线和平面平行的判定判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行.符号语言：aaa、bua,a/bnaa.要点诠释：(1)用该定

2、理判断直线a与平面a平行时，必须具备三个条件：直线a在平面a外，即aaa；直线b在平面a内，即bua；直线a,b平行，即ab.这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立(2)定理的作用将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定,也就是说,要证明一条直线和一个平面平行,只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可要点三、直线和平面平行的性质定理定理：一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行则线线平行.直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”.可以用符号表示：若aa,aup,二-F二二，则ab.这个性质定理可以看作直

3、线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：（1）直线a和平面（1）直线a和平面a平行，即aa；平面a和P相交，即aP=b；直线a在平面p内，即a三个条件缺一不可，在应用这内一切直线”的错误.、定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面三个条件缺一不可，在应用这内一切直线”的错误.、定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面要点四、两平面平行的判定符号语言：若aua要点四、两平面平行的判定符号语言：若aua、Z?ua,anb=A,a/P、b/P，则a/P.要点诠释：（1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的（2）定理充分体

4、现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行=面面平行要点五、平面和平面平行的性质定理定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.符号语言：若。3,ay=a,Py=Z?,贝ij”图形语言:（1（1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理.（2（2）已知两个平面平行直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）要点六、平行关系的综合转化空间中的平行关系有线线平行、线面平行、面面平行这三种关系不是孤立的，而是互相联系的它们之间的转化关系如下：骡而平行的刊定定霆提线平行一世面平行联阖平行的性质

5、定理痊事证明平行关系的综合问题需灵活运用三种平行关系的定义、判定定理、性质定理有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：空间之中两直线，平行相交和异面线线平行同方向，等角定理进空间判断线和面平行，面中找条平行线；已知线和面平行，过线作面找交线要证面和面平行，面中找出两交线线面平行若成立，面面平行不用看已知面与面平行，线面平行是必然若与三面都相交，则得两条平行线【典型例题】类型一、直线与直线平行例1如右图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E,F,G,H分别为AB,BC,CD，DA的中点.(1)求证：四边形EFGH(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；3果

6、AC=BD,求形EFCIH是*W.例2.如右图所示，AABC和ABC的对应顶点的连线AA，BBZAOBOCO2一点D，且苏=苏=中=(1)求证：AB4B,AC4。OAOBOC3S(2)求AABC的值.SAABC，co交于同C,BC/BC；4段段【总结升华】“等角定理”是平面几何中等角定理的类比推广,但平面几何中的“如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,则这两个角相等或互补”推广到空间中就不成立因此,我们必须慎重地类比推广平面几何中的相关结论在运用“等角定理”判定两个角是相等还是互补的途径有二：一是判定两个角的方向是否相同,若相同则必相等,若相反则必互补；二是判定这两个角是否均为锐角或均为钝

7、角,若均是则相等,若不均是则互补.举一反三：【变式1】已知E、E1分别是正方体ABCD-AF1c1D1的棱AD、A1D1的中点.求证：NBEC=NB1E1cl.类型二、直线与平面平行的判定例3.已知AB,BC,CD是不在同一平面内的三条线段，E,F,G分别是AB,BC,CD的中点，求证:AC平面EFG,BD平面EFG.【总结升华】由线面平行的判定定理判定直线与平面平行的顺序是：（1）在平面内寻找直线的平行线；（2）证明这两条直线平行；（3）由判定定理得出结论.例4.已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P、Q分别为对角线AE、【总结升华】证线面平行,需证线线平行举

8、一反三：寻找平行线是解决此类问题的关键.BD上的点，且AP=DQ,如右图.求证：PQ平面CBE.F【总结升华】证线面平行,需证线线平行举一反三：寻找平行线是解决此类问题的关键.【变式1】在正方体ABCDABCD中，O是正方形ABCD的中心，求证：AO/面BCD.【变式2】已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：AF平面PEC.【总结升华】要证明直线和平面平行,只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了.注意适当添加辅助线,重视中位线在解题中的应用.【变式3】如右图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA，平面ABCD,AP=AB,BP=BC

9、=2,E,F分别是PB,PC的中点.（1）证明：EF平面PAD；类型三：直线与平面平行的性质定理（2）求三棱锥EABC的体积V.类型三：直线与平面平行的性质定理【总结升华】利用线面平行的性质定理解题的步骤：（1）确定（或寻找）一条直线平行于一个平面；（2）确定（或寻找）过这条直线且与这个平面相交的平面；（3）确定交线；（4）由定理得出结论.例6.如图所示，已知异面直线AB、CD都平行于平面a，且AB、CD在a的两侧，若AC、BD与a分别交于【总结升华】利用线面平行的性质定理，可以把有的立体问题转化为平面内的平行问题，利用平行线截割定理，可以解决有关线段成比例或三角形的面积比等问题在应用线面平行

10、的性质定理时，应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，本例通过连接AD作出平面ACD与平面ABD，得到交线MQ和NQ.举一反三：【变式1】已知直线a平面a，直线a平面P，平面平面P=b，求证ab.类型四、平面与平面平行的判定例7.如右图，已知正方体ABCDABCiD,求证：平面ABR平面BDC1.【总结升华】利用面面平行的判定定理判定两个平面平行的程序是：（1）在第一个平面内找出（或作出）两条平行于第二个平面的直线；（2）说明这两条直线是相交直线；（3）由判定定理得出结论例8.如右图，正方体ABCDABCD中，M、N、E、F分别是棱AR、CD的中点.求证：

11、平面AMN平面EFDB.【总结升华】应用判定定理时，一定要注意“两条相交直线”这一关键性条件，问题最终转化为证明直线和直线的平行举一反三：【变式1】点P是ABC所在平面外一点，G,G,G分别是PBC,APC,ABP的重心，求证：面123GGG/面ABC.123【变式2】如右图所示，在三棱柱ABCABC中，点D,E分别是BC与鸟孰的中点.求证：平面AEB平面ADC1.AB的中点，在该正方体中作【变式3】已知在正方体ABCD-ABCD中,M,N分别是AD,出过顶点且与平面AB的中点，在该正方体中作类型五：平面与平面平行的性质定理AB_DE13CEF例9.已知：平面a平面P平面Y,两条直线/,m分别

12、与平面a,P,YAB_DE13CEF于点A,B,C和点D,E,F（如图）.求证:【总结升华】利用面面平行的性质定理判定两线平行的程序是：（1）先找两个平面，使这两个平面分别经过这两线中的一条；（2）判定这两个平面平行；（3）再找一个平面，使这两条直线都在这个平面内；（4）由定理得出结论举一反三：【变式1】已知面a平面P，点A,CGa，点B,DEp，直线AB,CD交于点S,且SA=8,SB=9,CD=34.（1）若点S在平面a,P之间，贝Usc=；（2）若点S不在平面a,P之间，则|SC=例10.如图所示，平面a平面P例10.如图所示，平面a平面P,A,CGa,DGP,点E,F分别在线段AB,C

13、D上，且AEEBCFFD求证：EFP.【总结升华】（1）面面平行的性质定理的应用问题，往往涉及面面平行的判定、线面平行的判定与性质的综合运用解题时，要准确地找到解题的切入点，灵活地运用相关定理来解决问题如在本例的第二种情况：面面平行一线线平行一平行四边形一线面平行一面面平行一线面平行.（2）由面面平行的定义可知，一个面内任意一条直线与另一个平行平面都没有交点，因而有面面平行的一个重要性质：两个平行平面中的一个平面内任意一条直线必平行另一个平面，如本例（2）中由平面EFGP得出EFP,便是这一性质的灵活运用.举一反三：【变式1】四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，点E在PD上，且PE：ED=

14、2：1,问在棱PC上能否找到一点F,使BF平面AEC?试说明你的看法.类型六：线面平行的判定与性质的综合应用例11.如图所示，已知平面a平面P,AB与CD是两条异面直线，且ABua,CDu0.如果E,F,G分别是AC,CB,BD的中点，求证：平面EFGaP.【总结升华】（1）要善于对线线、线面平行的概念、判定和性质进行类比、探索、总结,特别要注意相互转化,使之统一（2）要能够灵活地作出辅助线和辅助平面来解题,在作辅助线和辅助平面时,必须有理论依据,也就是要以某一定理为依据,切忌主观臆断,随意地作辅助线、辅助平面举一反三：【变式1】如图所示，已知点P是,ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、

15、PC的中点，平面PBCH平面APD.（1）求证：/BC；（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论.判定【巩固练习】1.下列说法中正确的是（）A.如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行B.如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行C.如果一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行D.如果两个平面平行于同一直线，则这两个平面平行.已知m,n是两条不重合的直线，a、P是两个不重合的平面，给出下列三个命题:m/pm与n异面m/ninm/n:1nn与p相交；nm/a。nuPm/pn/a其中正确命题的个数是（）A0B1C2D3.在下列条件

16、中，可判断平面a与P平行的是（）A.a、P都平行于直线lB.a内存在不共线的三点到P的距离相等C.l、m是a内两条直线，且lP,mPD.l、m是两条异面直线，且la,ma,lP,mP5.下列四个正方体图形中，A,B为正方体的两个顶点，M、N、P5.A.B.C.D.A.B.C.D.（）.已知平面a,P和直线a,b,c，给出下列条件:a/c,b/c；a/a,b/P,a/P；aua,buP,a/P。其中可以使结论a/b成立的条件有（）A.B.C.D.过已知直线外一点与已知直线平行的直线有条；过平面外一点与已知平面平行的直线有条，与已知平面平行的平面有个。.当a/P,y/P，则a与y的关系是。.若平面

17、a内有一条直线平行于另一个平面P，则a/P:若平面a内有两条直线平行于另一个平面P，则a/P:若平面a内有无数条直线平行于另一个平面P，则aP;若平面a内任意一条直线平行于另一个平面P，则aP;若平面a内两条相交直线平行于另一个平面P，则aP。TOC o 1-5 h z以上命题正确的是.AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，经过它们中点的平面和AC的位置关系是，和BD的位置关系是。三、解答题.如右图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点.求证：PC平面BDQ.如右图，P为梯形ABCD所在平面外一点，CD2AB,E为PC的中点。求证：BE平面PAD。.在正方体ABCDABC

18、D中，P为AC上任意一点。TOC o 1-5 h z111111(1)求证：DP/平面ABC；(2)求证：平面ABD平面CBD.1111.两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,MeAC,NwFB,且AM=FN,过M作MHLAB于H.求证：MN平面BCE.性质【巩固练习】.如果直线a平面a，则()A.平面a内有且只有一条直线与a平行B.平面a内有无数条直线与a平行C.平面a内不存在与a平行的直线D.平面a内的任意直线与a都平行TOC o 1-5 h z.由下列条件不一定得到平面a平面P的是（）A.a内有两条相交直线分别平行于PB.a内任何一条直线都平行于PC.a内有无数条直线平行

19、于PD.a内的两条相交直线分别平行于P内的两条相交直线.若AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则过它们中点的平面和直线AC的位置关系是（）A.平行B.相交C.AC在此平面内D.平行或相交.以下命题（其中a,b表示直线，a表示平面）若a/b,bua，则a/a；若a/a,b/a，则a/b；若a/b,b/a，则a/a；若a/a,bua,则a/b。其中正确命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个.如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a、b都平行的平面（）A.只有一个B.恰有两个C.或没有，或只有一个D.有无数个.已知m、n表示两条直线，a、p、Y表示平面，对此有下列命题：若aP=m，且mn,则丫P；若m、n相交且都在a、P外，m/a,m/P,n/a,n/P,则a/P；若a其中真命题有（A）A.0个B.1个C.7.以下命题中正确的是（2个）D.3个P=l,m/a,m/P则a/P；若a其中真命题有（A）A.0个B.1个C.7.以下命题中正确的是（2个）D.3个A.在一个平面内有两个点，到另一个平面的距离都是d（d0），则这两个平