人教版初三数学二次函数知识点难点总结

1、初三数学二次函数知识点总结二次项系数a决定二次函数图像的张口方向和大小.当a0时,二次函数图像向上张口;当aVO时,抛物线向下张口.|a|越大,那么二次函数图像的张口越小.1、决定对称轴地点的要素一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的地点.当a与b同号时即ab0,对称轴在y轴左；因为对称轴在左边那么对称轴小于0,也就是-b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时即ab0,对称轴在y轴左；当a与b异号时即abV0,对称轴在y轴右.事实上,b有其自己的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数分析式一次函数的斜率k的值.可经过对

2、二次函数求导获取.2、决定二次函数图像与y轴交点的要素常数项c决定二次函数图像与y轴交点.二次函数图像与y轴交于0,c一、二次函数见解：1.二次函数的见解：一般地,形如,=?+法+c“,.是常数,“二0的函数,叫做二次函数.这里需要重申：和一元二次方程近似,二次项系数.0,而,c能够为零.二次函数的定义域是全体实数.22.二次函数y=ax+/?+c的构造特色：等号左边是函数,右边是对于自变量X的二次式,X的最高次数是2?,人c是常数,.是二次项系数,是一次项系数,.是常数项.二、二次函数的根本形式1.二次函数根本形式：),=小的性质：a的绝对值越大,抛物线的张口越小.的符张口方极点坐对称性质向

3、标轴A-00+,y随X的增大而增大；x0向上时,y随x的增大而减小；x=0时,(0,0),轴y有最小值0.x0时,y随x的增大而减小；x0时,y随x的增大而增大；x=0时,6/0时,y随.V的增大而增大；x0向上0,.y轴X=0时,y有最小值C.x0时,y随x的增大而减小；4/?时,y随X的增大而增大；x0,0X=h向上x=/?时,y时,y随x的增大而减小；有最小值0.xh时,y随x的增大而减小；xha/?时,y随X的增大而增大；x0向上,kX=hx=/?时,y时,y随x的增大而减小；有最小值k.xh时,y随x的增大而减小；xh40向下,kX=hx=h时,y时,y随x的增大而增大；有取大值k.

4、三、二次函数国象的平移.平移步骤：方法一：将抛物线分析式转变为极点式),=4(炉+女,确立其极点坐标(八)；保持抛物线y=/的形状不变,将其极点平移到(人A)处,详细平移方法以下：向上伏0)【或向下伏V.)】平移?个单位-向右(/0)或左仍向右50)【或左(0)】平移同个单位向右仇0)【或左(k0)】平移阳个堆位0)平移阳个玳位向上(Q0)【或下伏0)】Vy=?(.v-/j)4向上代0)【或下(代0)】平移次I个单位比妒+4y=ax-2.平移规律在原有函数的基础上“力值正右移,负左移；值正上移,负下移归纳成八个字“左加右减,上加下减.方法二：y=?+Z?x+c沿y轴平移：向上(下)平移?个单位

5、,y=x?+x+c变为y=ax2+bx+c+in(或y=ax2+bx+c-m)y=ax2+/?x+c沿轴平移：向左(右)平移1个单位,y=ax2+bx+c变为y=a(x+m)2+b(x+in)+c(或y=a(x-m)2+bx-m)+c)四、二次函数y=.刀-力-+A与y=?+x+c的比较从分析式上看,=“.L/7+A与=?+法+C是两种不同样的表达形式,后者经过配方能够获取前者,即y=/x+3j+牛生,此中/?=_2,人仅二5.I2a4a2a4a五、二次函数y=ax2+bx+c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为极点式y=ax-hy+k,确立其张口方向、对称轴及极

6、点坐标,此后在对称轴双侧,左右对称地描点绘图.一般我们采纳的五点为：极点、与y轴的交点O,c、以及O,c对于对称轴对称的点2/?.c、与x轴的交点芭,0,占,0假定与x轴没有交点,那么取两组对于对称轴对称的点.画草图时应抓住以下几点：张口方向,对称轴,极点,与x轴的交点,与,轴的交点.六、二次函数y=ax2+bx+c的性质1.留意.时,抛物线张口向上,对称轴为极点坐标为一身片Z当X_2时,y随X的增大而增大；2a2a当X=_2时,y有最小值小二生.2a-4a2.当4-时,2ay随x的增大而减小;2a当尤=_,时,有最大值当主.2a.4a七、二次函数分析式的表示方法2+bx+c(a,b,e为常数

7、,“O)；H2.极点式：y=a(x-h)2+k(a,h,H左为常数,“O)；3.两根式：y=“-N(x)(x72)(“H.,N,七是抛物线与x轴两交点的横坐标).注意：任何二次函数的分析式都能够化成一般式或极点式,但其实不是全部的二次函数都能够写成交点式,只有抛物线与X轴有交点,即-44之0时,抛物线的分析式才能够用交点式表示.二次函数分析式的这三种形式能够互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数y=I?+6+c中,a作为二次项系数,明显“H0.(1)当0时,抛物线张口向上,a的值越大,张口越小,反之a的值越小,开口越大；当“o的前提下,当0时,-A0,即抛物线对称

8、轴在),轴的右边.2ci-在“0时,-0,即抛物线的对称轴在y轴右边；2ci-当)=0时,-A=0,即抛物线的对称轴就是),轴；2a当/?o时,0,在),轴的右边那么av0,2a归纳的说就是“左同右异总结：3.常数项c(1)当c0时,抛物线与,轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；当0=0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；当c0时,图象落在x轴的上方,不论x为任何实数,都有),0；2,当“0抛物线与x轴二次三项式的值有两个交点可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根A=0二次三项式的值一元二次方程有两个相等的实数根A3,与y轴交点的纵坐标是一1

9、确立抛物线的分析式；2用配方法确立抛物线的张口方向、对称轴和极点坐标.5.察看代数与几何的综合水平,常有的作为专项压轴题.【例题经典】由抛物线的地点确立系数的符号例11二次函数v=/+bx+c的图像如图1,那么点MS,在aA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2二次函数y二ax,bx+ca、a#=0的图象如图2所示,那么以下结论：b同号；当x=1和x=3时,值只好函数值相等；4a+b=0;当y=-2时,x的取0.此中正确的个数是D.4个A.1个B.2个C.3个【谈论】弄清抛物线的地点与系数a,b,c之间的关系,是解决问题的要点.例2.二次函数尸ax?+bx+c的图象与x轴交于点-2,

10、0、xi,0,且1xK2,与y轴的正半轴的交点在点0,2的下方.以下结论：ab0;4a+c0,此中正确结论的个数为A1个B.2个C.3个D.4个会用待定系数法求二次函数分析式例3.：对于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2,且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2,那么抛物线的极点坐标为A(2,-3)B.(2,1)C(2,3)D.(3,2)答案：C例4、如图(单位：m),等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形挪动,直到AB与CD重合.设x秒时,方形重叠三角形与正局部的面积为ym2.(1)写出y与x的关系式；(2)当x=2,时,y分别是多少(3)当重叠局部的

11、面积是正方形面积的一半时,三角形挪动了多长时间求抛物线极点坐标、对称轴.例5、抛物线y=x2+x-?22(1)用配方法求它的极点坐标和对称轴.(2)假定该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长.【谈论】本题(1)是对二次函数的“根本方法的察看,第(2)问主要察看二次函数与一元二次方程的关系.例6、函数),=,/+以+c的图象经过点A(c,-2),2求证：这个二次函数图象的对称轴是x二3.题目中的矩形框局部是一段被墨水污染了没法识其他文字.(1)依据和结论中现有的信息,你可否求出题中的二次函数分析式假定能,请写出求解过程,并画出二次函数图象；假定不可以够,请说明原因.(2)请你依据已有的

12、信息,在原题中的矩形框中,填加一个适合的条件,把原题增补圆满.谈论：对于第1小题,要依据和结论中现有信息求出题中的二次函数分析式,就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3看作来用,再联合条件“图象经过点Ac,2,就能够列出两个方程了,而分析式中只有两个未知数,所以能够求出题中的二次函数分析式.对于第2小题,只需给出的条件能够使求出的二次函数分析式是第1小题中的分析式就能够了.而从不同样的角度考虑能够增添出不同样的条件,能够考虑再给图象上的一个随意点的坐标,能够给出极点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等.解答1依据y=L2+bx+c的图象经过点Ac,-2,图象的对称轴是x=3,2所以所求二次函

13、数分析式为,=Ld-31+2.图象以以下列图.22在分析式中令尸0,得:一一3工+2=0,解得再=3+?工2=3-6所以能够填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是3+6,0或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是3-6,0.令x=3代入分析式,得,=-工2所以抛物线y=L/一3工+2的极点坐标为3,-3,22所以也能够填抛物线的极点坐标为3,-*等等.2函数主要关注：经过不同样的门路图象、分析式等认识函数的详细特色；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程,变量之间关系的数学模型；渗套函数的思想；关注函数与有关知识的联系.用二次函数解决最值问题例1边长为4的正方形截去一个角后成为五边形AB上求一点

14、P,使矩形PNDM有最大面积.ABCDE如图,此中AF=2,BF=1.试在【评析】本题是一道代数几何综合题,把相像三角形与二次函数的知识有机的联合在一同,能很好察看学生的综合应用水平.同时,也给学生研究解题思路留下了思想空间.例2某产品每件本钱10元,试销阶段每件产品的销售价x元与产品的日销售量y件之间的关系以下表：X123?假定日销售量y是销售价x的一次函数.元500?1求出日销售量y件与销售价x元的函数关系y件221?式；500?2要使每天的销售收益最大,每件产品的销售价应定为多少元此时每天销售收益是多少元【分析】1设此一次函数表达式为尸kx+b.那么口即一次函数表达式为y=-x+40.2

15、设每件产品的销售价应定为x元,所获销售利泗为w元w=x-1040-x=-X2+50X-400=-X-252+225.产品的销售价应定为25元,此时每天获取最大销售收益为225元.【谈论】解决最值问题应用题的思路与一般应用题近似,也有差别,主要有两点：1设未知数在“当某某为什么值时,什么最大或最小、最省的设问中,“某某要设为自变量,“什么要设为函数；2问的求解依赖配方法或最值公式,而不是解方程.二次函数对应练习试题一、选择题1.二次函数y=Y-4x-7的极点坐标是A.(2,-11)B.(-2,7)C.(2,11)D.(2,-3)2.把抛物线,=-2/向上平移1个单位,获取的抛物线是A.y=-2(

16、xB.y=-2(x-l)2C.y=-2x2+1D.y=-2x2-1+1)23.函数y=kx1-k和y=&%W0在同一x角坐标系中图象能是图中的4.二次函数产/+以+心工.的图象以以下列图,那么以下结论:a,b同号；当x=l和x=3时,函数值相等；4+=0当y=-2时,x的值只好取0.此中正确的个数是个个C.3个D.4个5.二次函数y=点+/+caW0的极点坐标-1,及局部图象如图,由图象可知对于x的一元二次方程以+c=o的两个才艮分另是凡=1-3和叫=6.二次函数,=公+/?+0的图象以以下列图,那么点ac*c在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限.方程2入-/=2的正根的个数为X

17、个个个.3个8.抛物线过点A2,0,B-1,0,与,轴交于点C,且0C=2.那么这条抛物线的分析式为A.y=x2-x-2B.y=-x2+x+2C.y=x2-x-2y=-x2+x+2D.y=-x2-x-2y=x2+x+2二、填空题9.二次函数y=/+bx+3的对称轴是x=2,那么=o10.抛物线尸-2x+32+5,假如y随x的增大而减小,那么x的取值范围是.11.一个函数拥有以下性质：图象过点一1,2,当XV0时,函数值y随自变量X的增大而增大；知足上述两条性质的函数的分析式是只写一个即可.12.抛物线y=2x-2尸-6的极点为C,直线丁=-履+3过点C,那么这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积

18、为O13.二次函数,=2/-4工-1的图象是由,=2/+加+.的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位获取的,那么b=,c=o14.如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,在线段AB上离中央M处5米的地方,桥的高度是TT取.三、解做题：15.二次函数图象的对称轴是x+3=O,图象经过且与,轴的交点为0,3.2c_1求这个二次函数的分析式；ab当X为什么值时,这个函数的函数值为0当x在什么范围内变化叱这个函数的函数值,随x的增大而增大16.某种鞭炮点燃后,其上涨高度h米和时间t秒符合关系式力=心娟0t2W2,此中重力加快度g以10米/秒2计算.这类鞭炮点燃后以v0=20米/

19、秒的初速度上升,1这类鞭炮在地面上点燃后,经过多少时间隔地15米2在鞭炮点燃后的秒至秒这段时间内,判断鞭炮是上涨,或是降落,并说明原因.17.如图,抛物线y=/+法-.经过直线1=工-3与坐标1y轴的两个交点A、B,此抛物线与x轴的另一个交点为-C,抛物线极点为D./1求此抛物线的分析式；8/2点P为抛物线上的一个动点,求使S?“：S?m=5：4的点P的坐标.18.红星建材店为某工厂代销一种建筑资料(这里的代销是指厂家先免费供给货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责办理).当每吨售价为260元时,月销售量为45吨,该建材店为提高经营收益,准备采纳降价的方式进行促销.经市场检查发现：当每吨售价每降落10元时,月销售量就会增添7.5吨.综合考虑各样要素,每售出一吨建筑资料共需支付厂家及其他开销100元.设每吨资料售价为x(元),该经销店的月收益为y(元).(1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量；(2)求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围)