勾股定理题型总结

1、勾股定理知识技能和题型归纳（一）知识技能一、本章知识内容归纳1、勾股定理 揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。1）重视勾股定理的叙述形式：直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积.直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和.从这两种形式来看，有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。（ 2）定理的作用：已知直角三角形的两边，求第三边。证明三角形中的某些线段的平方关系。作长为n的线段。 （利用勾股定理探究长度为2,3, 的无理数线段的几何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深对无理数概念的认识。）2、勾股定理的逆定理1）勾

2、股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。3）勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。要注意叙述及书写格式。运用勾股定理的逆定理的步骤如下：首先确定最大的边（如c）验证 a2b2 与 c2 是否具有相等关系：若 a2b 2c2，则 ABC 是以 C 为 90的直角三角形。若 a2b 2c2，则 ABC 不是直角三角形。补充知识：当 a2b 2c2时，则是锐角三角形；当 a2b 2c 2时，则是钝角三角形。（ 4）通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。如：3， 4， 5； 5，

3、12， 13；6， 8，10； 8， 15， 17；9， 40， 41；以及这些数组的倍数组成的数组。勾股数组的一般规律：丢番图发现的：式子 m 2n 2 ,2mn, m2n2 (mn 的正整数）毕达哥拉斯发现的： 2n1,2n 22n,2n 22n1（ n 1 的整数）柏拉图发现的： 2 ,21,n21（ n1的整数）n n3、勾股定理与勾股定理逆定理的关系（ 1）注意分清应用条件：勾股定理是由直角得到三条边的关系，勾股定理逆定理则是由边的关系来判断一个角是否为直角。2）根据课标要求，对原命题、逆命题及命题之间的关系只要求根据例子了解即可，不必专门训练 .二、本章解题技能归纳1、直角三角形的

4、性质与判定小结（ 1）直角三角形的性质：角的关系：直角三角形两锐角互余。边的关系：直角三角形斜边大于直角边。直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。边角关系：直角三角形中，30的角所对的直角边等于斜边的一半。双垂图： 双垂图中的线段关系。2）直角三角形的判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。有两个角互余的三角形是直角三角形。两边的平方和等于第三边（最长的边）的平方的三角形是直角三角形。2、已知直角三角形的两边长，会求第三边长设直角三角形的两直角边为a,b, 斜边长为c ，由勾股定理知道：a2b2c2 。变形得：ac 2b2 ,bc 2a2 , ca

5、2b 2，因此已知直角三角形的任意两边，利用勾股定理可求出第三条边。3、当直角三角形中含有30与 45角时，已知一边，会求其它的边（ 1）含有 30的直角三角形的三边的比为：1： 3:2。（ 2）含有 45的直角三角形的三边的比为：1:1:2 。（ 3）等边三角形的边长为a ，则高为3a，面积为3 a 2 。24三、阅读与思考“希波克拉底月牙形”（ 1）C如左图： C=90，图中有阴影的三个半圆S2的面积 S1,S2,S3有什么关系？CS1答：（ 2）如图： C=90， ABC的面积为20，在 AB 的同侧，分别以AB,BC,AC 为直径作三个半圆，AS3B则阴影部分（即“希波克拉底月牙形”）

6、的面积为BA勾股定理知识技能和题型归纳（二）题型一、基础练习 （要求熟练掌握 ）1、在ABC 中， a, b, c 为三边长 .(1)当 A=90时，三边关系.(2)当 C=90时，三边关系.(3) 当 a 2c2b 2 时，=90.2、如图，在Rt ABC 中， C=90， BC=a,AC=b,AB=c.（ 1）已知 a=5, b=12, 则 c=;（ 2）已知 b=6, c=10,则 a=（ 3）已知 a=2, c= 5, 则 b=；BcaCbA（ 4）已知 a=15,b=20,则 ABC 的周长 =；（ 5）已知 a=2, c =2.5,则 ABC 的面积 =；（ 6）已知 a: c =

7、3:5,a+ c =32, 则 b=;（ 7）已知 c =10, a: b=3:4, 则 a=, b=，斜边上的高 =3、已知 ABC 是直角三角形，AC =3， BC=5， 求 AB 的长。4、在 ABC 中， C=90， AB =20。1）若 B= 45，求 BC、AC。（ 2）若 A=60，求 BC、AC。5、求下列图中未知数x、 y、z 的值：。x=;144y=;z;81 xyz =625576169二、与其它章节知识的联系144b2 c 2a4b4 ，判断 ABC 的形状。6、在 ABC 的三边 a,b, c ，且 a 2c 27、若 ABC 的三边 a, b,c 满足条件 a2b2

8、c2338 10a 24b26c ，判断 ABC 的形状。8、 ABC 的三边 a, b, c ，满足 a 2b210012b16 a, c 边的长是2x35的解，求 ABC 中最大角的度数。x 5x59、用本章学过的知识判断直线y3x3 与 y1 x 3 的位置关系，说明理由。310、在 B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60方向以每小时8 海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15 海里的速度前进，2 小时后，甲船到M 岛，乙船到 P 岛，两岛相距海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？11、为美化环境，计划在某小区内用30 平方米的草皮铺设一边长为10 米的等腰三角形绿地，请你求

9、出这个等腰三角形绿地的另两边长。12、如图，铁路上 A、B 两站（视为直线上两点）相距25、千米，C D为两个村庄（视为两个点），DA AB 于 A，CB AB 于B ， DA=15千米， CB=10 千米， 现要在铁路上建设一个土特产收购站E，使得 C、D 两村到 E 的的距离相等， 则 E 应建在距 A 多少千米处？13、在河 L 的同侧有两个仓库A、B 相距 1640 米，其中 A距河 210米， B 距河 570 米，现要在河岸上建一个货运码头，使得两仓库到码头的路程和最短，问：这个最短路程是多少？码头应建在何处？三、典型数学思想、方法的训练( 一 ) 方程思想进行计算14、小明用一根

10、长 30 厘米的绳子折成三段，围成一个三角形，他用尺子量了一下，其中一条线段的长度比较短线段长 7 厘米，比较长线段短 1 厘米，请你帮助小明判断一下，他围成的三角形是直角三角形吗？15、已知 ABC 中， C=90， D、E 分别为 BC、AC 的中点， AD =5， BE= 2 10 ，求 AB 的长 .16、有一个水池， 水面是一个边长为10 尺的正方形， 在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1 尺。如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。这个水池的深度与这根芦苇的长度分别为多少？17、如图所示已知：在正方形ABCD 中， BAC 的平分线交 BC 于 E，FG 2D

11、C作 EFAC 于 F，作 FGAB 于 G求AB2 的值F( 二 ) 构造直角三角形E18、已知 ABC 中， AB =8， AC=7， BC=6，求 ABC 的面积。AGB19、已知 ABC 中， B=30， C=45， ABAC=2-2 ，求 BC 的长。20、已知：如图， ABAC20， BC 32，D 为 BC 边上一点， DAC 90求 BD 的长21、（ 1）写出三种用“构造斜边长为7 的直角三角形的方法”作长为7 的线段的方案。（ 2）能否通过“构造直角边长为7 的直角三角形的方法”来作长为7 的线段？若能，写出三角形的三边；若不能，说明理由。（ 3）在（ 1）中，作长为7 的

12、线段，往往需要先作出其它长为无理数的线段才能求出长为7 的线段，对于正整数 k ，能否通过构造两边均为有理数 的直角三角形求出作长为k 的线段？若能，请写出此时三角形三边之间的关系；若不能，请说明理由。( 三 ) 勾股定理与变换22、已知矩形ABCD 沿直线 BD 折叠， 使点 C 落在同一平面内C 处，BC 与 AD 交于点 E，AD= 8，AB=4，求 DE 的长。C23、（ 2004 年荆州中考）一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种证明A ED方法。如图，火柴盒的一个侧面D， 设ABCD 倒下到 ABC的位置，连结 CCAB a, BC b, AC c ，请利用四边

13、形BCC D 的面积证明勾股定理。BC24、 ABC 中 ,CD 是 AB 边上的中线， AC=8， BC=6， CD =5，判断 ABC 的形状。(四)面积法 :25、设h1, h2, h3表示三角形的三条高， 如果( h1 )2( h1 )21h2h3，那么这个三角形是什么三角形？26、证明：直角三角形的斜边与斜边上的高的和大于两直角边之和。27、已知：平面直角坐标系xOy 内，点 A（3 3，0）， B（3，0 ）， C(0, 3) ，（ 1）判断ABC 的形状并说明理由；（ 2）若点 D 的坐标为 (3, 4) ，求BCD 中 CD 边上的高 h 的值 .28. 如图，已知直线y3 x

14、 1 与 x 轴、 y 轴分别3交于点 A、B, 以线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰 RtABC,BAC=90O, 且 P(1, a) 为坐标系中的一个动点 .求 ABC 的面积 S ABC ；(2) 证明不论 a 取任何实数，BOP 的面积是一个常数；(3) 要使得ABC 和ABP 的面积相等，求实数 a 的值 .( 五 ) 代数计算证明几何问题 :29、求证：直 角三角形中两直角边上的中线的平方和的4 倍等于斜边平方的5 倍30、如图 ABC 中， C=90， M 是 CB 的中点， MD AB 于 D，A请说明三条线段AD 、BD、 AC 总能构成一个直角三角形。31、正方形 AB

15、CD 的边长为 4， E 为 AB 中点， AF= 1 AD ，求证： CE EF.D4BEA32、（ 1）已知：如图， CD AB，OA OB，CMB求证：AC 2BD 2AD 2BC2；FAC2BC 2AD 2BD 2.2）运用（ 1）的结论可以证明下列命题：已知：如图，设 M 是 ABC 内部任意一点，CDMD AB 于 G，MEBC 于 K，MFCA 于 H，BD=BE ，CE=CF ，求证： AD=AF ；( 六 ) 图形的割、补与拼图33、已知：如图，四边形ABCD 中， AB =3， BC=4，CD=5， AD=52 ， B=90，求四边形ABCD 的面积。第33题图34、一块四

16、边形的草地ABCD , 其中 A=60, B=D =90, AB =20m, CD =10m, 求这块草地的面积.第34题图35、有十字形，它由五个全等的正方形组成，如图所示，你能把它切成三块，拼成一个长是宽的2倍的长方形吗？（先计算，再拼图）备用图：36、现有一张长为6.5 ，宽为 2 的纸片，请你将它分割成6 块，再合并成一个正方形，要求先画出分割线，再拼成正方形并证明你的方法的正确性。( 七 ) 运动、开放与探究37、在ABC中，设 BC a, AC b, BA c,当C=90时，根据勾股定理有a 2b2c 2 ；若 ABC 不是直角三角形，请你类比勾股定理，试猜想a 2b2与 c 2

17、的关系，并证明你的结论。38、如图， M 是 Rt ABC 斜边 AB 的中点，、Q 分别在 AC、BC 上， PM MQ ，P判断 PQ、 AP与 BQ 的数量关系并证明你的结论 .39、 ABC 中， AB=AC =4，点 P 在 BC 边上运动，猜想AP2PB PC 的值是否随点P 位置的变化而变化，并证明你的猜想.40、已知：矩形ABCD（四个角是直角）为矩形内一点（如图a），求证 : PA2PC 2PB 2PD 2;探索 P 运动到 AD边上 ( 如图 b）、矩形 ABCD外 ( 如图 c）时，结论是否仍然成立41、探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3， 4， 5）（ 5， 12， 13