选修45不等式选讲知识点详解例题习题

1、最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并认识以下不等式建立的几何意义及取等号的条件：(1)|ab|aba，bab|accba，|(R)(2)|(bR).2.会利用绝对值的几何意义求解以下种类的不等式：|axbc，ax|b|c，|xc|xb|.认识柯西不等式的几种不一样形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.经过一些简单问题认识证明不等式的基本方法：比较法、综合法、剖析法、反证法、放缩法、数学概括法1含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|aaf(x)a或f(x)0)?(2)|f(x)|0)?af(x)0(2)对|ab|ab|当且仅当ab0时等号建立()|(3)|axb|c(c0)的解等价于ca

2、xbc.()(4)不等式|x1|x2|1，xy2，则x0，y0.()答案(1)(2)(3)(4)(5)不等式|2x1|x1的解集是()2x|0 x2x|1x2ABCx|0 x1Dx|1x3分析解法一：x1时，知足不等关系，清除、，应选A.CDB1x1，x2，解法二：令f(x)则f(x)1的解集为x|0 x2113x，x2，答案A3设|a|1，|b|2B|ab|ab|2C|abab2不可以比较大小|D分析|ab|ab|2a|2.答案B若a，b，c(0，且abc，则abc的最大值为()4)1A1B2D2分析(abc)2(1abc)2(1222a1111)(bc)3.1当且仅当abc3时，等号建立(

3、abc)23.故abc的最大值为3.故应选C.答案C5若存在实数x使xa|x1|3建立，则实数a的取值范围是|_分析利用数轴及不等式的几何意义可得x到a与到1的距离和小于，3所以a的取值范围为2a4.答案2a4考点一含绝对值的不等式的解法解|xa|xb|c(或c)型不等式，其一般步骤是：令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间在所分区间上，去掉绝对值符号构成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集这些不等式解集的并集就是原不等式的解集解绝对值不等式的重点是适合的去掉绝对值符号(1)(2015山东卷)不等式|x1|x5|2的解集是()A(，

4、4)B(，1)C(1,4)D(1,5)(2)(2014湖南卷)若对于x的不等式|ax2|3的解集为x5x1，33则a_.解题指导切入点：“脱掉”绝对值符号；重点点：利用绝对值的性质进行分类议论分析(1)当x1时，不等式可化为(x1)(x5)2，即42，明显建立，所以此时不等式的解集为(，1)；当1x5时，不等式可化为x1(x5)2，即2x62，解得x5时，不等式可化为(x1)(x5)2，即42，明显不建立，所以此时不等式无解综上，不等式的解集为(，4)应选A.(2)|ax2|3，1ax0时，axa，与已知条件不符；当a0时，xR，与已知条件不符；当a时，51，又不等式的解集为x51，故axx3

5、.0aa33答案(1)A(2)3用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值对点训练已知函数f(x)|xa|x2|.当a3时，求不等式f(x)3的解集；若f(x)|x4|的解集包括1,2，求a的取值范围2x5，x2，解(1)当a3时，f(x)x，1，232x，x3.5当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2xc或|xa|xb|k的解集为，则实数k的取值范围是|R_解题指导切入点：绝对值的几何意义；重点点：把恒建立问题转变为最值问题分析(1)|x1|x2|(x1)(x2)|，|

6、321117117aa，解得a.22344即实数a的取值范围是1117.17，44解法一：依据绝对值的几何意义，设数x，1,2在数轴上对应的点分别为P，A，B，则原不等式等价于PAPBk恒建立AB3，即|x1|x2|3.故当k3时，原不等式恒建立解法二：令y|x1|x2|，3，x1，则y2x1，1xk恒建立，从图象中能够看出，只需k3即可故|k3知足题意答案(1)117，117(2)(，3)44解含参数的不等式存在性问题，只需求出存在知足条件的x即可；不等式的恒建立问题，可转变为最值问题，即f(x)a恒建立?()(acd，则abcd；(2)abcd是abcd的充要条件|cd得(ab)2(cd)

7、2.所以abcd.(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)得abcd.若abcd，则(22ab)(cd)，即ab2abcd2cd.因为abcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.所以|ab|cd是|ab|cd|的充要条件剖析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不可以使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用剖析法来找寻证明门路，使用剖析法证明的重点是推理的每一步一定可逆对点训练(2014新课标全国卷)设a、b、c均为正数，且abc1.证明：1abbcac3；a2b2c2b

8、ca1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.1所以3(abbcca)1，即abbcca3.a2b2c2因为bb2a，cc2b，aa2c，a2b2c2故bca(abc)2(abc)，a2b2c2即bcaabc.222abc方法例律总结方法技巧1绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号2绝对值不等式在求与绝对值运算相关的最值问题时需灵巧运用，同时还要注意等号建立的条件3在证明不等式时，应依据命题供给的信息选择适合的方法与技巧如在使用柯西不等式时，要注意右边为常数易错点睛1对含有参数的不等

9、式求解时，分类要完好2应用基本不等式和柯西不等式证明时要注意等号建立的条件课时追踪训练(七十)一、填空题1不等式|2x1|3的解集为_分析|2x1|3?x13?x3212.答案(1,2)2若不等式|kx4|2的解集为x|1x3，则实数k_.分析|kx4|2，2kx42，2kx6.不等式的解集为x|1x3，k2.答案2不等式|2x1|x1|2的解集为_3|1分析当x2时，原不等式等价为(2x1)(x1)2，即3x332.21(21)(1)21即x0，此时2x0.当x1时，原不等式等价为(2x1)(x1)2，即3x2，22x3，此时不等式无解，综上，原不等式的解为3x0，即原不等式的解集为2.，0

10、32答案3，04已知对于x的不等式|x1|x|k无解，则实数k的取值范围是_分析|x1|x|xx，当k1时，不等式|x1|1|1|x|k无解，故k1.答案(，1)5(2015西安统考)若对于实数x的不等式|x5|x3|a无解，则实数a的取值范围是_分析|x5|x3|(x5)(x3)|8，故a8.答案(，8重庆卷若函数fxx1|2|xa的最小值为，则实数a6(2015)()|5_.分析当a1时，f(x)3|x1|0，不知足题意；当a13xa，x，121a时，fxx2a，xa，fxminfaaa当)1()xa，xa，()123125，解得a4.答案6或4若对于x的不等式|a|x1|x2|存在实数解

11、，则实数a的取值范7|围是_分析f(x)|x1|x2|2x1x1，31x0的解集为，则实数a的取值范围8|1R是_分析若x1(x1)2对随意的x1，)恒建立，即(a1)(a1)2x0对随意的x1，)恒建立，a10，(舍去)或a1212得a1.综上，a05a540解；当a时，将不等式42a，则有a或a5a整理，得a40a54010.综上可知，实数a的取值范围是(，41,0)答案(，41,0)二、解答题13已知不等式2|x3|x4|2a.(1)若a1，求不等式的解集；(2)若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范围解(1)当a1时，不等式即为2|x3|x4|2，若x4，则3x102，x4，舍去；若

12、3x4，则x22，3x4；8若x3，则103x2，3x3.8综上，不等式的解集为x3x4.(2)设f(x)2|x3|x4|，则3x10，x4，f(x)x2，3x1，a2，即a的取值范围为2，.14(2015新课标全国卷)已知函数fxx1|2|xa，a()|0.当a1时，求不等式f(x)1的解集；若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x，无解；40 x时，不等式化为x，解得2x；当1031当x1时，不等式化为x，解得x012所以f(x)1的解集为x3x2.xa，x，12a.象与x轴围成的三角形的三个

13、极点分别为A2a1，0，Ba1,0)，Ca，a3(2(221)，ABC的面积为3(a1).22由题设得3(a1)6，故a2.所以a的取值范围为(2，)15设函数f(x)|x1|xa|.若a1，解不等式f(x)3；假如?xR，f(x)2，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)|x1|x1|，2x，x1.作出函数f(x)|x1|x1|的图象由图象可知，不等式f(x)3的解集为3x2或x2.若a1，f(x)2|x1|，不知足题设条件；2xa1，xa，若a1，f(x)1a，ax1，f(x)a1，1x0，b0，c0，函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4.求abc的值；1a21b2c2的最小值(2)求49解(1)因为