二重积分以及其计算

1、关于二重积分及其计算第1页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四8.1.1 二重积分的概念1.曲顶柱体的体积 设有一立体，它的底是 面上的闭区域D， 它的侧面是以 D 的边界曲线为准线而母线平行于 z 轴的柱面，它的顶是曲面 且在D上连续.此立体称作曲顶柱体. 第2页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法.其步骤为用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积， 先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲顶柱体的体积第3页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取

2、典型小块，将其近似看作均匀薄片， 所有小块质量之和近似等于薄片总质量第4页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四定义8.1设),(yxf是有界闭区域D上的有界函数，D任意分成n个小闭区域1sD，L,2sD，nsD，其中isD表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个isD上任取一点),(iihx，作乘积 ),(iifhxisD，),2,1(niL=，并作和 将闭区域第5页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域D上的二重积分,记为即积分号被积函数积分区域积分和面积元

3、素积分变量被积表达式第6页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四二重积分定义的几点说明：(2)用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，则 面积元素为故二重积分可写为第7页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四二重积分的几何意义如果被积函数是大于零的，二重积分是柱体的体积.如果被积函数是小于零的，二重积分是柱体的体积的负值如果被积函数是时正时负的,二重积分是所有柱体体积的代数和.曲顶柱体的体积平面薄片的质量第8页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四性质性质（二重积分与定积分有类似的性质）当 为常数时，对积分区域具有可加性8.1.2 二重积分的基本性质

4、第9页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四性质性质若 为D的面积，若在D上特殊地，因为则有于是第10页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四性质 设M 、m分别是),(yxf在闭区域D上的最大值和最小值，AD的面积，则为证明由性质4及性质1和性质3，有第11页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四设函数),(yxf在闭区域D上连续，A为D的面积，则在D上至少存在一点),(hx使得性质6证明由性质5，有再根据闭区域上连续函数的介值定理第12页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四 练习1 判断 练习2 估计积分的值，其中的符号.

5、是第13页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四8.1.3 二重积分在直角坐标系下的计算其中函数 、 在区间 上连续.假定，积分区域为第14页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法计算。表示以闭区域D为底，z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。过x作平行于yoz面的平面截曲顶柱体。得一个以区间曲线z=f(x,y)为曲边的曲边梯形。为底、ab第15页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四故其面积 从而得曲顶柱体的体积为简记ab第16页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四如果积分区域

6、为：上式为先上式为先的二次积分，积分区间后的二次积分，积分区间后第17页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四 X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.记为 Y-型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.记为若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.D3D2D1Oyx第18页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四如果积分区域既是X-型的，又是Y-型的，则特别则有公式第19页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四计算的一般步骤：的草图，观察是1 先画出积分区域或或是混

7、合型区域，并确定其边界函数表达式2.根据区域的类型和被积函数的特点，选择积分次序.不妨假设积分区域是先对积分，而后对积分.故的积分区间是为确定的积分限，自内任取一点作垂直于第20页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四轴的直线交区域的边界于两点（自下向上）.这两个交点的纵坐标（与有关）分别作为积分变量的积分下限和积分上限.如果是区域，可以类似处理 。计算二重积分的简算法（1）若有界闭区域上的连续函数是关于（或者）的奇函数，而区域关于轴（或者轴）对称，则第21页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四. 的上）半区域. （2） 若有界闭区域上的连续函数是关于（或者）

8、的偶函数，而区域关于轴（或者轴）对称，则是区域（或的右（3） 若有界闭区域关于直线对称，上的连续函数，则是第22页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四证明 只对（1）来证明.设的奇函数，即是关于由题意不妨设对第一项积分：令变换，则代入原式，知 第23页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四例1 计算二重积分.其中是由直线与 轴所围成 的区域：解 积分区域如图所示.看成X-型区域，即区域，于是 第24页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四看成Y-型区域，即也可将区域，于是 (2) 按先的次序积分 ，后原式 也可按先后的次序，原式计算起来比较麻烦

9、。第25页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四例2 计算解 这个二次积分的次序是先后，但是的原函数不能用的初等函数表达，于是要先交换积分次序.此时积分区域 为所以原式 第26页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四所围成。 例3 计算其中是由解 积分区域如图所示，按先后的次序，则原式 但若按先后的次序，原式 第27页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四例4 计算.其中是由及轴所围成.解 积分区域如图所示，则 （1） （2）选用（2）式计算，于是 考虑到的原函数不能用初等函数表达，应D第28页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期

10、四 顾被积函数的原函数是否易求，有时甚至需要交说明：对区域选择积分次序时，要同时兼换原来的积分次序。第29页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四例5 若区域 是由直线 及轴所围成的区域，计算 解 显然区域关于轴是对称的，被积函数是关于的奇函数，故第30页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四例6 求以为曲顶，矩形区域为底面的曲顶柱体的体积。解 由二重积分几何意义知曲顶柱体的体积 第31页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四练习5 求椭圆抛物面 与平面所围立体体积。练习3 计算其中是由直和所围成的闭区域。练习4 计算所围成的闭区域。 其中是由抛

11、物线线及直线第32页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四解 当 练习1 判断故 又当 时, 于是 的符号.时，第33页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四 练习2 估计积分的值，其中D是解 在的最小值为最大值为而的面积为于是内，第34页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四 解 积分区域 D 既是X- 型，又是Y- 型的，化为先y 后x 的积分. 练习3 计算其中是由直和所围成的闭区域。线第35页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四化为先可见关于的积分计算比较麻烦.的积分.后第36页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四 解 积分区域 既是 型，又是 型的，化为先 后 的积分. 练习4 计算所围成的闭区域。 其中是由抛物线及直线第37页，共41页，2022年，5月20日，18点6分，星期四若化为先 后 的积分.需将 分成 和 .第38页，