正多边形与圆分析

1、九年级上24.3正多边形和圆一：知识点导入1.圆上各点到圆心的距离都等于.2.垂直于弦的直径平分，并且平分；平分弦（不是直径）的垂直于弦，并且平分.在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别.4.同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的.5.直径所对的圆周角是，90所对的弦是.二：新知识回顾（一）正多边形 : 各边相等 , 各角也相等的多边形是正多边形正多边形的性质：正多边形各边相等；正多边形各角相等。正多边形都是轴对称图形，一个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的中心边数是偶数的正多边形还

2、是中心对称图形，它的中心就是对称中心 边数相同的正多边形相似它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方正多边形的判定：依次连结圆的 n(n 3) 等分点，所得的多边形是正多迫形经过圆的 n(n 3) 等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形（二）正多边形和圆的关系 :将一个圆 n（n)3 等分（可以借助量角器） , 依次连接各等分点所得的多边形就叫做这个圆的 内接正多边形 , 这个圆是这个正多边形的 外接圆 .试卷第 1 页，总 22 页正多边形的中心 ：把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心正多边形的半径 ：外接圆的半径叫做正多边形的半径正

3、多边形的中心角 ：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心,中心角的度数是360 .n 正多边形的边心距 ：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形 , 这个圆叫做这个正多边形的 内接圆 ，这个多边形叫做 外接正多边形。正多边形外接圆和内接圆的关系定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆( 三) 正多边形的有关计算1. 正边形每一个内角的度数是；2. 正边形每个中心角的度数是；3. 正边形每个外角的度数是.( 四) 正多边形的画法用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此

4、作相等的圆心角可以等分圆 .用尺规等分圆对于一些特殊的正边形，可以用圆规和直尺作图 .三：例题剖析 （ 至少 10 个例题与习题）【例 1 】已知正六边形 ABCDEF ，如图所示，其外接圆的半径是a ，?求正六边形的周长和面积分析：要求正六边形的周长，只要求AB 的长，已知条件是外接圆半径，因试卷第 2 页，总 22 页此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过 O点作 OM AB垂于 M，在 RtAOM? 中便可求得 AM，又应用垂径定理可求得 AB的长正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于=60， ? OBC是等边三

5、角形，从而正六边形的边长等于它的6半径因此，所求的正六边形的周长为6a在 RtOAM中， OA=a，AM=1 AB=1 a22OM=a2( 1 a)2= 13 a22【变式练习】已知，如图，正八边形ABCDEFGH 内接于半径为 R 的 O，求这个八边形的面积 .四：思维误区判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件： (1) 各边相等；(2)各角相等；缺一不可 .如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形 (正方形 ).例 2. 如图，在正方形ABCD 中，对角线 AC 、 BD 交于 O 点，若分别以 A、B、C、D 为圆心，以 OA 长为半径作弧，分别与各边交于E、

6、F、 G、H 、K、试卷第 3 页，总 22 页L、M 、N 点.求证：八边形 EFGHKLMN 是正八边形 .例 3: 已知：如图， ABC 是 O 的内接等腰三角形，顶角 A=36 ，弦BD 、CE 分别平分ABC 、ACB.求证：五边形 AEBCD 是正五边形AEDOBC【变式练习】某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；乙同学：我发现边数是 6 时，它也不一定是正多边形， 如图 1 ，是正三角形，可以证明六边形ADBECF 的各内角相等，但它未必是正六边形；试卷第 4 页，总 22 页丙同学：我能证

7、明边数是 5 时，它是正多边形，我想，边数是 7 时，它可能也是正多边形；（1）请你说明乙同学构造的六边形各内角相等；（2）请你证明，各内角都相等的圆内接七边形 ABCDEFG（如图 2）是正七边形（不必写已知、求证） ；（3）根据以上探索过程，提出你的猜想（不必证明）.例 4（2013 ? 内江）如图，正六边形硬纸片 ABCDEF 在桌面上由图 1 的起始位置沿直线 l 不滑行地翻滚一周后到图 2 位置，若正六边形的边长为 2cm ，则正六边形的中心O 运动的路程为cm 试卷第 5 页，总 22 页五：难点讲解例 5: 已知 O 的半径为 R，求它的内接正三角形 ABC 的内切圆的内接正方形

8、 DEFG 的面积例 6: 右图的花环状图案中 ,ABCDEF 和 A 1B1 C1D 1 E1 F1 都是正六边形 .（1 ）求证 :1= 2;（2 ）找出一对全等的三角形并给予证明.例 7: 如图 M 、 N 分别是 O 的内接正三角形ABC 、正方形 ABCD 、正五边试卷第 6 页，总 22 页E形 ABCDE 、正 n 边形 ABCDE的边 AB 、BC 上的点，且 BM=CN ，连结 OM 、ON 。AADOMOMNBNCCB图 1图 2（1 ）求图 1 中MON 的度数；（2）图 2 中MON 的度数是，图 3 中MON 的度数是；（3）试探究MON 的度数与正 n 边形边数 n

9、 的关系 .例 8: 正八边形有 _条对称轴，它不仅是 _对称图形，还是 _对称图形【提示】正 n 边形有 n 条对称轴正 2n 边形既是轴对称图形，又是中心对称图形【答案】 8，轴，中心巩固练习(一)填空1.边长为 2 a 的正六边形的面积为 _(二)判断试卷第 7 页，总 22 页2各角都相等的圆内接多边形是正多边形）【答案】【点评】矩形内接于以对角线为直径的圆，但它不是正多边形3正五边形既是轴对称图形， 又是中心对称图形）【答案】【点评】正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形(三)选择4 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A等腰梯形B平行四边形C. 等边三角形D 圆例

10、 9: 如图， O 是等边三角形 ABC 的外接圆， D 、E 是 O 上两点，则 D，E【变式练习】如图 ,正方形 ABCD 内接于 O,点 E 在弧 AD 上,则BEC 等于多少 ?试卷第 8 页，总 22 页六：拓展讲解例 10 ：如图，四边形 ABCD 内接于半圆 O ，AB 是直径（1 ）请你添加一个条件，使图中的四边形ABCD 成等腰梯形，这个条件是（只需填一个条件）。（2 ）如果 CD 1 AB ，请你设计一种方案，使等腰梯形 ABCD2分成面积相等的三部分，并给予证明七：总结知识点一、正多边形的概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形知识点二、正多边形的重要元素正多边形的外接

11、圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆正多边形的有关概念试卷第 9 页，总 22 页一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距正多边形的有关计算(1) 正边形每一个内角的度数是；(2) 正边形每个中心角的度数是；(3) 正边形每个外角的度数是.知识点三、正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正边形的半径和边心距把正边

12、形分成2个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n 边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.八：家庭作业 - 温方才能知新试卷第 10 页，总 22 页组一、一起填一填1 已知正方形面积为8cm 2，求此正方形边心距_一个正多边形绕它的中心旋转 60 和原来的图形重合，那么这个正多边形是 _有一边长为 4 的正 n 边形，它的一个内角是 120 ，则其外接圆的半径为_正六边形一组对边间的距离为 6，那么这个正六边形的半径是 _同圆中，内接正三角形，正方形，正五边形，正六边形中周长最大的是_正九边形的半径为 R，

13、则它的边长是 _7. 一个正 n 边形的中心角是它的一个内角的1/5 ，则 n=_.两个正六边形的边长分别是 3 和 4 ，则这两个正六边形的面积之比是_.二、判断题( 一) 判断： 1.正多边形的中心角等于它的每一个外角.()2.若一个正多边形的每一个内角是150 ,则这个正多边形是正十二边形 .()3.各角相等的圆外切多边形是正多边形.()( 二) 判断下列各种图形是否一定是正多边形（是打“”，不是打“”）。（1）等边三角形（）（2）矩形（ ）（3）菱形（）（4）正方形（ ）（5）各角相等的圆内接多边形（）（6）各边相等的圆内接多边形（）（7 ）顺次连接正多边形各边中点所得试卷第 11 页

14、，总 22 页的多边形（）（8 ）既有内切圆又有外接圆，并且这两个圆是同心圆的多边形（）组三、填空题1.正 n 边形的中心角等于 _，正 n 边形的每一个内角等于。正 n边形的每一个外角等于。正 n 边形内角和。2.正 n 边形都是 _对称图形，正 n 边形共有条对称轴；正 n 边形满足什么条件时，那又是中心对称图形，对称中心是。3.正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分成个全等的直角三角形， 每个直角三角形的边分别是指正n 边形的 _4.一个外角等于它的一个内角的正多边形是正 _边形 .5.正八边形的中心角的度数为 _每,一个内角度数为 _每,一个外角度数为_.6.边长为 6cm的正三角形

15、的半径是 _cm,边心距是 _cm,面积是 _cm.7.面积等于 63 cm 2 的正六边形的周长是 _.8.正多边形的面积是 240cm 2 ,周长是 60cm 2,则边心距是 _cm.9.正六边形的两对边之间的距离是 12cm, 则边长是 _cm.若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角 ,则它的边数是 _正六边形的两条平行边间距离是 1,则边长是 _12. 周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3 、S4、 S6 之间的大试卷第 12 页，总 22 页小关系是 : _正三角形的边心距、半径和高的比是 _四、简答题如图：四边形 ABCD 为正方形， M 、N 分别是 BC 和 CD

16、 中点，AM 与 BN交于点 P，(1) 请你用几何变换的观点写出 BCN 是ABM 经过什么几何变换得来的；观察图，图中是否存在一个四边形，这个四边形的面积与 APB 的面积相等？写出你的结论.(不必证明 )如图：六边形 ABCDEF 为正六边形， M 、N 分别是 CD 和 DE 的中点， AM 与 BN 交于点 P，问：你在 (2) 中所得的结论是否成立？若成立，写出结论并证明，若不成立请说明理由 .一、选择题（题型注释）1在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是（）A三条中线的交点B三条高线交点C三个内角平分线交点D三边垂直平分线交点试卷第 13 页，总 22 页2三角形的外心是（）A

17、各内角的平分线的交点B各边中线的交点C各边垂线的交点D各边垂直平分线的交点3如图， O内切于 ABC，切点分别为D，E，F，B 50C 60连结 OE，OF ，DE，DF ，则EDF 等于（）A 40B 55C 65D 704正多边形的中心角是36，那么这个正多边形的边数为（）A10B8C 6D 55下列命题中，正确的有（）平分弦的直径垂直于弦；三角形的三个顶点确定一个圆；圆内接四边形的对角相等；圆的切线垂直于过切点的半径；过圆外一点所画的圆的两条切线长相等A1个B2个C3个D4个6（3 分）如图，正方形 ABCD和正 AEF都内接于 O，EF 与 BC、CD分别相交于点 G、 H，则 EF

18、的值是（ ）GH6AB2C3D227如图，正方形ABCD的四个顶点分别在 O 上，点 P 在 CD 上不同于点C试卷第 14 页，总 22 页的任意一点，则 BPC的度数是（）A、45B、60C、75D、908如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口 a 的值应是A 23cmB 3 cmC 23cmD1cm39若正多边形的一个外角为60o，则这个正多边形的中心角的度数是（）A30B60C90D12010如图，正六边形ABCDEF内接于 O，若直线 PA 与 O相切于点 A，则 PAB=（）A30B35C45D6011如果正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（）A2B23C

19、3D312圆内接四边形ABCD， A， B， C 的度数之比为3:4:6 ，则 D 的度数为（）A60B 80C100D12013同圆的内接正三角形与正六边形的边长之比为（）A1：2B1：1C3 ：1D2：1试卷第 15 页，总 22 页14如图，O是正方形 ABCD的外接圆，点 P 在 O上，则 APB等于（）.A30B45C55D6015已知圆的内接正六边形的周长为36，那么圆的半径为（）A6B4C3D216正六边形内切圆面积与外接圆面积之比为（）A3B 1C1D 3224417如图，若干全等正五边形排成环状图中所示的是前3 个五边形，要完成这一圆环还需（）个五边形A6B7C8D918（

20、3 分）一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（）A12mmB 12 3 mmC6mmD 6 3 mm19如图，正六边形A1 B1C1 D1E1 F1 的边长为 2，正六边形A2B2C2D2E2F2 的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1 的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3 的外接圆与正六边形 A2B2C2D2E2F2 的各边相切，按这样的规律进行下去， A10B10C10D10E10F10 的边长为（ ）A243B813C81D81329 292928试卷第 16 页，总 22 页20有一个边长为50cm 的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这

21、个洞口，那么圆盖的直径至少应为（）A50cmB252 cmC502 cmD503 cm21如图，正六边形ABCDEF内接于 O，半径为 4，则这个正六边形的边心距 OM和 BC弧线的长分别为（）A2，B 23 ，3C 3，2D 23 ， 43322已知圆的半径是 2 3 ，则该圆的内接正六边形的面积是（）（A）3 3（B）9 3（C） 18 3（D） 36 323边长为 1 的正六边形的内切圆的半径为（A）2（B）1（C） 1（D） 32224如图，一个半径为r （r 1）的圆形纸片在边长为10 的正六边形内任意运动，则在该六边形内，这个圆形纸片不能接触到的部分的面积是（）A r 2B 3 r

22、 2C 2 3r 2r 2D 3 3 r 2r 24225如图， O 的半径为 1cm，正六边形 ABCDEF内接于 O，则图中阴影部分面积为 cm 2（结果保留 ）试卷第 17 页，总 22 页26正方形的边长为 6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（）A6，3 2B3 2，3C6,3D6 2，3 227同圆的内接正方形和外切正方形的周长之比为（）A 2 1 B 21 C 12D 1228半径为 R 的圆内接正三角形的面积是（）A 32B 2C3 32D3 32RRRR22429正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（）AB2C3D230如图，在 PQR是O的内接三角形，四边形ABC

23、D是 O的内接正方形，BCQR，则 AOR=（）PADORQBCA60B65C72D7531周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、 S4、S6 之间的大小关系是A.S3 S4S6B.S6S4 S3C.S6 S3S4D.S4S6 S332如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b 至少为（）试卷第 18 页，总 22 页A 6 2mmB 12mmC 6 3mmD 4 3mm33（2014?和平区三模）同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是（）A.B.C.D.34（2014?南开区二模）若正六边形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（）A.6，3

24、B.6，3C.3，6D.6，335（2014?河西区一模）正六边形的边心距与边长之比为（）A.1：2B.：2C.：1D.：236（2014?闵行区三模）如图，在O 中， OA=AB， OCAB，交 O 于点 C，那么下列结论错误的是（）BAC=30B. 弧 AC等于弧 BCC. 线段 OB的长等于圆内接正六边形的半径D. 弦 AC的长等于圆内接正十二边形的边长37（2014?东丽区一模）正六边形的边长等于2，则这个正六边形的面积等于（）A.4B.6C.7D.838（2014?宝坻区一模）圆内接正六边形的周长为24，则该圆的内接正三角形的周长为（）A.12B.6C.12D.639（2014?汉沽区一模） O的半径等于 3，则 O的内接正方形的边长等于（）A.3B.2C.3D.640（2014?建湖县一模）半径为8cm的圆的内接正三角形的边长为（）A.8cmB.4cmC.8cmD.4cm41（2014?天津）正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（）试卷第 19 页，总 22 页B.2 C.3 D.242如图，四边形ABCD是 O的内接正方形