浙江版高考数学总复习专题7.3基本不等式及不等式的应用（讲解练）教学讲练

1、7.3基本不等式及不等式的应用高考数学 浙江专用考点一基本不等式考点清单考向基础1.几个重要不等式(1)a2+b22ab(a,bR).(2)(a,bR+).(3)+2(a,b同号).(4)ab(a,bR).(5)(a,bR+).(6)三角不等式|a|-|b|ab|a|+|b|,|a1a2an|a1|+|a2|+|an|.(7)a2+b2+c2ab+ac+bc,当且仅当a=b=c时取等号.2.利用算术平均数与几何平均数求函数的最值(1)已知x、yR+,如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值,是2.(2)已知x、yR+,如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值,是S2.注

2、意(1)求最值时要注意三点:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指等号成立.(2)连续使用基本不等式时,等号要同时成立.考点二不等式的综合应用考向基础1.常用的证明方法(1)比较法a.作差比较.如,a、b、m均为正数,且a.基本步骤:作差,变形,定号.b.作商比较.基本步骤:作商,变形,与1比较大小.(2)分析法与综合法令字母A、A1、A2、An、B分别表示一个不等式,其中B为已知不等式,A为待证不等式.若有AA1A2AnB,综合法是由B前进式地推导A,分析法则是由A倒退式地分析到B.用分析法时,必须步步充分.(3)反

3、证法从否定结论出发,经过逻辑推理,得出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论正确.(4)放缩法欲证AB,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,即BB1,B1B2,BiA或AA1,A1A2,AiB,再利用传递性,达到证明目的.(5)三角代换法如,若x2+y2=1,求证:|x2-2xy-y2|.分析:由于x2+y2=1,故可设x=cos ,y=sin ,则|x2-2xy-y2|=|cos2-2sin cos -sin2|=.(6)基本不等式法使用时要注意条件是否满足以及等号何时取得.(7)函数增减性法如,若0u,求证:u+.分析:基本不等式的基本条件不具备,即u=时,u=1,而0b0,

4、am0,则;(2)a,b,c,dR+,则;(3)nN*,-1,-A在区间D上恒成立f(x)minA(xD);若f(x)在区间D上存在最大值,则不等式f(x)B在区间D上恒成立f(x)maxA成立f(x)maxA(xD);若f(x)在区间D上存在最小值,则在区间D上存在实数x使不等式f(x)B成立f(x)minA在区间D上恰成立f(x)A的解集为D;不等式f(x)B在区间D上恰成立f(x)B的解集为D.利用基本不等式求最值问题的方法方法方法技巧1.利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值,主要有两种思路:(1)对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解.(2)条件变形,进

5、行“1”的代换求目标函数最值.2.有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式.3.若一次应用基本不等式不能达到目的,则需多次应用基本不等式,但要注意等号成立的条件必须要一致.提醒若可用基本不等式,但等号不成立,则一般是利用函数单调性求解.例(2019浙江嘉兴基础测试,17)已知实数x,y满足x2+xy+4y2=1,则x+2y的最大值是.解析解法一:x2+4y2+xy=1,(x+2y)2=1+3xy=1+x2y1+,当且仅当x=2y时取等号,进一步化为(x+2y)2,x+2y,x+2y的最大值为.解法二:1=x2+4y2+xy=(x+2y)2+(x-2y)2(x+2y)2,即(x+2y)2,x+2y,x+2y的最大值为.解法三:令t=x+2y,则x=t-2y