投资比例优化组合

1、从掷硬币打赌看投资组合问题什么是投资组合？首先我们从掷硬币打赌谈起。假设有一种可以不断重复的投资或打赌，其收益由掷硬币确定，硬币两面出现的可能性相同；出面你投一亏一，出面你投一赚二；假设你开始只有10元0，输了没法再借。现在问怎样重复下注可以使你尽快地由百元户变为百万元户?我们可以象小孩子玩登山棋那样，几个人下不同的赌注，然后重复掷硬币，看谁最先变成百万富翁。你可能为了尽快地变为百万富翁而全部押上你的资金。可是只要有一次你输了，你就变成穷光蛋，并且永远失去发财机会。你可能每次下注10元。但是，如果连输10次，你就完了。再说，如果你已经是万元户了，下10元是不是太少了?每次将你的所有资金的10用

2、%来下注，这也许是个不错的主意。首先，你永远不会亏完假设下注的资金可以无限小；第二，长此以往，赢亏的次数大致相等时，你总是赚的。假设平均两次，你输一次赢一次，则你的资金会变为原来的X倍。可是，以这样的速度变为百万富翁是不是太慢了，太急人了?有没有更快的方法?有!理论研究表明，每次将你所有资金的25或%0.2倍5用来下注，你变为百万富翁的平均速度将最快。几个不同下注比例带来的资金变化如图所示掷币结果分别是B,.。.实.验）表明，张大胆每次投100，嬴时嬴得多，可亏时亏得惨，一次亏损就永远被淘汰出局。李糊涂每次下50，收益大起大落，到头来白忙。王保守每次下10，稳赚但少赚；“你”每次下25，长期看

3、结果最好。前面的打赌中，硬币只有一个。如果同时有两个、三个或更多，各个硬币盈亏幅度不同，两面出现的概率（频率或可能性）也可能不同；怎样确定在不同硬币上的最优下注比例？如果不同硬币出现面面是不同程度相关的比如一个出面，另一个十有八九相同正相关，或相反一一反相关）又如何确定最优下注比例？股票、期货、期权、放贷、房地产、高科技等投资象掷硬币打赌一样，收益是不确定的且相互关联的。如何确定不同证券或资产上的投资比例，以使资金稳定快速增长并控制投资风险，这就是投资组合理论要解决的问题。投资组合也就是英文说的f当今世界上著名的投资组合理论是美国的马科维茨理论。笔者则从自己建立的一个广义信息理论（参见专著广义

4、信息论，中国科技大学出版社，199和3自）己的投资实践出发，得到了投资组合的几何增值理论，或者叫熵理论（因为其中采用了同物理学和信息论中的熵函数相似的熵函数作为优化标准），并完成了专著投资组合的熵理论和信息价值-兼析股票期货等风险控制（中国科技大学出版社，9现在笔者知道美国的和最早提出了用几何平均产出比-即1+几何平均收益或平均复利-作-为优化证券组合的准则；后来等人研究了用几何平均产出比的对数作为优化准则最近有人提出也是信息论研究者曾提出过这一准则。不同的是，笔者的研究更注重应用。具体说来：1）结合打赌模型讨论了分散和相关问题；提供了各种复杂情况下（考虑手续费，卖空，透支，银行利率等）的最优

5、投资比例公式；2）提出一些适用结论：比如分散投资极限定理，投资容量，新的风险测度.几何级数增值的魅力1988-年1，9日8本9股市从215点6上4涨了80，到达389点2；1然后开始大跌，199年28月跌到141点9，4跌幅达63。虽然80大于63，算术平均大于0，可是总的来说是跌的，跌了约1/，3因为累积产出比是0累积收益是=%炒过股票的人都知道，如果你总是将所有的资金买入股票，则先赚50再%亏50；%或者先亏后赚，虽然算术平均收益是0，可是你的资金会变少（变成0.义倍从可见算术平均收益不能反映实际增值情况。能反映实际增值的收益是什么呢？是几何平均收益。设每一元资金投资N年后变为元，则累计产

6、出比是1累计产出比的次开方被称为几何平均产出比，我们记为,M投资的平均复利又叫几何平均收益，我们记为，则有可见几何平均产出比或几何平均收益才能反映长期投资业绩。因为年累积产出比投资组合的几何增值理论（或者说熵理论）就是用几何平均产出比作为优化投资组合的标准，根据这一标准，使几何平均收益达最大的投资比例就是最好的投资比例。稳定的几何增长具有无比的魅力。几何平均收益的微小优势，在长期累计后可能导致惊人的成功。下表显示了几何平均收益对2年0累积产出比的影响。表1几何平均股益对2D年累积产出比的最几何平均收益10%15%敏23.8%年产出比6.716.4脸371.5其中23.就是8%巴费特管理的伯克希

7、尔公司32年里的几何平均收益。在过去的32年里，伯克希尔公司每股资产从19美元增长到190美1元1，算术平均年收益大约是1000/32=，可3是1几2何5平均年收益只有23.（8税%后）.美国的基金管理大师彼得林奇之所以有成功，是因为他十年里使基金的几何平均收益达到30。据说李家诚的几何平均收益是28，索罗斯的量子基金几何平均收益也是28（早期是35）。有人做过计算说明，虽然两百年前美国政府从印地安人手里以极便宜的价格买了大片土地，但是如果印地安人把钱存入银行每年得到现在美国长期国债的收益，则利滚利后，印地安人现在将极其富有，足以买回更大面积的土地。可见稳定的几何平均收益的威力。有人炒期货看到

8、可能的盈利幅度大于亏损幅度就大量投入；有人炒期货还要透支。中国人在期货市场上破产的比例极大，原因就是因为许多人看不到稳定增值的重要性。许多股民类似，他们对收益波动极大的亏损垃圾股、庄股、新股、权证等倍加追捧；而对收益较为稳定的年收益达2030的投资（比如认购新股）不以为然。这不能不说是中国股市不成熟的表现。笔者特别羡慕那些有稳定收入的年轻人。只要他们有耐心，采取稳健的策略（比如每年认购新股，如果认购新股效益不变的话），一、二十年后成为百万富翁将极其容易。当然，对于包括笔者在内的许多人既不年轻又有生活压力，要成为百万富翁，我们当采取更加进取的投资策略，即选择多种投资方式，优化投资组合，赢得更高的

9、几何平均收益。掷硬币打赌问题的数学解答掷硬币打赌问题是：有一种可以不断重复的投资或打赌，其收益由掷硬币确定，硬币两面出现的可能性相同；出面你投一亏一，出面你投一赚二；假设你开始只有10元0，输了没法再借。现在问怎样重复下注可以使你尽快地由百元户变为百万元户?不知读者是否记得中学学过的抛物线公式+。抛物线可以用来描述炮弹飞行轨迹，它有一个最高点当水平距离时，高度达最大。下面我们说明中学数学知识如何能帮助我们尽快成为百万富翁。对于上面的掷硬币打赌，几何平均产出比随下注比例的变化是R芸=（11）”+药产=（_%工+0+1产要使达最大，只需使上式右边括号中的内容达最大。根据中学数学知识，义时，括号中的

10、内容和几何平均收益达最大。这就是说，对于上面的掷硬币打赌，高5是最优投资比例。图1几何平均收益，和算术平均收益.遁q的变化对于上面的掷硬币打赌，算术平均收益和几何平均收益随下注比例ag的变化如图所示。容易看出，算术平均收益和投资比例成正比关系；而g几何平均收益不是，太大反而不好，如果则从长远看必然亏损。上面假设硬币的两面出现的可能性或概率相同，即；嬴亏幅度是12给定的（1和2）。如果硬币是弯的，一面出现的可能性大，另一面出现的可能性小和皆不等于并且嬴亏幅度也是变的为小于和大于，1212这时几何平均收益等于Rg=Q+zqq）门口+马口）”则这时最优比例如何求法？现在我们用表示资金翻一番数目，如果

11、，则如果不等于呢我们可以用表示翻番数，即这一公式很象通信理论中的熵公式，所以我们把翻番数叫做增值熵。这样求几何平均收益最大和求增值熵最大就是一回事。可惜这时不能用中学生的方法求最优投资比例。这时要用到大学生学到的求极值的方法（可见数学还是有用的）令对的导数等于可以求出最优投资比例是注意上式分子括号中正好是算术平均收益。有了这一公式，我们就可以对付收益更复杂的打赌或投资。比如重复掷骰子打赌，可能出现的数字是1到6；出1亏一倍，出345嬴一倍。一。于是可以求出最优下注比例上面结论。可以求出最优下注比例上面结论。=。读33者.不妨3%通过反复掷硬币或掷骰子检验股票和国债的投资组合优化-漫谈投资组合的

12、几何增值理论上一节我们介绍了掷硬币打赌下注比例的优化公式：有人会问：剩下的资金不投资不是浪费掉了？回答是：剩下的资金如能产生稳定收益更好，即使不能产生，那也不是浪费。就象打仗要有后备军一样，风险投资也要有后备军，它能在前次投资亏损后发挥更大效用。可幸的是，目前深圳上海交易所允许股民同时从事股票和国债买卖，使得股民可以用“后备军”购买国债，同时得到稳定的国债收益。TOC o 1-5 h z假设只有购买二级市场股票和购买国债两种投资方式，股票收益近似用掷硬币打赌收益来模拟，即已知国债收益率和股票收益的概率预测。01122如何优化股票和国债的投资比例？这时资金的平均翻番数或增值熵变为H=lRog=lPog【12+（r1-）q+rq】+Plo【g21+（r1-）q+rq】2101202一是投资国债的比例。令对的导数等于可以求出最优投资比例：q*=d-+（PdP）R/（d）.1122012其中是投资国债的产出比；和是超出国债收益00110220的收益。国债收益也可以说是市场平均收益，我们可以说和是超常收益。12因为国债利率反映了资金成本，我们也说上式是考虑资金成本的优化公式。例：可选择的投资是股票和国债，投资人每年年终调整投资比例,股市每年的涨跌幅由掷硬币确定，收益预测，8年