高中数学新课程创新教学设计案例50篇 39 平面向量的正交分解与坐标

1、39 平面向量的正交分解与坐标运算教材分析这节课通过建立直角坐标系，结合平面向量基本定理，给出了向量的另一种表示坐标表示，这样使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应关系，然后导出了向量的加法、减法及实数与向量的积的坐标运算，这就为利用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，更突出也更简化了向量的应用所以，一定要让学生重点掌握向量的坐标运算，以利于掌握坐标形式下的向量的一些关系式及运用教学难点是让学生建立起平面向量的坐标概念教学目标1. 理解解平面向向量坐标标概念，领领会它的的引入过过程，进进一步体体会一一一对应的的思想意意识2. 理解解平面向向量的坐坐标的概概念，掌掌握平面面向量的的坐标运运

2、算，并并能应用用坐标运运算解决决一些问问题3. 增强强数形结结合意识识，领会会“没有有运算，向向量只是是一个路标，因为为有了运运算，向向量的力力量无限限”的说说法任务分析1. 有了了平面向向量的基基本定理理，就不不难有平平面向量量的正交交分解，有有了坐标标系下点点与坐标标的一一一对应关关系，也也就容易易有在直直角坐标标平面内内的向量量与坐标标的一一一对应2. 可以以从两个个角度来来理解平平面向量量的坐标标表示：（1）设ii，j为为x，yy轴方向向上的单单位向量量，则任任一向量量可唯唯一地表表示为xxiyyj，即即唯一对对应数对对（x，yy），所所以可以以说a（x，yy）（2）任一一向量可平移移

3、成，一一对对应点AA（x，yy），从从而可说说a（xx，y）3. 在接接触过xxOy平平面内一一点到它它的坐标标的这种种形、数数过渡的的基础上上，容易易接受由由向量到到坐标的的这种代代数化的的过渡教学设计一、问题情情景1. 光滑滑斜面上上的木块块所受重重力可以以分解为为平行斜斜面使木木块下滑滑的力FF1和木块块产生的的垂直于于斜面的的压力FF2（如图图）一个向量也也可以分分解为两两个互相相垂直的的向量的的线性表表达，这这种情形形叫向量量的正交交分解以后可可以看到到，在正正交分解解下，许许多有关关向量问问题将变变得较为为简单2. 在平平面直角角坐标系系中，每每一个点点可用一一对有序序实数（即即它

4、的坐坐标）表表示，那那么对平平面直角角坐标内内的每一一个向量量，可否否用实数数对来表表示？又又如何表表示呢？二、建立模模型1. 如图图，在直直角坐标标系中，先先分别取取与x轴轴、y轴轴方向相相同的两两个单位位向量ii，j作作为基底底对于于平面上上一个向向量a，由由平面向向量的基基本定理理，知有有且只有有一对实实数x，yy使xiyj，这这样平面面内任一一向量aa都可由由x，yy唯一确确定，（xx，y）叫叫a的坐坐标，记记作a（x，yy）显然，i（1，00），jj（00，1），00（00，0）若把的起起点平移移到坐标标原点，即即，则则点A的的位置由由唯一一确定设xxiyyj，则则的坐标标就是点点A

5、的坐坐标；反反过来，点点A的坐坐标（xx，y）也也就是的的坐标因此，在在平面直直角坐标标系内，每每一个平平面向量量都可以以用一对对实数（即即坐标）唯唯一表示示2. 学生生思考讨讨论已知a（xx1，y1），bb（xx2，y2），你你能得出出abb，ab，a的坐坐标吗？（xx1，y1），bb（xx2，y2），x11yy1，bbx22yy2（x11x2）i（y11y2）j，（x11x2，y1y2）同理（xx1x2，y1y2），（x1，yy1）上述结论可可表述为为：两个个向量和和（差）的的坐标分分别等于于这两个个向量相相应坐标标的和（差差）；实实数与向向量的积积的坐标标等于用用这个实实数乘原原来向量量

6、的相应应坐标三、解释应应用例题1. 已知知A（xx1，y1），BB（x22，y2），求求AB的坐标标解：如图339-33，ABB（xx2，y2）（xx1，y1）（xx2x1，y2y1）总结：一个个向量的的坐标等等于表示示此向量量的有向向线段的的终点的的坐标减减去始点点坐标思考：能在在图中标标出坐标标为（xx2x1，y2y1）的PP点吗？平移到，则则P（xx2x1，y2y1）2. 已知知A（2，11），BB（11，3），CC（3，44）（1）求的坐标标（2）求求ABCCD中DD点的坐坐标放开思考，展展开讨论论，看学学生们有有哪些不不同方法法（1）解法法1：（11，2），（5，3），（11，2）（

7、5，33）（4，1）解法2：（4，1）（2）解法法1：设设D（xx，y），即（1，2）（3x，4y），xy2，DD（2，22）思考：你能能比较出出对（22）的两两种解法法在思想想方法上上的异同同点吗？（解法1是是间接的的思想，即即方程的的思想，解解法2是是直接的的思想）3. 在直直角坐标标系xOOy中，已已知点AA（3，22），点点B（2，44），求求向量的方向向和长度度解：由已知知，得（3，22），（22，4）设，则则（33，2）（22，4）（1，66）由两点的距距离公式式，得设相对x轴轴正向的的转角为为，则则查表或使用用计算器器，得800322答：向量的的方向偏偏离轴轴正向约约为80032

8、2，长长度等于于，向量量的方向向偏离xx轴正向向约为111634，长度度等于22练习1. 已知知a（22，1），bb（3，44），求求3a44b的坐坐标2. 设aab（44，33），aab（2，11），求求a，bb解法1：2a（4，3）（2，11）（2，2），2b（4，3）（2，11）（6，4），a（1，1），bb（3，2）解法2：设设a（xx1，y1），bb（xx2，y2），则则3. 已知知（11，1），（11，11），（1，22），试试以，为基底底来表示示解：设ck1ak2a，即（1，22）kk1（1，11）kk2（1，1），即即（11，2）（k11k2，k1k2），四、拓展延延伸1. 在

9、直直角坐标标系xOOy中，已已知A（xx1，y1），BB（x22，y2），求求线段AAB中点点的坐标标解：设点MM（x，yy）是线线段ABB的中点点（如图图39-5），则则（）将上式换为为向量的的坐标，得得（x，y）（xx1，y1 ）（x22，y2 ）即.这里得到的的公式叫叫作线段段中点的的坐标计计算公式式，简称称中点公公式2. 对于于向量aa，b，cc，若存存在不全全为0的的实数kk1，k2，k3，使kk1ak2bkk3c0，则则称a，bb，c三三个向量量线性相相关，试试研究三三个向量量（33，5），（0，1），（3，4）是否线性相关解法1：显显然有0，三者线线性相关关解法2：由由k1k2k30，即k1（33，5）k2（0，1）k3（33，44）00，即（3k113kk3，5kk1k24kk3）（00，0），取k1kk2k31，则则0，故故三个向向量线性性相关点评这篇案例设设计完整整，思路路自然由斜边边上物体体所受重重力的分分解，联联想到向向量应有有常见的的正交分分解；由由点的坐坐标表示示，结合