概率论与数理统计17702

1、概率论与数理统计综合复习资料一、填空题14A ) ):BCP(A| B) P(A B) ；.282；。3A、BP(A)0.6，P(AB)0.3P(AB) . Y 4X 与Y PX。5X E(XX 2)1=。X N(X 5则 。53 A；P(B) P(A)B.e，x 0X f (x) ， x 0X ； X F(x) 。9B和B和A。， 0 x 1X f (x) Y X 0，1 则PYX=。2Y)X 与YX N(2 ,32)D（3X=。二、 选择题1设X 和Y N 22)和N Y 1/2Y 1/2X Y 1/2(B)（A)X（C）XD X Y 1/2（ ) 0.4 P(B) 0.6 P(B| A)

2、 0.5P(AB)2P()( A) 1，【（B) (C) 08(D） 0536 和0 ( A）06 ( B) （C）04A、B、C C（D) P(A) P(B)1 P(AB)B P(C) P(A) P(B)1（ ）( A）P(C)(C）P(C)D（ ）P(C) P(A B) B P(B) 0，A和BA(A)P(A) P(A|B)B P(A) P(A|B)（ )（C)P(A) P(A|B)D P(A) P(A|B)( ）6A和B A) P(B)( A）P(B（B）A 与B P(A)P(B)D A B（ ) 与 （C) P(AB)C，0 x0 y 27(X，Y)， f(x y) ,则C【，其它（A

3、） 3（B) (C） （D) 2三、某工厂三个车间生产同一规格的产品 ,其产量依次占全厂总产量的 25%、35、40,如果各车间生产产品的次品率依次为 5、4%、2%。现从待出厂的产品中随机地取一件,求：（1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品，它是第一车间生产的概率。直到发火为止,则消耗的雷管数X 是一离散型随机变量，求X 的概率分布。五、设随机变量X 的概率分布为X1012p0。30。20.40.1k求：(1） 、EX DX； (2）Y 2X 1的概率分布；X 随机地在123 中任取一值，Y 随机地在1 X 中任取一整数值,求：（1） ， 的分布律;（2）关于 X 和Y 的边缘分

4、布律.(X Y)七、已知 X 、Y 分别服从正态分布 N 32)和N 42),且 X 与Y 的相关r v系数 1/2，设，求：Z X /3Y /2XY(1）数学期望EZ，方差DZ；(2） X 与Z的相关系数。XZ八、设 ， ， 为 的一个样本，X XXX12n( x ,0 x 1 X f (x, ) 其它其中 为未知参数，求 的极大似然法估计量。1九 、 设 X X X X 是 来 自 正 态 总 体 N3 ) 的 随 机 样 本 ，21234X (X 2X ) X X ) 、 使统计量 服从 Xa b2221234自由度。十、设二维随机变量（ ， ）的概率分布为YX e , 0 x yyf

5、(x,y) 0,其它求:(1）随机变量 X 的密度函数;f (x)X（2)概率 。X Y 十一、设 、 的概率分布为X Y1 (x) 44ey ， ， 1 x 4y (y) ， y ， 0,求: 和E(2X Y )。E(X Y)2十二、设总体X 的分布列为X10p 1ppkX ，X ，X 为 X 的一个样本，求 p的极大似然估计。12n十三、设P(A)0.3，P(B) 0.4，P()，求P(B|(AB)。十四、在某城市中发行三种报纸 、 、 ，经调查，订阅 报的有 50，订阅A B CA报的有 30%，订阅 报的有 20%，同时订阅 及 报的有 10%，同时订阅 及BCA BA报的有8%,同时

6、订阅 及 报的有5%,同时订阅 、 、 报的有3,试求下B C A B CC列事件的概率：（1）只订阅 及 报；(2）恰好订阅两种报纸.BA十五、甲、乙两人各自同时向敌机射击，已知甲击中敌机的概率为08，乙击中敌机的概率为0.5，求下列事件的概率：( 1 ） 敌机被击中；(2）甲击中乙击不中；（3）乙击中甲击不中。十六、在电源电压不超过200,200240 和超过240 伏的三种情况下,某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001 和0.2,假定电源电压,试求：X N(220,252)提示：(0.8) 0.788)（1） 该电子元件被损坏的概率（2） 电子元件被损坏时，电源电压在200240

7、 伏内的概率 。十七、设 ， ， 为总体X 的一个样本，且 服从几何分布,即X XXX12n，求 的极大似然估计量。X k p)k1p, k p一、填空题1 804,5.196）2 30.7; 4； 5；64。1e，x 0 1 e ； F(x) 3， x 09 10 117二、 选择题1C2C3C4B 5D6 A7 C三、某工厂三个车间生产同一规格的产品,其产量依次占全厂总产量的 25、35、40%，如果各车间生产产品的次品率依次为 5、4%、2.现从待出厂的产品中随机地取一件，求：（1）取到的是次品的概率;(2）若已知取到的是次品，它是第一车间生产的概率.解:设事件AA ii ， ， ）.i

8、 1 2 3 2 分则 A A A ,且 ， 、 、 两两互斥，由全概率公式得P(A ) 0 A A A123i1233P() P(A)P(A| A) 5 分iii125535440269 7 分100 100 100 100 100 100 2000P(A )P(A| A )13 P(A )P(A| A )= 10 分P(A |A)11jjj12552569100 10069 12 分2000直到发火为止，则消耗的雷管数X 是一离散型随机变量，求X 的概率分布.解X 的可能取值为12, . 记 次试验雷管发火则A 表3Akkk示“第 次试验雷管不发火”从而得k 2 分4p X P(A ) 1

9、151 4p X P(A A ) P(A )P(A ) 5 521212145p X P(A A A ) P(A )P(A )P(A ) ( )2 31 2 3123514 8 分p X k P(A A A A ) ( )k1k1 2k1 k55依次类推，得消耗的雷管数X 的概率分布为4 1X k( ) 1 （k ）k5 5五、设随机变量X 的概率分布为X10.3012p0。20.40.1k求：(1） 、 ； （2)Y 2X 1的概率分布;解：(1） 1 0.3 0 0.2 1 0.4 2 0.1 0.3 4 分 EX2 (2 0.300.22 0.422 0.11.16分DX EX2 (EX

10、)2 1.12 1.018 分12 分(2） 的概率分布Y 2X 1Y10。230。30.40.1pk六、设 X 随机地在 12,3 中任取一值，Y 随机地在 1 X 中任取一整数值,求：(1) ， 的分布律;（2）关于 X 和Y 的边缘分布律。(X Y)(X，Y)的概率分布表为Y31112361916 分609109(2）关于 X 的边缘分布律为X1231113PX x p9 分12 分ii33关于Y的边缘分布律为Y21118519PY y pjj18 X Y 分别服从正态分布r v2 和 2 X 与Y 的相关N 3 ) N 4 )系数 1/2，设,求:Z X /3Y /2（1)数学期望EZ

11、,方差DZ;(2） X 与Z的相关系数。XZ解1)由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得X YXY11EZ E( ) E( ) E( ) 0 2 1 3 分3 23232X YXYXYDZ D( ) D( ) D( )2Cov( ， )3 23232132112211 1 2 3 2 5分1 11 3 4 2 ( )341423 6分2232223 22，1X12Y)13Cov(X,X)12Cov(X,Y)（2）Cov(X Z) Cov(X， 311 DX DX DY 0 9分32 XYX,Z)从而有X 与Z 的相关系数 010分XZ 八、设 ， ， 为 的一个样本,X XXX12n ( x

12、 ,0 x 1 X f (x, ) 其它其中 为未知参数，求 的极大似然法估计量。1解：设 ， ， 为 ， ， 观测值，则构造似然函数x xxX XX12n12nn3 分L( ) ( n( x )ii1n5 分lnL nln( lnxii1令dlnLdnn lnx 08 分10 分1ii1n解的 的极大似然估计量为 1nXii1 分）设X X X X 是来自正态总体N3 ) 的随机样本，21234X (X 2X ) X X )。试确定 、 使统计量 服从 分布,并指出其Xab2221234自由度。解：依题意，要使统计量服从 分布，则必需使 a (X 2X ) 及X21/212b (2X 3X

13、)1/2服从标准正态分布。 2 分34由于X X X ，X 1234性质知a (X 2X ) N(0(9a36a)，从而解得 1/45.a1/212 4 分，从而解得 1/117。同理， b (2X 3X ) N(0(b 81b)1/2b12 5 分11由 分布定义知，当 、 时， X (X 2X ) X X )ab222451171234服从 分布，且自由度为 2。 6 分2十、设二维随机变量（ ， ）的概率分布为YX e , 0 x yyf (x,y) 0,其它1)随机变量 X 的密度函数；f (x)X(2）概率 .X Y 解:（1）x 0时，=0；2 分4 分f (x)Xx 0时， f

14、(x)= f (x,y)e eyxXx x，e0 x故随机变量 X 的密度函数=5 分f (x) X0，x 0 1（2）PX Y f (x,y) xe y20 xXY112 e 12e10 分1十一、设 、 的概率分布为X Y1 (x) 44ey ， ， 1 x 4y (y) ， y ， 0,求： 和E(2X Y )。E(X Y)251解 1,5上服从均匀分布,所以EX 3YX211服从参数为 4 的指数分布,所以= 、DY ，3 分EY416因此由数学期望性质 2、性质 3 及重要公式得11E(X Y) EX EY 3 36 分44E(2X Y ) 2E(X)3EY )22356DY (EY

15、) )6 5 。10 分288十二、设总体X 的分布列为X101pppkX ，X ，X 为 X 的一个样本，求 p的极大似然估计.12n解：设 ， ， 为 ， ， 观测值， X 的分布律为x x X XxX12n12np(x,p) p p)（x ，0)xx于是似然函数nn2 分L(p) p(x , p) p p)xxiiii1i1nnxinxi p )4 分6 分i1i1nnlnL ln p x (n x ) p)iii1i1nnx n xdLii8 分i1i11 ppdlnL1n令 0，解得 ，因此 的极大似然估计为x Xippni11nx Xi10 分p ni1十三、设P(A)0.3，P(

16、B) 0.4，P(),求P(B|(AB)。P(B(A B解：由于P(BA B，2 分P(A B)B(AB) BABB BAA ABABABAB ,3 分而故P(BA) P() P(AB) 1 P(A) P(AB) 0 0 ， 5 分P(AB) P(A) P(B) P(AB) 1 0 0 ， 7 分P(B(A B 1。8 分P(B|(A B 4P(A B)十四、在某城市中发行三种报纸 、 、 ，经调查,订阅 报的有 50%，订B CAA阅 报的有 30%,订阅 报的有 20% 及 报的有 10% 及BCA BA报的有 8,同时订阅 及 报的有 5%，同时订阅 、 、 报的有 3，试求B C A

17、B CC下列事件的概率：（1）只订阅 及 ）恰好订阅两种报纸。AB解：(1）P() P(ABC) P(AB ABC) P(AB) P(ABC)2 分 3分分 0.10.03 4(2）P( ABC ABC) P(ABC)P(ABC)P(ABC)6 分 8分,已知甲击中敌机的概率为 0.8,乙击中敌机的概率为 0.5，求下列事件的概率:( 1 ) 敌机被击中;（2）甲击中乙击不中;(3)乙击中甲击不中.解:设事件 ;事件 表示：ABC“敌机被击中”则（1）PC) P(A B) 1 P(A B) 1 P(AB) 10.10.9 4 分 8 分12 分（2） P() P()P(B)0.80.4（3）

18、P(AB) P(A)P(B)0.50.1十六、在电源电压不超过 200200240 和超过 240 伏的三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为 0.10001 和 2,假定电源电压X N(220,25 )，2试求： （提示：(0.8) 0.788）（3） 该电子元件被损坏的概率（4） 电子元件被损坏时,电源电压在200240 伏内的概率 。解:设 200 200240 伏；A1A2240 B 1分A3由于X N(220 252)，,所以200220P(A ) PX F(200) ()251 () 1) 1 2分240220200220P(A ) P X ()()25252 )() 2)1 3分240220P(A ) PX 1()3251) 1 4分由题设P(B|A )