高中数学新课程创新教学设计案例50篇 46 等差数列的前n项和

1、46 等差数列的前n项和 教材分析等差数列的前项和是数列的重要内容，也是数列研究的基本问题在现实生活中，等差数列的求和是经常遇到的一类问题等差数列的求和公式，为我们求等差数列的前项和提供了一种重要方法教材首先通通过具体体的事例例，探索索归纳出出等差数数列前项和的的求法，接接着推广广到一般般情况，推推导出等等差数列列的前项和公公式为为深化对对公式的的理解，通通过对具具体例子子的研究究，弄清清等差数数列的前前项和和与等差差数列的的项、项项数、公公差之间间的关系系，并能能熟练地地运用等等差数列列的前项和公公式解决决问题这节内内容重点点是探索索掌握等等差数列列的前项和公公式，并并能应用用公式解解决一些

2、些实际问问题，难难点是前前项和和公式推推导思路路的形成成教学目标1. 通过过等差数数列前项和公公式的推推导，让让学生体体验数学学公式产产生、形形成的过过程，培培养学生生抽象概概括能力力2. 理解解和掌握握等差数数列的前前项和和公式，体体会等差差数列的的前项项和与二二次函数数之间的的联系，并并能用公公式解决决一些实实际问题题，培养养学生对对数学的的理解能能力和逻逻辑推理理能力3. 在研研究公式式的形成成过程中中，培养养学生的的探究能能力、创创新能力力和科学学的思维维方法任务分析这节内容主主要涉及及等差数数列的前前项公公式及其其应用对公式的推推导，为为便于学学生理解解，采取取从特殊殊到一般般的研究

3、究方法比比较适宜宜，如从从历史上上有名的的求和例例子12331000的高高斯算法法出发，一一方面引引发学生生对等差差数列求求和问题题的兴趣趣，另一一方面引引导学生生发现等等差数列列中任意意的第项与倒倒数第项的和和等于首首项与末末项的和和这个规规律，进进而发现现求等差差数列前前项和和的一般般方法，这这样自然然地过渡渡到一般般等差数数列的求求和问题题对等等差数列列的求和和公式，要要引导学学生认识识公式本本身的结结构特征征，弄清清前项项和与等等差数列列的项、项项数、公公差之间间的关系系为加加深对公公式的理理解和运运用，要要强化对对实例的的教学，并并通过对对具体实实例的分分析，引引导学生生学会解解决问

4、题题的方法法特别别是对实实际问题题，要引引导学生生从实际际情境中中发现等等差数列列的模型型，恰当当选择公公式对对于等差差数列前前项和和公式和和二次函函数之间间的联系系，可引引导学生生拓展延延伸教学设计一、问题情情景1. 在2200多多年前，有有个100岁的名名叫高斯斯的孩子子，在老老师提出出问题：“12331000？”时时，很快快地就算算出了结结果他他是怎么么算出来来的呢？他发现现1110029993397750511011，于是是122100010015505505002. 受高高斯算法法启发，你你能否求求出1233的和和3. 高斯斯的方法法妙在哪哪里呢？这种方方法能否否推广到到求一般般等差

5、数数列的前前项和和？二、建立模模型1. 数列列的前项和定定义对于数列n，我我们称12n为数列列nn的前前项和和，用SSn表示，即即Sn12n2. 等差差数列的的求和公公式（1）如何何用高斯斯算法来来推导等等差数列列的前项和公公式？对于公差为为的等等差数列列nn：Sn11（1）（112）1（1）， 依据高斯算算法，将将Sn表示为为Snn（n）（nn2）n（1） 由此得到等等差数列列的前项和公公式小结：这种种方法称称为反序序相加法法，是数数列求和和的一种种常用方方法（2）结合合通项公公式nn1（1），又能能得怎样样的公式式？（）两个个公式有有什么相相同点和和不同点点，各反反映了等等差数列列的什么么

6、性质？学生讨论后后，教师师总结：相同点点是利用用二者求求和都须须知道首首项11和项数数；不不同点是是前者还还须要知知道nn，后者者还须要要知道因此此，在应应用时要要依据已已知条件件合适地地选取公公式公公式本身身也反映映了等差差数列的的性质：前者反反映了等等差数列列的任意意的第项与倒倒数第项的和和都等于于首、末末两项之之和，后后者反映映了等差差数的前前项和和是关于于的没没有常数数项的“二二次函数数”三、解释应应用例题1. 根据据下列各各题中的的条件，求求相应的的等差数数列n的前前项和和Sn（1）11 4，8 18，8（2）111445，0.7，n322注：恰当选选用公式式进行计计算2. 已知知一

7、个等等差数列列nn前110项的的和是3310，前前20项项的和是是12220由由这些条条件能确确定这个个等差数数列的前前项和和的公式式吗？分析：将已已知条件件代入等等差数列列前项项和的公公式后，可可得到两两个关于于1与的的关系式式，它们们都是关关于11与的的二元一一次方程程，由此此可以求求得11与，从从而得到到所求前前项和和的公式式解：由题意意知注：（1）教教师引导导学生认认识到等等差数列列前项项和公式式，就是是一个关关于nn，1，或或者11，的方程程，使学学生能把把方程思思想和前前项和和公式相相结合，再再结合通通项公式式，对1，nn及Sn这五个个量知其其三便可可求其二二（2）本题题的解法法还

8、有很很多，教教学时可可鼓励学学生探索索其他的的解法例如，3. 20000年年11月月14日日教育部部下发了了关于于在中小小学实施施“校校校通”工工程的通通知某市据据此提出出了实施施“校校校通”工工程的总总目标：从20001年年起用110年的的时间，在在全市中中小学建建成不同同标准的的校园网网据测测算，220011年该市市用于“校校校通”工工程的经经费5000万元元为了了保证工工程的顺顺利实施施，计划划每年投投入的资资金都比比上一年年增加550万元元那么么从20001年年起的未未来100年内，该该市在“校校校通”工工程中的的总投入入是多少少？教师引学生生分析：每年“校校校通”工工程的经经费数构构

9、成公差差为的等差差数列问题实实质是求求该数列列的前110项的的和解：根据题题意，从从20001220100年，该该市每年年投入“校校校通”工工程的经经费都比比上一年年增加550万元元所以以，可以以建立一一个等差差数列n，表表示从220011年起各各年投入入的资金金，其中中，115000，500那么，到220100年（100），投投入的资资金总额额为答：从2000120110年，该该市在“校校校通”工工程中的的总投入入是72250万万元注：教师引引导学生生规范应应用题的的解题步步骤4. 已知知数列n的前前项和和Sn2，求求这个数数列的通通项公式式这个个数列是是等差数数列吗？如果是是，它的的首项与

10、与公差分分别是什什么？解：根据由此可知，数数列n是一一个首项项为，公公差为22的等差差数列思考：一般般地，数数列n前项和SSnA2B（A），这这时n是等等差数列列吗？为为什么？练习1. 一名名技术人人员计划划用下面面的办法法测试一一种赛车车：从时时速100开始始，每隔隔2速速度提高高20如果果测试时时间是330，测测试距离离是多长长？2. 已知知数列n的前前项的的和为SSn244，求这这个数列列的通项项公式3. 求集集合M2211，N*，且600的元元素个数数，并求求这些元元素的和和四、拓展延延伸1. 数列列nn前项和SSn为Snpnn2qnn（，为常数数且），则则nn成等等差数列列的条件件是

11、什么么？2. 已知知等差数数列5，44，3，的前项和为为Sn，求使使Sn最大的的序号的值分析1：等等差数列列的前项和公公式可以以写成SSn2 （1），所所以Snn可以看看成函数数xx2（1 ）（N*）当当时的函函数值另一方方面，容容易知道道Sn关于的图像像是一条条抛物线线上的一一些点因此，我我们可以以利用二二次函数数来求的值解：由题意意知，等等差数列列5，44，3，的公差差为，所所以于是，当取与最最接近的的整数即即7或88时，SSn取最大大值分析2：因因为公差差 ，所以以此数列列为递减减数列，如如果知道道从哪一一项开始始它后边边的项全全为负的的，而它它之前的的项是正正的或者者是零，那那么就知知道前多多少项的的和最大大了即即使然后后从中求求出点评这篇案例从从具体的的实例出出发，引引出等差差数列的的求和问问题，在在设计上上，设计计者注意意激发学学生的学学习兴趣趣和探究究欲望，通通过等差差数列求求和公式式的探索索过程，培培养学生生观察、探探索、发发现规律律、解决决问题的的能力对例题、练练习的安安排，这这篇案例例注意由由浅入深深，完整整，